Funcție măsurabilă

În analiza matematică , o funcție măsurabilă este o funcție între două spații măsurabile compatibile cu structura lor σ-algebră .

Cerința măsurabilității unei funcții este, în general, o ipoteză de regularitate minimă și este adesea necesară pentru aplicarea teoremelor și metodelor de analiză matematică și teoria măsurătorilor .

Definiție

Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ Și $(Y,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}})}$ $(Y, {\ mathfrak {G}})$ două spații măsurabile . O funcție $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ se numește măsurabilă sau $({\mathfrak {F}},{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {G}})}$ $({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {G}})$ -măsurabil dacă $f^{-1}(V)\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (V) \ în {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (V) \ în {\ mathfrak {F}}}$ pentru fiecare $V\in {\mathfrak {G}},$ ${\ displaystyle V \ in {\ mathfrak {G}},}$ ${\ displaystyle V \ in {\ mathfrak {G}},}$ adică dacă pentru fiecare set măsurabil $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ imaginea contra $f^{-1}(V)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (V)}$ $f ^ {{- 1}} (V)$ este un set măsurabil de $X .$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle X.}$

Folosind limbajul teoriei categoriilor este posibil să se definească mai concis o funcție măsurabilă ca un morfism al spațiilor măsurabile.

Continuitatea funcțiilor măsurabile

Având în vedere că există spații măsurabile care nu provin din spații topologice, de exemplu spațiile de probabilitate ale cardinalității finite, rezultă că nu toate funcțiile măsurabile sunt continue. Principalele teoreme care definesc relațiile dintre funcțiile măsurabile și funcțiile continue sunt teorema lui Lusin și teorema lui Vitali. Primul afirmă că fiecare funcție măsurabilă poate fi aproximată printr-o funcție continuă cu o mică eroare după bunul plac; al doilea are consecința că există subseturi de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ care nu sunt măsurabile conform lui Lebesgue , presupunând axioma alegerii .

În cele ce urmează se presupune că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un spațiu Hausdorff compact local și asta $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este măsura definită în teorema reprezentării lui Riesz , de exemplu măsura Lebesgue .

Teorema lui Lusin

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție măsurabilă cu valoare complexă pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un set astfel încât $\mu (A)<\infty$ ${\ displaystyle \ mu (A) <\ infty}$ ${\ displaystyle \ mu (A) <\ infty}$ Și $f(x)=0$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$ $f (x) = 0$ de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu aparține $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Este $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ . Apoi, există o funcție $g\in C_{c}(X)$ ${\ displaystyle g \ în C_ {c} (X)}$ ${\ displaystyle g \ în C_ {c} (X)}$ astfel încât: ^[1]

\mu (\{x:f(x)\neq g(x)\})<\varepsilon .

{\ displaystyle \ mu (\ {x: f (x) \ neq g (x) \}) <\ varepsilon.}

{\ displaystyle \ mu (\ {x: f (x) \ neq g (x) \}) <\ varepsilon.}

De asemenea, este posibil să scrieți:

\sup _{x\in X}|g(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|.

{\ displaystyle \ sup _ {x \ in X} | g (x) | \ leq \ sup _ {x \ in X} | f (x) |.}

{\ displaystyle \ sup _ {x \ in X} | g (x) | \ leq \ sup _ {x \ in X} | f (x) |.}

Teorema lui Vitali

Este $f\in L^{1}(\mu )$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {1} (\ mu)}$ $f \ în L ^ {1} (\ mu)$ la valori reale și ambele $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ . Apoi, există două funcții $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $u\leq f\leq v$ ${\ displaystyle u \ leq f \ leq v}$ ${\ displaystyle u \ leq f \ leq v}$ , și astfel încât $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este limitat și semi-continuu în partea de jos, $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este delimitat și semi-continuu în partea de sus, iar relația: ^[2] se menține și ea

\int _{X}(v-u)d\mu <\varepsilon .

{\ displaystyle \ int _ {X} (vu) d \ mu <\ varepsilon.}

{\ displaystyle \ int _ {X} (v-u) d \ mu <\ varepsilon.}

Proprietate

Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ Și $(Y,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}})}$ $(Y, {\ mathfrak {G}})$ două spații boreliene , adică $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$ au o topologie , cu ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ Și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ σ-algebrele generate de topologiile aferente. Apoi, fiecare funcție continuă de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ la $Da$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$ este măsurabilă.
Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ Și $(Y,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}})}$ $(Y, {\ mathfrak {G}})$ două spații boreliene. Limitele punctuale ale funcțiilor măsurabile sunt funcții măsurabile. Adică, fie el $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ o succesiune de funcții măsurabile $f_{n}:X\mapsto Y$ ${\ displaystyle f_ {n}: X \ mapsto Y}$ ${\ displaystyle f_ {n}: X \ mapsto Y}$ (mai general, aceeași construcție poate fi realizată pentru o rețea ) și să presupunem că $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ converge punctual a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , adică pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ există:

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=:f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) =: f (x)}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) =: f (x)}

Atunci

f

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle f}

este o funcție măsurabilă.

Lasa-i sa fie $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ , $(Y,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}})}$ $(Y, {\ mathfrak {G}})$ , $(Z,{\mathfrak {H}})$ ${\ displaystyle (Z, {\ mathfrak {H}})}$ ${\ displaystyle (Z, {\ mathfrak {H}})}$ de spații măsurabile și să presupunem că ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ Și ${\mathfrak {G}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$ ${\ mathfrak {G}}$ conține toate singletele , ^[3] adică toate seturile formate dintr-un singur element. Este $(X\times Y,{\mathfrak {F}}\times {\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (X \ times Y, {\ mathfrak {F}} \ times {\ mathfrak {G}})}$ ${\ displaystyle (X \ times Y, {\ mathfrak {F}} \ times {\ mathfrak {G}})}$ spațiul măsurabil produs de $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ pentru $(Y,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}})}$ ${\ displaystyle (Y, {\ mathfrak {G}})}$ . De sine $f:X\times Y\mapsto Z$ ${\ displaystyle f: X \ times Y \ mapsto Z}$ ${\ displaystyle f: X \ times Y \ mapsto Z}$ este o funcție $({\mathfrak {F}}\times {\mathfrak {G}},{\mathfrak {H}})$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}} \ times {\ mathfrak {G}}, {\ mathfrak {H}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}} \ times {\ mathfrak {G}}, {\ mathfrak {H}})}$ -măsurabil, apoi pentru fiecare fix $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ functia $f_{(x)}$ ${\ displaystyle f _ {(x)}}$ ${\ displaystyle f _ {(x)}}$ , uneori numită secțiunea din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ lung $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și data de la:

f_{(x)}:Y\mapsto Z

{\ displaystyle f _ {(x)}: Y \ mapsto Z}

{\ displaystyle f _ {(x)}: Y \ mapsto Z}

f_{(x)}(y):=f(x,y)

{\ displaystyle f _ {(x)} (y): = f (x, y)}

{\ displaystyle f _ {(x)} (y): = f (x, y)}

Și

({\mathfrak {G}},{\mathfrak {H}})

{\ displaystyle ({\ mathfrak {G}}, {\ mathfrak {H}})}

{\ displaystyle ({\ mathfrak {G}}, {\ mathfrak {H}})}

-măsurabil.

Aplicații

Noțiunea de funcție măsurabilă a fost introdusă în principal cu scopul de a formaliza teoria integrării . Pentru a defini integralul unei funcții este necesar ca aceasta să aibă proprietăți de regularitate, inclusiv măsurabilitate. Având în vedere un spațiu de măsurare $(X,{\mathfrak {F}},\mu )$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)}$ $(X, {\ mathfrak {F}}, \ mu)$ , pentru a defini integralul față de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ a unei funcții cu valoare reală ar trebui să cerem ca această funcție să fie $({\mathfrak {F}},{\mathfrak {B}})$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {B}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {B}})}$ - măsurabile (aici ${\mathfrak {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$ $\ mathfrak {B}$ este σ-algebra lui Borel a numerelor reale). ^[4]
Funcțiile măsurabile joacă un rol fundamental în teoria sistemelor dinamice . În acest context, ele sunt definite și ca observabile ale sistemului, întrucât în formalizarea matematică a unui fenomen fizic printr-un sistem dinamic, funcțiile măsurabile reprezintă tocmai cantitățile pe care le putem „observa și măsura” de fapt.
În teoria probabilității , un proces stocastic este o funcție măsurabilă de la un spațiu de probabilitate la valori într-un set adecvat, în general un spațiu funcțional . Deși există mai multe definiții neechivalente ale unui proces stocastic în matematică, măsurabilitatea este întotdeauna cerința fundamentală pentru ca o funcție pe un spațiu de probabilitate să poată fi numită „proces stocastic”.
Studiul funcțiilor măsurabile pe spații măsurabile ale produsului este important în diferite domenii ale matematicii, cum ar fi, de exemplu, în rezultatele referitoare la integrale multiple , teoria probabilității , variabile aleatoare independente sau procese stocastice în general.

Exemple

Identitatea este o funcție măsurabilă pe orice spațiu măsurabil. Mai general, este măsurabilă prin $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ la $(X,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {G}})}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {G}})}$ dacă și numai dacă ${\mathfrak {G}}\subset {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ subset {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ subset {\ mathfrak {F}}}$ .
În întrebările referitoare la măsurabilitatea funcțiilor cu valoare reală , numerele reale sunt în general considerate a fi implicit echipate cu algebra lor σ Borel ${\mathfrak {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}}}$ $\ mathfrak {B}$ . De exemplu, având în vedere un spațiu măsurabil $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ , o functie $f:X\mapsto \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ mapsto \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: X \ mapsto \ mathbb {R}}$ vom spune măsurabil dacă este - cu notația introdusă mai sus - $({\mathfrak {F}},{\mathfrak {B}})$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {B}})}$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {F}}, {\ mathfrak {B}})}$ -măsurabil. Rețineți că, în acest caz, pentru ca măsurabilitatea unei funcții cu valoare reală să fie garantată, trebuie doar să se întâmple $f^{-1}{\big (}(a,b){\big )}\in {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ big (} (a, b) {\ big)} \ în {\ mathfrak {F}}}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ big (} (a, b) {\ big)} \ în {\ mathfrak {F}}}$ pentru fiecare interval real $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ .
De sine $(X,{\mathfrak {F}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {F}})}$ $(X, {\ mathfrak {F}})$ Și $(\Psi ,{\mathfrak {G}})$ ${\ displaystyle (\ Psi, {\ mathfrak {G}})}$ $(\ Psi, {\ mathfrak {G}})$ sunt două spații boreliene , atunci fiecare funcție continuă este măsurabilă. ^[5]
De sine $E\subset X$ ${\ displaystyle E \ subset X}$ $E \ subset X$ este un set măsurabil , apoi funcția indicator ( măsura formei ) sau funcția caracteristică a $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , notat cu $\chi _{E}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E}}$ ${\ displaystyle \ chi _ {E}}$ și definit de:

\chi _{E}(x):={\begin{cases}1\quad {\mbox{se }}x\in E\\0\quad {\mbox{se }}x\not \in E\end{cases}}

{\ displaystyle \ chi _ {E} (x): = {\ begin {cases} 1 \ quad {\ mbox {se}} x \ in E \\ 0 \ quad {\ mbox {se}} x \ not \ în E \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ chi _ {E} (x): = {\ begin {cases} 1 \ quad {\ mbox {se}} x \ in E \\ 0 \ quad {\ mbox {se}} x \ not \ în E \ end {cases}}}

este măsurabilă (în ceea ce privește σ-algebra lui Borel pe numere reale). Această observație simplă este utilizată, de exemplu, într-o posibilă definiție a integralului (la început este definită de funcții caracteristice, apoi este necesară măsurarea lor).

Notă

^ W. Rudin , pagina 53 .
^ W. Rudin , pagina 54 .
^ Rețineți că această ipoteză este foarte slabă și, în general, satisfăcută de algebrele σ utilizate în mod obișnuit. De exemplu, este satisfăcută automat de σ-algebrele boreliene ale spațiilor T ₁ .
^ Rețineți însă că, pentru ca integralele să fie bine definite, măsurabilitatea funcției integrand este o condiție necesară, dar nu suficientă. De fapt, în general, ar trebui să presupunem că integranda $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este, de asemenea, integrabilă. Adesea, însă, această ultimă condiție (integrabilitate) este verificabilă în mod explicit. De exemplu, dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură finită, atunci fiecare funcție măsurabilă și limitată este integrabilă.
^ Vezi lema de măsurabilitate a funcțiilor continue .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Patrick Billingsley, Probabilitate și măsură , ediția a 3-a, New York, John Wiley & Sons , 1995, ISBN 0-471-00710-2 , ..
Donald L. Cohn, The Measure Theory , Boston, Birkhäuser, 1980, ISBN 0-8493-7157-0 .
Lawrence C. Evans , Teoria măsurătorilor și proprietățile fine ale funcțiilor , Boca Raton, CRC Press, 1992, ISBN 0-8176-3003-1 .
Paul R. Halmos , The Measure Theory , New York, Springer-Verlag, 1974, ISBN 0-387-90088-8 .

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 23530

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 53 .

[2] W. Rudin , pagina 54 .

[3] Rețineți că această ipoteză este foarte slabă și, în general, satisfăcută de algebrele σ utilizate în mod obișnuit. De exemplu, este satisfăcută automat de σ-algebrele boreliene ale spațiilor T ₁ .

[4] Rețineți însă că, pentru ca integralele să fie bine definite, măsurabilitatea funcției integrand este o condiție necesară, dar nu suficientă. De fapt, în general, ar trebui să presupunem că integranda $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este, de asemenea, integrabilă. Adesea, însă, această ultimă condiție (integrabilitate) este verificabilă în mod explicit. De exemplu, dacă $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este o măsură finită, atunci fiecare funcție măsurabilă și limitată este integrabilă.

[5] Vezi lema de măsurabilitate a funcțiilor continue .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]