De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
De sus în jos: de la l = 0 la 4
De la stânga la dreapta: m = 0 până la ± 4 (armonici non-imaginare)
Cele două armonici sferice neimaginate care sunt combinații liniare de y l, m și y l, -m sunt echivalente una cu cealaltă, dar rotite cu 90 de grade în jurul axei z.
În analiza matematică , armonicele sferice sunt un set ortogonal de soluții la ecuația lui Legendre , introdusă pentru prima dată de Laplace în 1782 . [1] Acestea sunt importante, de exemplu, în calculul orbitalilor atomici , în reprezentarea câmpului gravitațional al planetelor și al câmpurilor magnetice ale pulsarilor și în caracterizarea radiației de fond . În grafica 3D , acestea joacă un rol major în iluminarea globală și în recunoașterea formei 3D. Ele sunt, de asemenea, baza sistemelor de geodezie utilizate în EGM96 , geoidul standard de referință al WGS84 .
Armonicele sferice sunt funcții complexe continue limitate ale variabilelor unghiulare {\ displaystyle \ theta} Și {\ displaystyle \ varphi} . Ele sunt importante în multe domenii teoretice și aplicative, în special în mecanica cuantică , în cazul mișcărilor centrale (de exemplu în calculul configurațiilor electronice ale unui atom ) și în aproximarea câmpului gravitațional al Pământului.
Definiție
Soluțiile ecuației lui Legendre sunt de tip polinomial (având set {\ displaystyle l} întreg pozitiv) și sunt o generalizare a polinoamelor Legendre care se pot obține pentru {\ displaystyle m = 0} . Aceste soluții se numesc polinoame asociate Legendre și au forma: [2]
- {\ displaystyle P_ {l} ^ {m} (x) = (- 1) ^ {m} (1-x ^ {2}) ^ {\ frac {m} {2}} {\ frac {d ^ { m} P_ {l} (x)} {dx ^ {m}}},}
unde este {\ displaystyle P_ {l} (x)} sunt tocmai polinoamele Legendre . În special, armonicele sferice sau funcțiile sferice sunt definite ca funcții
- {\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {(- 1) ^ {\ frac {m + | m |} {2}}} \ left \ {{\ frac {2l + 1} {4 \ pi}} {\ frac {(l- | m |)!} {(L + | m |)!}} \ Right \} ^ {\ frac {1} {2}} P_ {l } ^ {| m |} (\ cos \ theta) și ^ {im \ varphi},}
cu starea {\ displaystyle | m | \ leq l.}
Armonicele sferice, scrise în coordonate carteziene, iau forma unor polinoame complexe omogene de grad {\ displaystyle l.}
Proprietățile armonicelor sferice
Este {\ displaystyle {\ hat {n}}} un vector unitate, deci un obiect geometric identificat prin coordonate {\ displaystyle (\ theta, \ varphi).}
- {\ displaystyle \ left [Y_ {l} ^ {m} ({\ hat {n}}) \ right] ^ {\ star} = (- 1) ^ {m} Y_ {l} ^ {- m} ( {\ hat {n}}).}
- Paritate totală. Sub inversarea tuturor coordonatelor {\ displaystyle x \ to -x, y \ to -y, z \ to -z} adică {\ displaystyle \ theta \ to \ pi - \ theta, \ varphi \ to \ varphi + \ pi} armonicele sferice sunt impare sau chiar în funcție de {\ displaystyle l} :
- {\ displaystyle PY_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = Y_ {l} ^ {m} (\ pi - \ theta, \ varphi + \ pi) = (- 1) ^ {l} Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
- Paritate în plan {\ displaystyle xy} . Numai sub inversarea coordonatelor {\ displaystyle x, y} armonicele sferice sunt impare sau chiar în funcție de {\ displaystyle m} :
- {\ displaystyle P_ {xy} Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi + \ pi) = (- 1) ^ {m} Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
- Paritate lungă {\ displaystyle z} . Sub inversiunea talpii {\ displaystyle z} , {\ displaystyle z \ to -z} :
- {\ displaystyle P_ {z} Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = Y_ {l} ^ {m} (\ pi - \ theta, \ varphi) = (- 1) ^ {l + m} Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
atâta timp cât {\ displaystyle P_ {z} = P \, P_ {xy}}
Armonice sferice și cilindrice
Funcțiile Bessel sunt legate de funcțiile cilindrice Bessel {\ displaystyle J _ {\ alpha}} : [3]
- {\ displaystyle j _ {\ alpha} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} J _ {\ alpha +1/2} (x).}
Funcțiile Neumann sunt legate de funcțiile Neumann cilindrice {\ displaystyle y _ {\ alpha}} : [3]
- {\ displaystyle y _ {\ alpha} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} Y _ {\ alpha +1/2} (x) = (- 1) ^ {\ alpha +1} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} J _ {- \ alpha -1/2} (x).}
Funcțiile Hankel sunt definite în mod analog cu funcțiile Hankel cilindrice {\ displaystyle H _ {\ alpha}} : [4]
- {\ displaystyle h _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) = j _ {\ alpha} (x) + iy _ {\ alpha} (x)}
- {\ displaystyle h _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) = j _ {\ alpha} (x) -iy _ {\ alpha} (x)}
Primele armonici sferice
Primele armonici sferice sunt: [5]
Armonice sferice cu l = 0
- {\ displaystyle Y_ {0} ^ {0} (x) = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {1 \ over \ pi}}}
Armonice sferice cu l = 1
- {\ displaystyle {\ begin {align} Y_ {1} ^ {- 1} (x) & = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3 \ over 2 \ pi}} e ^ {- i \ varphi} \ sin \ theta && = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3 \ over 2 \ pi}} {(x-iy) \ over r} \\ Y_ {1} ^ {0 } (x) & = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3 \ over \ pi}} \ cos \ theta && = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3 \ over \ pi}} {z \ over r} \\ Y_ {1} ^ {1} (x) & = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3 \ over 2 \ pi}} e ^ {i \ varphi} \ sin \ theta && = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {3 \ over 2 \ pi}} {(x + iy) \ over r} \ end {align}} }
Armonice sferice cu l = 2
- {\ displaystyle {\ begin {align} Y_ {2} ^ {- 2} (x) & = {1 \ over 4} {\ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} e ^ {- 2i \ varphi} \ sin ^ {2} \ theta && = {1 \ over 4} {\ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} {(x ^ {2} -2ixy-y ^ {2}) \ over r ^ {2} } \\ Y_ {2} ^ {- 1} (x) & = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} e ^ {- i \ varphi} \ sin \ theta \ cos \ theta && = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} {(xz-iyz) \ over r ^ {2}} \\ Y_ {2} ^ {0} (x) & = {1 \ over 4} {\ sqrt {5 \ over \ pi}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1) && = {1 \ over 4} {\ sqrt { 5 \ over \ pi}} {(- x ^ {2} -y ^ {2} + 2z ^ {2}) \ over r ^ {2}} \\ Y_ {2} ^ {1} (x) & = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} e ^ {i \ varphi} \ sin \ theta \ cos \ theta && = - {\ frac {1} {2 }} {\ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} {(xz + iyz) \ over r ^ {2}} \\ Y_ {2} ^ {2} (x) & = {1 \ over 4} { \ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} e ^ {2i \ varphi} \ sin ^ {2} \ theta && = {1 \ over 4} {\ sqrt {15 \ over 2 \ pi}} {(x ^ {2} + 2ixy-y ^ {2}) \ peste r ^ {2}} \ end {align}}}
Mecanica cuantică
Armonicele sferice sunt importante în mecanica cuantică, deoarece sunt funcții proprii simultane ale operatorilor de moment unghiular total {\ displaystyle L ^ {2}} , a componentei sale lungi {\ displaystyle z} și operatorul de paritate :
- {\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) \ equiv \ langle \ theta, \ varphi | l, m \ rangle.}
Și avem:
- {\ displaystyle L ^ {2} Y_ {l} ^ {m} = {l (l + 1)} \ hslash ^ {2} Y_ {l} ^ {m}}
- {\ displaystyle L_ {z} Y_ {l} ^ {m} = m \ hslash Y_ {l} ^ {m}.}
Mai mult, deoarece partea unghiulară a Laplacianului poate fi scrisă în funcție de {\ displaystyle L} :
- {\ displaystyle \ nabla _ {\ Omega} ^ {2} = {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left ( \ sin \ theta {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ varphi ^ {2}}} = - {\ frac {1} {\ hslash ^ {2} r ^ {2}}} L ^ {2},}
putem scrie soluțiile ecuației Schrödinger ca produs al unei funcții radiale de câte o armonică sferică. De fapt, impulsul unghiular este generatorul de rotații și într-un sistem cu simetrie sferică trebuie să fie o constantă de mișcare :
- {\ displaystyle [H, L] = 0.}
Armonicele sferice reprezintă amplitudinea probabilității ca un sistem caracterizat de numerele cuantice ale operatorului de moment unghiular {\ displaystyle l} Și {\ displaystyle m} este într-o poziție a cărei direcție este definită de valorile lui {\ displaystyle \ theta, \ varphi} , unghiurile coordonatelor sferice .
Notă
- ^ O relatare istorică poate fi găsită în TM MacRobert,capitolul IV , în Armonice sferice: Un tratat elementar privind funcțiile armonice, cu aplicații , Pergamon Press, 1967.
- ^ (EN) Nicola Manini, Introducere în fizica materiei, Springer , 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.13
- ^ a b David J. Griffiths, Introducere în mecanica cuantică , Editura Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.149
- ^ David J. Griffiths, Introducere în mecanica cuantică , Editura Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.408
- ^ David J. Griffiths, Introducere în mecanica cuantică , Editura Ambrosiana, 2015, ISBN 978-88-08-08747-8 . p.146
Bibliografie
- (RO) M. Abramowitz și I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , Dover, 1965 ISBN 978-04-86-61272-0 . ( capitolul 8 și capitolul 22 )
- Eduard Heine Handbuch der Kugelfunctionen (în germană, Georg Reimer; Berlin, 1861)
- John D Jackson, Electrodinamica clasică , traducere de A. Barbieri, ediția a III-a, Zanichelli , 2001, pp. 105-108, ISBN 978-88-08-09153-6 .
- Isaac Todhunter Un tratat elementar despre funcțiile lui Laplace, funcțiile lui Lamé și funcțiile lui Bessel [ link rupt ] (MacMillan, Londra, 1877)
- Norman MacLeod Ferrers Un tratat elementar despre armonica sferică și subiecte legate de acestea (MacMillan, Londra, 1877)
- William Ellwood Byerly Un tratat elementar despre seria lui Fourier și armonicele sferice, cilindrice și elipsoidale cu aplicații la problemele din fizica matematică. (Ginn & co., Boston, 1893)
- Francis A. Tarleton O introducere în teoria matematică a atracției (vol. 2) (Longman Greens & co., 1913) (capitolul 1)
- Edmund T. Whittaker și George N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1915) (capitolul 15)
Elemente conexe
Alte proiecte
linkuri externe
- Tratament analitic , pe mathworld.wolfram.com .
- Discuție analitică , pe math.ohio-state.edu . Adus la 28 februarie 2006 (arhivat din original la 16 februarie 2006) .