Funcția surjectivă

Un exemplu de funcție surjectivă: nu există niciun element al lui Y care să nu fie arătat de un element al lui X

În matematică , o funcție se spune surjectivă (sau surjectivă sau suriezione) atunci când fiecare element al codomainului este imaginea a cel puțin un element al domeniului . În acest caz, rezultă că imaginea coincide cu codomainul .

Definiție

O functie $f\colon X\rightarrow Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow Y}$ $f \ colon X \ rightarrow Y$ se numește surjectiv dacă $\forall y\in Y,\exists x\in X|f(x)=y$ ${\ displaystyle \ forall y \ în Y, \ există x \ în X | f (x) = y}$ $\ forall y \ în Y, \ exist x \ in X | f (x) = y$ .

Compusul a două funcții surjective este el însuși surjectiv; dar dacă $g\circ f$ ${\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ este surjectiv, putem concluziona doar că $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este surjectiv

Exemple

Pentru orice set X , funcția de identitate id _X pe X este surjectivă.
Funcția f : R → R definită de f ( x ) = 2 x + 1 este surjectivă, deoarece pentru fiecare număr real y avem f ( x ) = y unde x este ( y - 1) / 2.
Funcția logaritmică naturală ln: R + → R este surjectivă.
Să fie pilda $f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (x) = x ^ {2}$ definit astfel: $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ $f \ colon \ R \ longrightarrow \ R$ ; această funcție nu este surjectivă deoarece setul de imagini este alcătuit din toate numerele reale non-negative . Pentru a face această funcție surjectivă este suficient să se facă această restricție: $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {+} \ cup \ {0 \}}$ $f \ colon \ R \ longrightarrow \ R ^ + \ cup \ {0 \}$ , adică să ia în considerare o gamă diferită.

Grafic, surjectivitatea poate fi văzută în acest fel: dacă avem o funcție reală a unei variabile reale care este surjectivă, atunci trasând pe plan cartezian orice linie paralelă cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ecuaţie $y=h$ ${\ displaystyle y = h}$ $y = h$ cu $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ aleasă în domeniul funcției, atunci această linie orizontală va intersecta graficul funcției cel puțin o dată.

Proprietate

O funcție f : X → Y este surjectivă dacă și numai dacă există o funcție g : Y → X astfel încât f sau g este funcția de identitate pe Y. (Această propoziție este echivalentă cu axioma alegerii .)
Dacă f și g sunt ambii surjectivi, atunci f sau g sunt surjectivi.
Dacă f sau g este surjectiv, atunci f este surjectiv (dar g poate să nu fie).
f : X → Y este surjectiv dacă și numai dacă, pentru orice pereche de funcții g , h : Y → Z , ori de câte ori g sau f = h sau f , atunci g = h . Cu alte cuvinte, funcțiile surjective sunt exact epimorfismele din categoria Ins a tuturor seturilor.
Dacă f : X → Y este surjectiv și B este un subset al lui Y , atunci f ( f ⁻¹ ( B )) = B. Rezultă că B poate fi reconstituit din contraimaginea sa f ⁻¹ ( B ).
Pentru fiecare funcție h : X → Z există o surjecție f și o funcție injectivă g astfel încât h poate fi descompus ca h = g sau f . Această descompunere este unică până la un izomorfism , și f poate fi văzut ca o funcție având aceleași valori ca h, dar al cărei interval este limitat la setul de imagini h ( W ) al h , care este un subset al intervalului Z al h .
Prin agregarea împreună a tuturor imaginilor contra unei imagini prestabilite, fiecare funcție surjectivă induce o funcție biunivocă definită pe coeficientul domeniului său. În special, fiecare funcție surjectivă f : A → B poate fi luată în calcul într-o proiecție urmată de o bijecție în felul următor. Fie A / ~ ansamblul claselor de echivalență ale lui A în raport cu următoarea relație de echivalență: x ~ y dacă și numai dacă f ( x ) = f ( y ). Fie P (~): A → A / ~ fi proiecția care asociază fiecare x din A la clasa sa de echivalență [x] _~, și să f _P: A / ~ → B să fie funcția bine definită dată de f _P ( [ x ] _~ ) = f ( x ). Atunci f = f _P sau P (~).
Dacă f : X → Y este surjectiv și X, Y sunt mulțimi finite, atunci X admite cel puțin același număr de elemente ca Y.
Dacă X și Y sunt finite cu același număr de elemente, atunci f : X → Y este surjectiv dacă și numai dacă f este injectiv .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcție surjectivă

linkuri externe

( EN ) Funcție surjectivă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică