Funcția curentă

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Linii de curgere - linii în care funcția curentă își asumă o valoare constantă - pentru un debit potențial incompresibil în jurul unui cilindru circular într-un flux uniform.

Funcția curentă este definită în cazul fluxurilor incompresibile ( cu zero divergențe ) în două dimensiuni - precum și în fluxurile tridimensionale cu simetrie axială. Componentele câmpului vitezei fluidului pot fi exprimate ca derivate spațiale ale funcției curentului scalar . Funcția curentă poate fi utilizată pentru a trasa liniile de curgere , care reprezintă traiectoria particulelor transportate de un flux staționar. Funcția bidimensională de curent Lagrange a fost introdusă de Joseph Louis Lagrange în 1781. [1] Funcția de curent Stokes este pentru fluxuri tridimensionale cu simetrie axială și poartă numele lui George Gabriel Stokes . [2]

Având în vedere cazul particular al dinamicii fluidelor , diferența dintre valorile funcției curente în oricare două puncte din domeniu dă debitul volumetric (sau debitul volumetric) printr-o linie care leagă cele două puncte.

Deoarece liniile de flux sunt tangente la vectorul vitezei de curgere, valoarea funcției curente trebuie să fie constantă de-a lungul unei linii de flux. Utilitatea funcției curente constă în faptul că componentele câmpului vitezei în direcțiile - x și - y într-un punct dat sunt date de derivatele parțiale din spațiul funcției curente în acel punct. O funcție curentă poate fi definită pentru orice flux de dimensiune mai mare sau egal cu două, totuși cazul bidimensional este în general cel mai ușor de vizualizat și derivat.

În cazul fluxului potențial bidimensional, liniile de flux sunt perpendiculare pe liniile echipotențiale. Luată împreună cu potențialul de viteză, funcția curentă poate fi utilizată pentru a obține un potențial complex . Cu alte cuvinte, funcția curentă reprezintă partea solenoidală a descompunerii bidimensionale Helmholtz a câmpului de viteză, în timp ce potențialul de viteză reprezintă partea irotațională .

Funcția de curent bidimensională

Definiții

Volumul curge prin curba dintre puncte Și

Lamb și Batchelor definesc funcția curentă - în sens având coordonatele planului și o funcție a timpului - pentru un flux incompresibil precum:

De aici și funcția curentă este fluxul de volum prin curbă , adică integralul produsului scalar al vectorului viteză și vectorul normal la elementul curbă Ideea este un punct de referință care definește unde funcția curentă este zero: o deplasare de punct corespunde adăugării unei constante la funcția curentă

O schimbare infinitesimală a locației are ca rezultat o schimbare a funcției curente:

care este un diferențial exact , fiind în valoare

Aceasta este de fapt condiția divergenței zero care rezultă din incompresibilitatea fluxului. Din

componentele domeniului de viteză trebuie să fie

în ceea ce privește funcția curentă

Definiție prin utilizarea unui vector potențial

Semnul funcției curente depinde de definiția utilizată.

O modalitate este de a defini funcția curentă pentru un flux bidimensional în așa fel încât câmpul de viteză să poată fi exprimat prin potențialul vector

Unde este dacă câmpul de viteză este de formă .

În sistemul de coordonate cartezian acest lucru este echivalent cu

Unde este Și sunt, respectiv, componentele câmpului de viteză în direcțiile carteziene Și .

Definiție alternativă (semn opus)

O definiție alternativă (utilizată mai des în meteorologie și oceanografie decât cea anterioară) este

,

unde este este un vector unitar în direcție iar indicii indică derivate parțiale.

Rețineți că această definiție are semnul opus celui dat mai sus ( ), deci avem

în coordonate carteziene.

Toate formulările funcției curente constrâng câmpul vitezei pentru a satisface exact ecuația de continuitate bidimensională:

Ultimele două definiții ale funcției curente sunt legate prin identitate vectorială

Rețineți că în acest flux bidimensional.

Derivarea funcției de curent bidimensional

Luând în considerare două puncte A și B într-un flux plan bidimensional. Dacă distanța dintre aceste două puncte este foarte mică: δn, iar un element de curgere trece între aceste puncte cu o viteză medie q, perpendiculară pe linia AB, debitul volumetric peste unități de grosime, δΨ este dat de:

Ca δn → 0, rearanjând această expresie, obținem:

Să luăm acum în considerare fluxul plan bidimensional în raport cu un sistem de coordonate. Să presupunem că un observator privește de-a lungul unei axe arbitrare în direcția ascendentă și vede fluxul traversând axa de la stânga la dreapta . Se adoptă o convenție de semne astfel încât viteza de curgere să fie pozitivă .

Flux în coordonate carteziene

Observând fluxul într-un element de zonă elementară într-un sistem de coordonate cartesiene xy, avem:

unde u este componenta de viteză paralelă cu axa x și v este componenta de viteză paralelă cu axa y. Deci, ca δn → 0 și rearanjare, avem:

Continuitate: derivarea

Având în vedere un flux plan bidimensional în cadrul unui sistem de coordonate carteziene. Continuitatea afirmă că, dacă luăm în considerare fluxul incompresibil într-un element de zonă, fluxul care intră în acel element mic trebuie să fie egal cu debitul din acel element.

Fluxul total din element este dat de:

Debitul total din element este dat de:

Deci avem:

și simplificând ajungi la:

Înlocuind expresiile funcției curente din această ecuație, avem:

Vorticitate

Funcția curentă poate fi derivată din vorticitate utilizând următoarea ecuație Poisson :

unde vectorul de vorticitate - definit ca rotorul câmpului vectorului viteză - pentru acest flux bidimensional are adică doar componenta , acesta este , poate fi diferită de zero.

Dovadă că o valoare constantă a funcției curente corespunde unei linii de flux

Să luăm în considerare un flux plan bidimensional într-un sistem de coordonate carteziene. De asemenea, luăm în considerare două puncte care sunt infinit apropiate Și . Din regulile de calcul avem asta

Spune asta are aceeași valoare, de exemplu , în colon Și , este asta este tangentă la curbă în sens este asta

implică faptul că vectorul este ortogonală față de curbă . Dacă putem dovedi asta peste tot , folosind formula pentru în ceea ce privește , atunci vom fi demonstrat rezultatul. Acest lucru urmează cu ușurință,

Proprietățile funcției curente

  1. Funcția curentă este constantă de-a lungul oricărei linii de curgere.
  2. Pentru un flux continuu (fără surse sau godeuri), debitul volumetric prin orice cale închisă este egal cu zero.
  3. În cazul a două fluxuri incompresibile, suma algebrică a funcțiilor curente este egală cu o altă funcție de curent obținută prin suprapunerea celor două fluxuri.
  4. Rata de schimbare a funcției curente cu distanța este direct proporțională cu componenta de viteză perpendiculară pe direcția de schimbare.

Notă

  1. ^ vol. Volumul IV, 1868, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229223s/f697.image .
  2. ^ vol. 7, 1842, Bibcode : 1848TCaPS ... 7..439S . - Reimprimare: 1880,https://archive.org/details/mathphyspapers01stokrich .
Fizică Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica