Funcția Thomae

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Graficul punctelor funcției de pe (0,1)

Funcția Thomae , de la Carl Johannes Thomae , are multe nume, cum ar fi funcția popcorn , funcția Dirichlet modificată și funcția Riemann . Această funcție cu valoare reală este definită ca

Este o variantă a funcției Dirichlet , care este 1 pe rațional și 0 pentru alte valori.

Discontinuitatea asupra raționalelor

Funcția de popcorn are un set complicat de discontinuități : este continuu pe toate numerele iraționale și discontinuu pe toate numerele raționale.

Verificarea discontinuității se poate face folosind continuitatea secvențială, locul Și , succesiunea este construită

Este astfel încât să verifice următoarele două proprietăți:

Și, după cum se poate vedea, oferă un exemplu de succesiune care nu respectă condiția continuității secvențiale în aceasta. pentru aceasta avem:

Continuitate asupra iraționalelor

Reamintim că, prin definiție, o funcție este continuă într-un punct dacă:

Așa să fie nu este dificil să fii convins că următoarea definiție a în jurul rezolvă problema:

Trebuie observat că, cu această definiție, trebuie să se demonstreze conceptual toate numerele infinite ale liniei reale, să se selecteze infinitii candidați potriviți și, ulterior, să se aleagă dintre candidații infiniti singurul care face adevărata condiția minimă.

Toate acestea sunt fezabile folosind axioma de alegere, dar utilizarea acestei axiome nu este strict necesară.

De asemenea, oferim următoarea definiție constructivă: aceasta înseamnă că vom descrie o procedură care, atribuită Și , permite cu un număr finit de pași, să expună un verificați relația de mai sus.

În primul rând, este mai bine să definiți numărul întreg negativ:

unde cu simbolul este indicată funcția părții întregi . Apoi definim următorul subset pe raționale:

adică mulțimea tuturor fracțiilor mai mici de 1 cu un numitor nu mai mare de . Nu este dificil să dovedim că acest set este finit, pornind de la acesta putem defini:

care este echivalent cu definiția dată mai sus cu axioma de alegere, dar, de data aceasta necesitând să se determine un număr finit de verificări, este constructiv.

Integrabilitate

Contrar funcției indicator a numerelor raționale din , funcția Thomae este Riemann-integrabilă pe acest interval și cu o integrală nulă. De fapt, a luat un număr natural și a considerat numerele raționale cu Și , intervale închise centrat în și având rază acoperi . Astfel de intervale pot fi restricționate în mod adecvat pentru a produce o partiție de în intervale de amplitudine , iar suma superioară Riemann asociată cu acea partiție este mărginită de

care este o cantitate care converge la zero pentru .

Alte

Graficul funcției Thomae are o dimensiune fractală de 3/2.

Notă


Referințe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică