Funcție (matematică)

Reprezentarea unei funcții care asociază valorile domeniului X cu valorile intervalului Y

În matematică , o funcție este o relație între două seturi , numite domeniu și interval al funcției, care se asociază cu fiecare element al domeniului, unul și un singur element al intervalului.

Dacă cele două seturi sunt indicate respectiv cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , relația este indicată cu $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ și elementul asociat cu $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ prin intermediul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este indicat de obicei cu $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ (pronunțat „effe of x”).

Descriere

Prin urmare, cuvântul funcție nu se referă doar la relație, ci la triada: relație, domeniu și codomain. De exemplu: funcția care asociază rădăcina pătrată a acelui număr la un număr natural este diferită de funcția care asociază rădăcina pătrată a acelui număr la un număr întreg (în funcție de modul în care este definită gama, a doua poate să nu fie chiar corectă asociere). În multe cazuri, când domeniul și intervalul sunt clare din context, o funcție este exprimată indicând doar relația și implicând domeniul și intervalul.

Se spune că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este argumentul funcției sau o valoare a variabilei independente, în timp ce $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ este o valoare a variabilei dependente a funcției.

Sinonimele termenului funcție sunt aplicație și hartă . Termenul transformare este adesea folosit în geometrie pentru a indica o funcție $f:X\rightarrow X$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ inversabil și care păstrează proprietățile geometrice ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , în timp ce operatorul este uneori utilizat în tratamentul funcțiilor liniare între spațiile vectoriale .

Funcțiile joacă un rol foarte important în toate științele exacte . Conceptul de dependență funcțională între două mărimi îl înlocuiește de fapt, în cadrul teoriilor fizice și matematice, pe cel de cauză-efect, care, spre deosebire de precedent, nu privește entitățile teoretice, ci direct elementele realității concrete. Dacă spunem, de exemplu, că presiunea unei anumite cantități de gaz perfect este o funcție a temperaturii și a volumului său , facem o afirmare internă a unui model termodinamic , în timp ce relația cauză-efect identificată între cele trei cantitățile depind în mod substanțial de posibilitățile de intervenție concretă asupra acestora. Rămânând cu acest exemplu, valoarea presiunii este văzută mai des ca o consecință a valorii celorlalți doi parametri, deoarece este, în general, mult mai ușor să se intervină asupra volumului și temperaturii decât direct asupra presiunii.

Exemple

Cele mai simple exemple de funcții sunt cele pentru care atât domeniul, cât și gama sunt seturi numerice . De exemplu, dacă dublul acestui număr este asociat cu fiecare număr natural, avem o funcție, al cărei domeniu este dat de naturali și a cărui gamă este alcătuită din chiar naturali.

Cu toate acestea, vorbim de funcție chiar și atunci când domeniul sau intervalul, sau ambele, nu sunt seturi numerice. Dacă, de exemplu, cercul înscris în acesta este asociat cu fiecare triunghi al planului, există și o funcție, deoarece pentru fiecare triunghi există un singur și un singur cerc înscris în el.

Mai mult, vorbim adesea despre funcții cu mai multe argumente sau cu mai multe valori: de exemplu funcția care la coordonate $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ un punct din spațiu echivalează cu temperatura $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și presiune $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a aerului. În acest caz, funcția are de fapt întotdeauna un singur argument, care este triada $(x,y,z),$ ${\ displaystyle (x, y, z),}$ ${\ displaystyle (x, y, z),}$ și are întotdeauna o singură valoare, care este perechea $(T,P).$ ${\ displaystyle (T, P).}$ ${\ displaystyle (T, P).}$

Definiție

Având două seturi ne-goale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , se numește funcția de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ o relație $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât pentru fiecare $x\in X\;$ ${\ displaystyle x \ în X \;}$ $x \ în X \;$ există un singur și un singur element $y\in Y\;$ ${\ displaystyle y \ în Y \;}$ $y \ în Y \;$ astfel încât $(x,y)\in f$ ${\ displaystyle (x, y) \ în f}$ $(x, y) \ în f$ . Acest element este notat în mod tradițional prin $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ : cu alte cuvinte, în loc să scrie $(x,y)\in f$ ${\ displaystyle (x, y) \ în f}$ $(x, y) \ în f$ puteți folosi scrierea mai tradițională:

y=f(x).

{\ displaystyle y = f (x).}

{\ displaystyle y = f (x).}

Faptul că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ cu care se asociază $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ elementul $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ poate fi exprimat în scris:

{\begin{matrix}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &f(x)\end{matrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.}

Întregul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (de aici și funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ „Ia” valorile) este domeniul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , în timp ce întregul $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ (unde sunt valorile „returnate” de funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ) Este codomainul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . ^[1]

Expresiile „iau o valoare” și „returnează o valoare” se referă la un model mecanic de funcții, reprezentat ca mecanisme care, dat fiind un element al domeniului, îl „transformă” în elementul corespunzător al gamei.

Imagine și contor imagine

Același subiect în detaliu: Imagine (matematică) .

Având o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și codomain $Da,$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle Y,}$ oricum a ales un articol $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a domeniului, se numește imaginea lui $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ elementul corespunzător al gamei, indicat cu $f(x).$ ${\ displaystyle f (x).}$ $f (x).$ În mod similar, dacă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este un element al gamei care este o imagine a unui element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a domeniului, adică dacă $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , se spune că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este o contra imagine a $y .$ ${\ displaystyle y.}$ ${\ displaystyle y.}$ În timp ce fiecare element al domeniului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o singură imagine este atribuită, este posibil ca un element din gamă să aibă mai multe imagini contra, sau să nu aibă deloc. Prin urmare, „imaginea contra” a elementului este definită $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ întregul

f^{-1}(y)=\{x\in X\,|\,f(x)=y\}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ {x \ în X \, | \, f (x) = y \}}

f ^ {- 1} (y) = \ {x \ în X \, | \, f (x) = y \}

.

De sine $f^{-1}(y)\neq \varnothing$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) \ neq \ varnothing}$ pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este surjectiv , în timp ce dacă $f^{-1}(y)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ $f ^ {{- 1}} (y)$ conține cel mult un element pentru fiecare $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injectiv . Dacă se aplică ambele condiții, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește bijectiv sau bijectiv .

Întregul

\{y\in Y\,|\,\exists x\in X:y=f(x)\}

{\ displaystyle \ {y \ în Y \, | \, \ există x \ în X: y = f (x) \}}

\ {y \ în Y \, | \, \ există x \ în X: y = f (x) \}

a elementelor $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din intervalul pentru care există cel puțin unul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în domeniul pe care îl are $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ca imagine se numește imagine a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și este notat cu ${\textrm {Im}}(f)$ ${\ displaystyle {\ textrm {Im}} (f)}$ ${\ textrm {Im}} (f)$ sau cu $f(X)$ ${\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ . ^[2]

Alte notații pentru funcții

Pentru valoarea unei funcții $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ corespunzător unui element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , denotabilă cu notația tradițională $F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ , sunt utilizate și alte două scripturi.

Pentru ceea ce numim notația funcției de prefix apare

\,Fx:=F(x).

{\ displaystyle \, Fx: = F (x).}

{\ displaystyle \, Fx: = F (x).}

Căci apare ceea ce numim funcția sufixală notația

\,xF:=F(x).

{\ displaystyle \, xF: = F (x).}

{\ displaystyle \, xF: = F (x).}

Uneori se utilizează paranteze pătrate în locul parantezelor rotunde:

F[x]=F(x).

{\ displaystyle F [x] = F (x).}

{\ displaystyle F [x] = F (x).}

Acest lucru evită confuzia cu paranteze care indică ordinea operațiilor. Această notație este utilizată de unele programe de calcul simbolice.

În funcțiile a două variabile, se utilizează uneori notația infix , adică

yFx:=F(x,y),

{\ displaystyle yFx: = F (x, y),}

{\ displaystyle yFx: = F (x, y),}

de exemplu, în operațiile obișnuite de adunare și scădere pe care le folosim pentru a scrie $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ Și $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ in loc de $+(x,y)$ ${\ displaystyle + (x, y)}$ ${\ displaystyle + (x, y)}$ Și $-(x,y).$ ${\ displaystyle - (x, y).}$ ${\ displaystyle - (x, y).}$

Extinderea și restricționarea unei funcții

Având o funcție $f:A\to Y$ ${\ displaystyle f: A \ to Y}$ $f: A \ to Y$ Este un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $A\subset X$ ${\ displaystyle A \ subset X}$ $A \ subset X$ , se spune că funcția ${\tilde {f}}:X\to Y$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}: X \ to Y}$ ${\ tilde {f}}: de la X la Y$ este o extensie a lui f la set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de sine

{\tilde {f}}\circ i=f

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ circ i = f}

{\ tilde {f}} \ circ i = f

unde este $i:A\to X$ ${\ displaystyle i: A \ to X}$ $i: de la A la X$ este includerea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , dat de $i(a)=a$ ${\ displaystyle i (a) = a}$ $i (a) = a$ . Invers, se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este restricția de ${\tilde {f}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$ ${\ tilde {f}}$ la întreg $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Restricția unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ conținut în domeniul său este de obicei indicat cu $f{\big |}_{A}$ ${\ displaystyle f {\ big |} _ {A}}$ $f {\ big |} _ {A}$ .

Funcțiile a două sau mai multe variabile

Când domeniul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este produsul cartezian din două sau mai multe seturi și, prin urmare, funcția acționează asupra $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -copii de elemente ale seturilor, apoi imaginea vectorială a acestor elemente $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ se indică cu notația

f(x_{i})\

{\ displaystyle f (x_ {i}) \}

f (x_ {i}) \

În acest caz, funcția este numită și funcția vectorială . În acest sens, în fizică vorbim despre domeniu .

De exemplu, luați în considerare funcția de multiplicare care asociază un vector de două numere naturale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la produsul lor: $f(x,y)=xy$ ${\ displaystyle f (x, y) = xy}$ ${\ displaystyle f (x, y) = xy}$ . Această funcție poate fi definită formal ca având pentru domeniu $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}$ , ansamblul tuturor perechilor de numere naturale; de asemenea, rețineți că, în acest caz, funcția este simetrică față de componentele vectorului: $f(x,y)=f(y,x)$ ${\ displaystyle f (x, y) = f (y, x)}$ ${\ displaystyle f (x, y) = f (y, x)}$ și, prin urmare, este o funcție a unui set $f\{x,y\}$ ${\ displaystyle f \ {x, y \}}$ ${\ displaystyle f \ {x, y \}}$ în care ordinea elementelor nu contează. Sunt posibile și alte grupări ale variabilelor: de exemplu, teoria funcției matriciale este extrem de importantă în studiul sistemelor de ecuații diferențiale :

f(x_{ij}).

{\ displaystyle f (x_ {ij}).}

{\ displaystyle f (x_ {ij}).}

Operații binare

Multe operații binare de aritmetică , cum ar fi adunarea și multiplicarea , sunt funcții din produsul cartezian $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}$ la valori în $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , și sunt descrise prin intermediul notației infix : adică este scris $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ (si nu $+(x,y)$ ${\ displaystyle + (x, y)}$ $+ (x, y)$ ) pentru a descrie imaginea cuplului $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ prin operație $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ . ^[3]

Această notație a fost generalizată de algebra modernă, pentru a defini structurile algebrice, cum ar fi structurile de grup , ca un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ echipat cu unele operații binare având anumite proprietăți.

Funcții cu mai multe valori

Dacă domeniul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este produsul cartezian din două sau mai multe seturi, acest lucru poate fi indicat ca o funcție vectorială . Astfel de variabile sunt adesea agregate într-un vector ; în acest sens, în fizică vorbim despre un câmp vector .

Un exemplu tipic este dat de o transformare liniară a planului , de exemplu:

(x,y)\to (y,x)

{\ displaystyle (x, y) \ to (y, x)}

(x, y) \ to (y, x)

.

O funcție, pe de altă parte, se numește polidrom dacă există cel puțin un element al domeniului căruia îi corespund mai mult de un element din interval. De fapt, aceste funcții nu se încadrează în definiția dată inițial, dar în unele domenii (de exemplu în analiza complexă ) sunt extinse tocmai în acest sens. Un exemplu de funcție polidrom este rădăcina pătrată a unui număr real pozitiv, care poate fi descrisă ca o funcție

\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {P} (\mathbb {R} )

{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {P} (\ mathbb {R})}

\ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {P} (\ mathbb {R})

care asociază fiecărui număr real pozitiv mulțimea celor două rădăcini pătrate ale sale. Un exemplu analog este logaritmul definit pe setul de numere complexe . ^[4]

Tipologie

Numeroase tipuri de funcții sunt întâlnite în matematică și substanțial în toate aplicațiile sale, care au, de asemenea, caracteristici foarte diferite și care sunt clasificate în funcție de criterii diferite.

Clasificare pur stabilită

Clasificarea funcțiilor în domeniul teoriei calculabilității

Funcția recursivă primitivă
Funcție calculabilă
Funcția recursivă (conform tezei Church-Turing , funcțiile recursive și funcțiile calculabile sunt același lucru)
Funcție recursivă totală
Funcția enumerativă

Clasificarea funcțiilor în domeniul analizei matematice

Câteva caracteristici notabile

Funcții de interes probabilistic și statistic

Operații elementare asupra funcțiilor unei variabile reale cu valori reale

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variabilă reală cu valori reale și o constantă $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ , pe acesta sunt aplicabile operațiile aritmetice elementare care sunt adunarea , scăderea , înmulțirea , divizarea , exponențierea , n-a rădăcină sau:

z(x)=f(x)+c,

{\ displaystyle z (x) = f (x) + c,}

z (x) = f (x) + c,

z(x)=f(x)-c,

{\ displaystyle z (x) = f (x) -c,}

z (x) = f (x) -c,

z(x)=f(x)\cdot c,

{\ displaystyle z (x) = f (x) \ cdot c,}

z (x) = f (x) \ cdot c,

de sine $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ $c \ neq 0$ ai și tu

z(x)={\frac {f(x)}{c}},

{\ displaystyle z (x) = {\ frac {f (x)} {c}},}

z (x) = {\ frac {f (x)} {c}},

de sine $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ ai și tu

z(x)=f(x)^{c},

{\ displaystyle z (x) = f (x) ^ {c},}

z (x) = f (x) ^ {c},

si daca $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ număr întreg mai mare de 1 și dacă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ egal trebuie, de asemenea, avut $f(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ , ai și tu

z(x)={\sqrt[{c}]{f(x)}}.

{\ displaystyle z (x) = {\ sqrt [{c}] {f (x)}}.}

z (x) = {\ sqrt [{c}] {f (x)}}.

Dă două funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ a variabilei reale cu valori reale, sunt aplicabile operațiile aritmetice elementare menționate mai sus, adică:

z(x)=f(x)+g(x),

{\ displaystyle z (x) = f (x) + g (x),}

z (x) = f (x) + g (x),

z(x)=f(x)-g(x),

{\ displaystyle z (x) = f (x) -g (x),}

z (x) = f (x) -g (x),

z(x)=f(x)\cdot g(x),

{\ displaystyle z (x) = f (x) \ cdot g (x),}

z (x) = f (x) \ cdot g (x),

de sine $g(x)\neq 0$ ${\ displaystyle g (x) \ neq 0}$ $g (x) \ neq 0$ ai și tu

z(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}

{\ displaystyle z (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}}

z (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}

de sine $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ (sau $f(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ În cazul în care $f(x)=0\land g(x)>0$ ${\ displaystyle f (x) = 0 \ land g (x)> 0}$ ${\ displaystyle f (x) = 0 \ land g (x)> 0}$ ) are deasemenea

z(x)=f(x)^{g(x)}

{\ displaystyle z (x) = f (x) ^ {g (x)}}

z (x) = f (x) ^ {{g (x)}}

Compoziţie

Dă două funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ : $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ → $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ → $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ compoziția lor poate fi definită: aceasta se definește prin aplicarea mai întâi $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și apoi aplicând $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ la rezultat $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ .

Această nouă funcție este notată cu $g\circ f$ ${\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ (se citește: „f compusul g”). ^{[ Fără sursă ]} Riconducendoci notația tradițională cu cele două notații rezultatul compoziției anterioare aplicate elementului x din domeniul pe care îl putem scrie ^[5]

\,(g\circ f)(x)=g[f(x)]

{\ displaystyle \, (g \ circ f) (x) = g [f (x)]}

\, (g \ circ f) (x) = g [f (x)]

Traducere

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variabilă reală cu valori reale și o constantă $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ :

translația sa în raport cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în dreapta este $f(x-c)$ ${\ displaystyle f (xc)}$ $f (x-c)$
translația sa în raport cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la stânga este $f(x+c)$ ${\ displaystyle f (x + c)}$ ${\ displaystyle f (x + c)}$
translația sa în raport cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în sus este $f(x)+c$ ${\ displaystyle f (x) + c}$ $f (x) + c$
translația sa în raport cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ jos este $f(x)-c$ ${\ displaystyle f (x) -c}$ $f (x) -c$

Simetrie

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ variabilei reale cu valori reale:

simetricul de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în raport cu axa y este $f(-x)$ ${\ displaystyle f (-x)}$ $f (-x)$
simetricul de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în raport cu axa x este $-f(x)$ ${\ displaystyle -f (x)}$ $-f (x)$

Notă

^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Mathematical Analysis , Liguori Editore Srl, 1994, p. 63 .
^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Mathematical Analysis , Liguori Editore Srl, 1994, p. 67 .
^ Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, Elemente de matematică discretă și algebră liniară , Pearson Paravia Bruno Mondad, 2007, p. 169 .
^ Gazzola Ferrero Zanotti, Elemente de analiză superioară pentru fizică și inginerie , Società Editrice Esculapio, 2007, pp. 127-128 .
^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiza matematică , Liguori Editore Srl, 1994, pp. 69-70 .

Bibliografie

Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiză matematică , Liguori Editore, 1995, ISBN 9788820723972
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lessons in Mathematical Analysis Due , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis One , Liguori Editore, 1998, ISBN 9788820728199
Enrico Giusti , Analiza matematică 1 , Boringhieri, 2002, ISBN 9788833956848

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « funcție »
Wikiversitatea conține resurse despre funcții
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de caracteristici

linkuri externe

Function , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .
( EN ) Feature , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Funcția , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 19483 · LCCN (EN) sh85052327 · GND (DE) 4071510-3 · BNF (FR) cb11946892t (dată) · NDL (EN, JA) 00.56496 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Mathematical Analysis , Liguori Editore Srl, 1994, p. 63 .

[2] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Mathematical Analysis , Liguori Editore Srl, 1994, p. 67 .

[3] Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, Elemente de matematică discretă și algebră liniară , Pearson Paravia Bruno Mondad, 2007, p. 169 .

[4] Gazzola Ferrero Zanotti, Elemente de analiză superioară pentru fizică și inginerie , Società Editrice Esculapio, 2007, pp. 127-128 .

[5] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiza matematică , Liguori Editore Srl, 1994, pp. 69-70 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy