Funcția injectivă

Un exemplu de funcție injectivă: nu există niciun element din Y care să fie arătat de mai mult de un element al lui X

Un exemplu de funcție neinjectivă: elementele 3 și 4 sunt trimise ambele elementului C

În matematică , o funcție injectivă (numită și funcție ingettiva sau injecție) este o funcție care asociază, în elemente distincte ale domeniului , elemente distincte ale codomainului .

Cu alte cuvinte: o funcție dintr-un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la un set $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este injectiv dacă fiecare element al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ nu poate fi obținut în mai multe moduri diferite pornind de la elementele de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Definiție

O functie $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ se spune că este injectiv dacă două elemente distincte ale domeniului au imagini distincte, adică $a_{1}\neq a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {1} \ neq a_ {2}}$ $a_ {1} \ neq a_ {2}$ implica $f(a_{1})\neq f(a_{2})$ ${\ displaystyle f (a_ {1}) \ neq f (a_ {2})}$ $f (a_ {1}) \ neq f (a_ {2})$ ; echivalent, dacă două elemente ale domeniului au aceeași imagine, atunci ele coincid în mod necesar, adică $f(a_{1})=f(a_{2})$ ${\ displaystyle f (a_ {1}) = f (a_ {2})}$ $f (a_ {1}) = f (a_ {2})$ implica $a_{1}=a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {1} = a_ {2}}$ $a_ {1} = a_ {2}$ .

Simbolic: ^[1] ^[2]

\forall x,y\in X,\;\;f(x)=f(y)\Rightarrow x=y

{\ displaystyle \ forall x, y \ în X, \; \; f (x) = f (y) \ Rightarrow x = y}

\ forall x, y \ în X, \; \; f (x) = f (y) \ Rightarrow x = y

sau, în forma contraonominală : ^[3]

\forall x,y\in X,\;\;x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).

{\ displaystyle \ forall x, y \ in X, \; \; x \ neq y \ Rightarrow f (x) \ neq f (y).}

\ forall x, y \ în X, \; \; x \ neq y \ Rightarrow f (x) \ neq f (y).

Proprietate

Grafic

Acesta este graficul unei funcții reale a unei variabile reale neinjective; de aceea există o linie dreaptă paralelă cu axa x care o intersectează în mai mult de un punct

De sine $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ este o funcție injectivă, apoi fiecare element al imaginii ${\text{Im}}(f)=f(X)=\{f(a)\mid a\in X\}$ ${\ displaystyle {\ text {Im}} (f) = f (X) = \ {f (a) \ mid a \ în X \}}$ ${\ text {Im}} (f) = f (X) = \ {f (a) \ mid a \ în X \}$ este imaginea exact a unui element al domeniului și proiecția graficului $\Gamma (f)=\{(a,b)\in X\times Y\mid f(a)=b\}$ ${\ displaystyle \ Gamma (f) = \ {(a, b) \ în X \ times Y \ mid f (a) = b \}}$ $\ Gamma (f) = \ {(a, b) \ în X \ times Y \ mid f (a) = b \}$ pe a doua coordonată este o funcție injectivă.

În special, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție reală a unei variabile reale injective, orice linie paralelă cu axa lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ va intersecta graficul funcției în cel mult un punct. Mai mult, dacă funcția injectivă este definită și continuă pe un interval , atunci este strict monotonă (strict crescătoare sau strict descrescătoare). ^[4]

Dimpotrivă, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție reală a unei variabile reale neinjective, atunci există două elemente ale domeniului care au aceeași imagine, $f(a_{1})=f(a_{2})=b$ ${\ displaystyle f (a_ {1}) = f (a_ {2}) = b}$ $f (a_ {1}) = f (a_ {2}) = b$ . Prin urmare linia $y=b$ ${\ displaystyle y = b}$ $y = b$ intersectează graficul $\Gamma (f)$ ${\ displaystyle \ Gamma (f)}$ $\ Gamma (f)$ în cel puțin două locuri: $(a_{1},b)$ ${\ displaystyle (a_ {1}, b)}$ $(a_ {1}, b)$ Și $(a_{2},b)$ ${\ displaystyle (a_ {2}, b)}$ $(a_ {2}, b)$ .

Homomorfisme

Un homomorfism al grupurilor este injectiv ( monomorfism ) dacă și numai dacă nucleul său constă doar din elementul neutru . ^[5] ^[6]

În special, o aplicație liniară între spațiile vectoriale este injectivă dacă și numai dacă nucleul său este compus doar din vectorul nul . ^{[7] În} mod echivalent în spații de dimensiune finită, o aplicație liniară este injectivă dacă și numai dacă dimensiunea imaginii este egală cu dimensiunea domeniului: de aceea nu există aplicații liniare injective dintr-un spațiu în altul cu dimensiune mai mică.

Inversibilitate

Funcția exponențială, definită de

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ mathbb {R}

numai la imagine

\exp(\mathbb {R} )=]0,\infty [

{\ displaystyle \ exp (\ mathbb {R}) =] 0, \ infty [}

\ exp ({\ mathbb {R}}) =] 0, \ infty [

este inversabil, cu funcția de logaritm inversă

\log(x)

{\ displaystyle \ log (x)}

\ log (x)

Funcția logaritmică

\log(x)

{\ displaystyle \ log (x)}

\ log (x)

este inversul funcției exponențiale

\exp(x)=e^{x}

{\ displaystyle \ exp (x) = e ^ {x}}

\ exp (x) = e ^ {x}

, dacă acesta din urmă este definit atunci când domeniul acestuia din urmă este limitat la interval

(0,+\infty )

{\ displaystyle (0, + \ infty)}

(0, + \ infty)

Injectivitatea este o condiție necesară, dar nu suficientă, pentru inversibilitate.

O funcție injectivă $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ în general nu este inversabil , deoarece ar trebui să fie și surjectiv . Cu toate acestea, prin restrângerea intervalului la imagine, se obține o funcție diferită ${\tilde {f}}\colon X\to f(X)$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon X \ to f (X)}$ ${\ tilde {f}} \ colon X \ to f (X)$ , inversabil.

O funcție inversabilă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv și, de asemenea, invers $f^{-1}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ $f ^ {- 1}$ , fiind inversabil, este injectiv.

Compoziţie

Compoziția a două (sau mai multe) funcții injective este injectivă:

a_{1}\neq a_{2}\Rightarrow f(a_{1})\neq f(a_{2})\Rightarrow g(f(a_{1}))\neq g(f(a_{2}))

{\ displaystyle a_ {1} \ neq a_ {2} \ Rightarrow f (a_ {1}) \ neq f (a_ {2}) \ Rightarrow g (f (a_ {1})) \ neq g (f (a_ {2}))}

a_ {1} \ neq a_ {2} \ Rightarrow f (a_ {1}) \ neq f (a_ {2}) \ Rightarrow g (f (a_ {1})) \ neq g (f (a_ {2} )))

Dacă funcția compusă $g\circ f$ ${\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ atunci este injectiv $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv, dar nu este neapărat cazul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este. De exemplu, funcția injectivă $g\circ f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to ({e^{x}})^{2}$ ${\ displaystyle g \ circ f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ to ({e ^ {x}}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle g \ circ f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ to ({e ^ {x}}) ^ {2}}$ este compoziția unei funcții injective $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to e^{x}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ to e ^ {x}}$ $f \ colon {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}} \ colon x \ to e ^ {x}$ și o funcție neinjectivă $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\to x^{2}$ ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ to x ^ {2}}$ $g \ colon {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}} \ colon x \ to x ^ {2}$ .

Dacă există două funcții distincte $g,h\colon C\to A$ ${\ displaystyle g, h \ colon C \ to A}$ $g, h \ colon C \ to A$ astfel încât $f\circ g=f\circ h$ ${\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h}$ $f \ circ g = f \ circ h$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este injectiv: de fapt există un $c\in C$ ${\ displaystyle c \ în C}$ $c \ în C$ cu $g(c)\neq h(c)$ ${\ displaystyle g (c) \ neq h (c)}$ $g (c) \ neq h (c)$ , dar $f(g(c))=f(h(c))$ ${\ displaystyle f (g (c)) = f (h (c))}$ $f (g (c)) = f (h (c))$ .

Cardinalitatea

O funcție al cărei domeniu are cardinalitate mai mare decât codomainul nu poate fi injectivă. Prin urmare, o funcție injectivă între două seturi are un interval de cardinalitate mai mare sau egal cu domeniul.

Această proprietate este adevărată nu numai pentru seturile de cardinalitate finită, ci și pentru seturile de cardinalitate infinită: de exemplu, nu există funcții injective dintr-un set cu cardinalitatea continuumului într-un set numărabil .

Numărul de funcții injective

Numărul de funcții injective dintr-un set finit $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente la un set finit $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ elemente este egal cu numărul de dispoziții simple ale $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ obiecte luate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ :

{\frac {m!}{(m-n)!}}

{\ displaystyle {\ frac {m!} {(mn)!}}}

{\ frac {m!} {(m-n)!}}

.

Alte proprietăți

De sine $f:A\rightarrow B$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$ $f: A \ rightarrow B$ este injectiv și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt subseturi de A, atunci $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$ ${\ displaystyle f (X \ cap Y) = f (X) \ cap f (Y)}$ $f (X \ cap Y) = f (X) \ cap f (Y)$ .

Fiecare funcție $f\colon A\rightarrow B$ ${\ displaystyle f \ colon A \ rightarrow B}$ $f \ colon A \ rightarrow B$ poate fi defalcat ca o compoziție $f=h\circ g$ ${\ displaystyle f = h \ circ g}$ $f = h \ circ g$ a unei funcții surjective $g\colon A\to f(A)$ ${\ displaystyle g \ colon A \ to f (A)}$ $g \ colon A \ to f (A)$ și o funcție injectivă $h\colon f(A)\to B$ ${\ displaystyle h \ colon f (A) \ to B}$ $h \ colon f (A) \ to B$ , definitorie $g(a)=f(a)$ ${\ displaystyle g (a) = f (a)}$ $g (a) = f (a)$ Și $h(b)=b$ ${\ displaystyle h (b) = b}$ $h (b) = b$ .

Alte caracterizări ale injectivității

Următoarele sunt formulări echivalente cu definiția injectivității unei funcții $f:A\rightarrow B$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$ $f: A \ rightarrow B$ și, prin urmare, ele pot fi interpretate ca alte caracterizări ale aceleiași proprietăți.

Existența unui invers stâng: există o funcție $g:B\rightarrow A$ ${\ displaystyle g: B \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle g: B \ rightarrow A}$ astfel încât $g\circ f=\mathrm {id} _{A}.$ ${\ displaystyle g \ circ f = \ mathrm {id} _ {A}.}$ ${\ displaystyle g \ circ f = \ mathrm {id} _ {A}.}$
Ștergerea lăsată după compoziție: pentru fiecare set $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și pentru fiecare funcție $g:T\rightarrow A,$ ${\ displaystyle g: T \ rightarrow A,}$ ${\ displaystyle g: T \ rightarrow A,}$ Și $h:T\rightarrow A,$ ${\ displaystyle h: T \ rightarrow A,}$ ${\ displaystyle h: T \ rightarrow A,}$ astfel încât $f\circ g=f\circ h,$ ${\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h,}$ ${\ displaystyle f \ circ g = f \ circ h,}$ da ai $g=h.$ ${\ displaystyle g = h.}$ ${\ displaystyle g = h.}$
Identitatea imaginii contra-imagine a oricărui subset al domeniului: pentru fiecare $S\subseteq A,$ ${\ displaystyle S \ subseteq A,}$ ${\ displaystyle S \ subseteq A,}$ da ai $f^{-1}(f(S))=S.$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (S)) = S.}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (f (S)) = S.}$

Exemple

Pe fiecare set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ funcția de identitate $id_{X}\colon X\to X\colon x\mapsto x$ ${\ displaystyle id_ {X} \ colon X \ to X \ colon x \ mapsto x}$ $id_ {X} \ colon X \ to X \ colon x \ mapsto x$ este injectiv (și surjectiv).
Includere $\imath \colon Y\hookrightarrow X$ ${\ displaystyle \ imath \ colon Y \ hookrightarrow X}$ $\ imath \ colon Y \ hookrightarrow X$ a unui subset $Y\subset X$ ${\ displaystyle Y \ subset X}$ $Y \ subset X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , fiind restricție de identitate $id_{X}$ ${\ displaystyle id_ {X}}$ $id_ {X}$ , este injectiv.
O funcție definită pe un set cu un singur element, $f\colon \{x\}\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon \ {x \} \ to Y}$ $f \ colon \ {x \} \ to Y$ , este injectiv.
O funcție definită pe setul gol, $f\colon \emptyset \to Y$ ${\ displaystyle f \ colon \ emptyset \ to Y}$ $f \ colon \ emptyset \ to Y$ , este injectiv.
O funcție constantă, $f_{y}\colon X\to Y\colon x\mapsto y$ ${\ displaystyle f_ {y} \ colon X \ to Y \ colon x \ mapsto y}$ $f_ {y} \ colon X \ to Y \ colon x \ mapsto y$ , definit pe un domeniu cu cel puțin două elemente, nu este injectiv.
Pentru $a,b\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ $a, b \ in {\ mathbb {R}}$ Și $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ , functia $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto ax+b$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ mapsto ax + b}$ $f \ colon {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}} \ colon x \ mapsto ax + b$ este injectiv (și surjectiv).
Funcția exponențială $\exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ exp \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ $\ exp \ colon {\ mathbb {C}} \ to {\ mathbb {C}}$ nu este injectiv.
Funcția exponențială $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ exp \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $\ exp \ colon {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}}$ este injectiv.
Funcția logaritm , $\log \colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ log \ colon \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \ to \ mathbb {R}}$ $\ log \ colon \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \ to \ mathbb {R}$ , este injectiv.
O funcție reală diferențiată, $f\in D^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f \ în D ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $f \ în D ^ {1} ({\ mathbb {R}})$ , a cărui derivată este întotdeauna strict pozitivă, sau întotdeauna strict negativă, este injectivă.
O funcție reală diferențiată, $f\in D^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle f \ în D ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $f \ în D ^ {1} ({\ mathbb {R}})$ , a cărui derivată schimbă semnul, nu este injectivă.
Funcția pătrată $f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \colon x\mapsto x^{2}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} \ colon x \ mapsto x ^ {2}}$ $f \ colon {\ mathbb {N}} \ to {\ mathbb {N}} \ colon x \ mapsto x ^ {2}$ este injectiv.
Funcția pătrată $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{2}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ mapsto x ^ {2}}$ $f \ colon {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}} \ colon x \ mapsto x ^ {2}$ nu este injectiv.
Funcția cub $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \colon x\mapsto x^{3}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ colon x \ mapsto x ^ {3}}$ $f \ colon {\ mathbb {R}} \ to {\ mathbb {R}} \ colon x \ mapsto x ^ {3}$ este injectiv.
Funcția cub $f\colon \mathbb {F} _{7}\to \mathbb {F} _{7}\colon x\mapsto x^{3}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {F} _ {7} \ to \ mathbb {F} _ {7} \ colon x \ mapsto x ^ {3}}$ $f \ colon {\ mathbb {F}} _ {7} \ to {\ mathbb {F}} _ {7} \ colon x \ mapsto x ^ {3}$ nu este injectiv.
O funcție periodică (cum ar fi sinusul și cosinusul ) nu este injectivă.

Notă

^ Herstein, IN , Pagina 13 .
^ Hungerford, TW , Pagina 4 .
^ Soardi, PM , Pagina 31 .
^ Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I , traducere Roger Cooke, Springer Science & Business Media, 2004, p. 165, ISBN 978-3-540-40386-9 .
^ Herstein, IN , Pagina 61 .
^ Hungerford, TW , Pagina 31 .
^ Lang, Serge , p. 94 .

Bibliografie

IN Herstein , Algebra , Roma, Editori Riuniti, 1995, ISBN 88-359-3634-9 .
Thomas W. Hungerford, Algebra , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90518-9 .
Serge Lang , Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcție injectivă

linkuri externe

( EN ) Funcția injectivă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Herstein, IN , Pagina 13 .

[2] Hungerford, TW , Pagina 4 .

[3] Soardi, PM , Pagina 31 .

[4] Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis I , traducere Roger Cooke, Springer Science & Business Media, 2004, p. 165, ISBN 978-3-540-40386-9 .

[5] Herstein, IN , Pagina 61 .

[6] Hungerford, TW , Pagina 31 .

[7] Lang, Serge , p. 94 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7] În

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy