Funcția de testare

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
O funcție bump în mai multe variabile

În matematică, o funcție de testare sau o funcție bump este o funcție variabilă reală netedă , compatibilă , definită pe spațiul euclidian . Este o clasă de funcții de o importanță deosebită, deoarece permite definirea spațiului distribuțiilor , dualitatea spațiului funcțiilor de testare.

O funcție de testare deosebit de importantă este funcția de întrerupere , care este identic 1 într-un set dat și se descompune ușor la 0 de îndată ce ieși din set.

Definiție

O funcție de testare este o funcție variabilă reală netedă cu suport compact definit pe spațiul euclidian .

Spațiul funcțional se lovește se notează cu sau . Spațiul dual al acestui spațiu prevăzut cu topologia relativă este spațiul distribuțiilor .

Funcția cutoff

În scopuri practice, este dată definiția menționată în jurul originii [-1,1]; este clar modul în care construcția poate fi generalizată pentru orice interval , compunând cu difeomorfisme adecvate între cele două seturi.

O funcție cutoff este definită ca o funcție astfel încât:

Este o funcție specială netedă, cu suport compact , adică o funcție de testare.

Construirea unei funcții de întrerupere

Diagrama Venn a trei seturi.svg

Funcțiile cutoff pot fi construite folosind metoda convoluției . Mai precis, este posibil să se determine o funcție care este identică 1 pe un set compact dat și 0 în afara vecinătății sale (adică cu suportul conținut în acesta).

De sine este compactul dorit e un deschis care conține , metoda este următoarea: o vecinătate compactă a interior astfel încât este și preluați funcția indicator a compactului . Se presupune că această funcție este complicată cu un dedurizator adecvat cu un suport suficient de mic, adică care nici nu se intersectează nici complementarul de : veți obține o funcție netedă decât în ​​interior a rămas identic 1 și al cărui sprijin este încă conținut în .

Aproximarea unei funcții

Definire:

dată oricărei funcții puteți construi o secvență de funcții :

la suport compact decât la divergența de converge spre funcția originală. Cu regularitate adecvată, această convergență poate fi uniformă , în norma L p și așa mai departe.

Funcția de despărțire

Strâns legat de funcția cutoff este un alt tip de funcție, pe al cărui nume comunitatea științifică nu a ajuns încă la consens (uneori se numește cutoff [1] ): este o aplicație care ia valoarea 0 la numerele negative, 1 la numere mai mare de 1 și care variază ușor în intervalul [0,1]. Se folosește, de exemplu, la construcția partiției diferențiate a unității .

Este o funcție astfel încât:

Notă

  1. ^ Vezi de ex. Amiya Mukherjee, Topics in Differential Topology , Hindustan Book Agency, 2005, ISBN 8185931569

Bibliografie

  • ( EN ) KO Mead și LM Delves, „Despre rata de convergență a expansiunilor Fourier generalizate”, IMA J. Appl. Matematica. , vol. 12, pp. 247-259 (1973)

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică