Funcția periodică

Exemplu de funcție periodică. P indică perioada.

În matematică , la un nivel intuitiv, o funcție periodică este o funcție care își asumă valori care se repetă exact la „intervale” regulate.

Definiție

O functie $f\colon A\to B$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B}$ $f \ colon A \ to B$ definit pe un grup abelian $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este periodic de perioadă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , cu $t\in A$ ${\ displaystyle t \ în A}$ $t \ in A$ , de sine $f(a+t)=f(a)$ ${\ displaystyle f (a + t) = f (a)}$ $f (a + t) = f (a)$ pentru fiecare $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ .

Funcțiile variabilelor reale

Cele mai cunoscute funcții periodice sunt funcțiile reale ale unei variabile reale. În mod formal, o funcție reală $f\colon A\to B$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B}$ $f \ colon A \ to B$ se numește periodic de perioadă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ dacă există un număr real $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ astfel încât

domeniul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este invariant sub traducerea lui $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , adică $A+t=\{a+t\mid a\in A\}=A$ ${\ displaystyle A + t = \ {a + t \ mid a \ în A \} = A}$ $A + t = \ {a + t \ mid a \ în A \} = A$
functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este invariant sub traducerea lui $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , adică pentru fiecare $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ da ai $f(a+t)=f(a)$ ${\ displaystyle f (a + t) = f (a)}$ $f (a + t) = f (a)$ .

Formulare

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este periodic de perioadă $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ și este perioadă periodică $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ , atunci este periodic pentru fiecare perioadă

t\in t_{1}\mathbb {Z} +t_{2}\mathbb {Z} =\{mt_{1}+nt_{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}

{\ displaystyle t \ in t_ {1} \ mathbb {Z} + t_ {2} \ mathbb {Z} = \ {mt_ {1} + nt_ {2} \ mid m, n \ in \ mathbb {Z} \ }}

t \ in t_1 \ Z + t_2 \ Z = \ {mt_1 + nt_2 \ mid m, n \ in \ Z \}

.

Întregul ${\mathcal {T}}_{f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {f}}$ $\ mathcal {T} _f$ a perioadelor $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este deci unul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ - modul .

De sine ${\mathcal {T}}_{f}=\{0\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {f} = \ {0 \}}$ $\ mathcal {T} _f = \ {0 \}$ , adică dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are doar perioada, atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește aperiodic .
De sine ${\mathcal {T}}_{f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {f}}$ $\ mathcal {T} _f$ este o formă liberă de dimensiune $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , adică dacă ${\mathcal {T}}_{f}=t\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {f} = t \ mathbb {Z}}$ $\ mathcal {T} _f = t \ Z$ cu $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ , adică dacă există un minim între perioade $t>0$ ${\ displaystyle t> 0}$ $t> 0$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește periodic al perioadei minime $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , sau periodic periodic $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ strict vorbind .
Modulul ${\mathcal {T}}_{f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {f}}$ $\ mathcal {T} _f$ nici nu este neapărat lipsit de dimensiuni $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , adică este posibil să nu existe o perioadă minimă strict pozitivă; de exemplu, funcția Dirichlet are ${\mathcal {T}}_{f}=\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {f} = \ mathbb {Q}}$ $\ mathcal {T} _f = \ Q$ și nu este nici aperiodic, nici periodic în sens strict.

Domenii restricționate

Din orice funcție cu valoare reală definită pe un domeniu delimitat putem defini o funcție periodică, având o perioadă mai mare sau egală cu lățimea domeniului. De exemplu, funcția de identitate cu restricție de interval $[0,1)$ ${\ displaystyle [0,1)}$ $[0,1)$ ,

f\colon {\begin{array}{ccc}[0,1[&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x\end{array}}

{\ displaystyle f \ colon {\ begin {array} {ccc} [0,1 [& \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x \ end {array}}}

f \ colon \ begin {array} [t] {ccc} [0,1 [& \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x \ end {array}

definește o funcție periodică a perioadei 1 definită pe toate realele: partea fracționată

{\tilde {f}}\colon {\begin{array}{ccc}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &x-[x]\end{array}}

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ colon {\ begin {array} {ccc} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & x- [x] \ end { matrice}}}

\ tilde {f} \ colon \ begin {array} [t] {ccc} \ R & \ to & \ R \\ x & \ mapsto & x- [x] \ end {array}

Exemple

Funcțiile trigonometrice sinus și cosinus sunt periodice ale perioadei minime $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .
Prin urmare, funcțiile sunt periodic periodice:
- $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ ${\ displaystyle \ tan (x) = {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}}}$ $\ tan (x) = \ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}$ Și $\cot(x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}$ ${\ displaystyle \ cot (x) = {\ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)}}}$ $\ cot (x) = \ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)}$ , care au o perioadă minimă $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ;
- $\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}$ ${\ displaystyle \ sec (x) = {\ frac {1} {\ cos (x)}}}$ $\ sec (x) = \ frac {1} {\ cos (x)}$ Și $\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}}$ ${\ displaystyle \ csc (x) = {\ frac {1} {\ sin (x)}}}$ $\ csc (x) = \ frac {1} {\ sin (x)}$ , care au o perioadă minimă $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

Funcții dublu periodice

O funcție poate admite două sau mai multe perioade necomensurabile (definiția depinde de caracteristicile care sunt necesare domeniului).

De exemplu, o funcție eliptică este o funcție dublu periodică :

este definit de setul de numere complexe în sine,

f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}

este periodic în ceea ce privește două perioade,

\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} ^{\ast }\ \forall z\in \mathbb {C} \ f(z+\omega _{1})=f(z+\omega _{2})=f(z)

{\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C} ^ {\ ast} \ \ forall z \ in \ mathbb {C} \ f (z + \ omega _ {1} ) = f (z + \ omega _ {2}) = f (z)}

{\ displaystyle \ omega _ {1}, \ omega _ {2} \ in \ mathbb {C} ^ {\ ast} \ \ forall z \ in \ mathbb {C} \ f (z + \ omega _ {1} ) = f (z + \ omega _ {2}) = f (z)}

aceste două perioade sunt „incomensurabile”,

\omega _{1}/\omega _{2}\not \in \mathbb {R}

{\ displaystyle \ omega _ {1} / \ omega _ {2} \ not \ in \ mathbb {R}}

\ omega_1 / \ omega_2 \ not \ in \ R

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Funcție periodică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 34383 · LCCN (EN) sh85099883 · GND (DE) 4224901-6 · BNF (FR) cb12288235k (dată) · NDL (EN, JA) 00.57238 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy