Armonice sferice

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
De sus în jos: de la l = 0 la 4
De la stânga la dreapta: m = 0 până la ± 4 (armonici non-imaginare)
Cele două armonici sferice neimaginate care sunt combinații liniare de y l, m și y l, -m sunt echivalente una cu cealaltă, dar rotite cu 90 de grade în jurul axei z.

În analiza matematică , armonicele sferice sunt un set ortogonal de soluții la ecuația lui Legendre , introdusă pentru prima dată de Laplace în 1782 . [1] Acestea sunt importante, de exemplu, în calculul orbitalilor atomici , în reprezentarea câmpului gravitațional al planetelor și al câmpurilor magnetice ale pulsarilor și în caracterizarea radiației de fond . În grafica 3D , acestea joacă un rol major în iluminarea globală și în recunoașterea formei 3D. Ele sunt, de asemenea, baza sistemelor de geodezie utilizate în EGM96 , geoidul standard de referință al WGS84 .

Armonicele sferice sunt funcții complexe continue limitate ale variabilelor unghiulare Și . Ele sunt importante în multe domenii teoretice și aplicative, în special în mecanica cuantică , în cazul mișcărilor centrale (de exemplu în calculul configurațiilor electronice ale unui atom ) și în aproximarea câmpului gravitațional al Pământului.

Definiție

Soluțiile ecuației lui Legendre sunt de tip polinomial (având set întreg pozitiv) și sunt o generalizare a polinoamelor Legendre care se pot obține pentru . Aceste soluții se numesc polinoame asociate Legendre și au forma: [2]

unde este sunt tocmai polinoamele Legendre . În special, armonicele sferice sau funcțiile sferice sunt definite ca funcții

cu starea

Armonicele sferice, scrise în coordonate carteziene, iau forma unor polinoame complexe omogene de grad

Proprietățile armonicelor sferice

Este un vector unitate, deci un obiect geometric identificat prin coordonate

  • Paritate totală. Sub inversarea tuturor coordonatelor adică armonicele sferice sunt impare sau chiar în funcție de :
  • Paritate în plan . Numai sub inversarea coordonatelor armonicele sferice sunt impare sau chiar în funcție de :
  • Paritate lungă . Sub inversiunea talpii , :

atâta timp cât

Armonice sferice și cilindrice

Funcțiile Bessel sunt legate de funcțiile cilindrice Bessel : [3]

Funcțiile Neumann sunt legate de funcțiile Neumann cilindrice : [3]

Funcțiile Hankel sunt definite în mod analog cu funcțiile Hankel cilindrice : [4]

Primele armonici sferice

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: tabel armonic sferic .

Primele armonici sferice sunt: [5]

Armonice sferice cu l = 0

Armonice sferice cu l = 1

Armonice sferice cu l = 2

Mecanica cuantică

Armonicele sferice sunt importante în mecanica cuantică, deoarece sunt funcții proprii simultane ale operatorilor de moment unghiular total , a componentei sale lungi și operatorul de paritate :

Și avem:

Mai mult, deoarece partea unghiulară a Laplacianului poate fi scrisă în funcție de :

putem scrie soluțiile ecuației Schrödinger ca produs al unei funcții radiale de câte o armonică sferică. De fapt, impulsul unghiular este generatorul de rotații și într-un sistem cu simetrie sferică trebuie să fie o constantă de mișcare :

Armonicele sferice reprezintă amplitudinea probabilității ca un sistem caracterizat de numerele cuantice ale operatorului de moment unghiular Și este într-o poziție a cărei direcție este definită de valorile lui , unghiurile coordonatelor sferice .

Notă

  1. ^ O relatare istorică poate fi găsită în TM MacRobert,capitolul IV , în Armonice sferice: Un tratat elementar privind funcțiile armonice, cu aplicații , Pergamon Press, 1967.
  2. ^ (EN) Nicola Manini, Introducere în fizica materiei, Springer , 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.13
  3. ^ a b David J. Griffiths, Introducere în mecanica cuantică , Editura Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.149
  4. ^ David J. Griffiths, Introducere în mecanica cuantică , Editura Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.408
  5. ^ David J. Griffiths, Introducere în mecanica cuantică , Editura Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.146

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

  • Tratament analitic , pe mathworld.wolfram.com .
  • Discuție analitică , pe math.ohio-state.edu . Adus la 28 februarie 2006 (arhivat din original la 16 februarie 2006) .
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică