Logică neclară

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

„Atâta timp cât legile matematicii se referă la realitate, ele nu sunt sigure și, atâta timp cât sunt sigure, nu se referă la realitate”.

( Albert Einstein , din Sidelights on Relativity , 1922 [1] )

Logica fuzzy (sau logica fuzzy sau logica fuzzy ) este o logică în care fiecărei propoziții i se poate atribui un grad de adevăr diferit de 0 și 1 și inclus între ele. Este o logică polivalentă , adică o extensie a logicii booleene . Este legat de teoria seturilor neclare . Intuit deja de Descartes , Bertrand Russell , Albert Einstein , Werner Karl Heisenberg , Jan Łukasiewicz și Max Black , a fost concretizat de Lotfi Zadeh .

Prin grad de adevăr sau valoare de apartenență înțelegem cât de adevărată este o proprietate, care poate fi, pe lângă faptul că este adevărată (= valoarea 1) sau falsă (= valoarea 0) ca în logica clasică, și parțial adevărată și parțial falsă.

De exemplu, se poate spune că:

  • un bebeluș este „ tânăr ” de valoare 1
  • un copil de optsprezece ani este „tânăr” cu o valoare de 0,8
  • un tânăr de 65 de ani este „tânăr” cu o valoare de 0,15

În mod formal, acest grad de apartenență este determinat de o funcție de apartenență adecvată μ F (x) = μ. X reprezintă predicate care trebuie evaluate și aparținând unui set de predicate X. μ reprezintă gradul de apartenență al predicatului la setul fuzzy considerat și constă dintr-un număr real cuprins între 0 și 1. În lumina a ceea ce se afirmă, considerat ca fiind un exemplu anterior și o funcție de apartenență monotonă în scădere adecvată, ceea ce obțineți este:

  • μ F (nou-născut) = 1
  • μ F (optsprezece) = 0,8
  • μ F (șaizeci și cinci) = 0,15

Istorie

La începutul anilor 1960 , Lotfi A. Zadeh , profesor la Universitatea din California la Berkeley , cunoscut pentru contribuțiile sale la teoria sistemelor , a început să înțeleagă că tehnicile tradiționale de analiză a sistemelor erau exagerate și inutil exacte pentru multe probleme tipice. Lume reală. Ideea gradului de membru, concept care a devenit ulterior coloana vertebrală a teoriei seturilor nuanțate, a fost introdusă de el în 1964 , iar acest lucru a dus mai târziu, în 1965 , la publicarea unui prim articol și la nașterea unei logici nuanțate . Conceptul cu logică neclară (sau neclară) și logică neclară a atras critici dure din partea comunității academice; cu toate acestea, savanții și oamenii de știință din întreaga lume - din cele mai diverse domenii, de la psihologie la sociologie, de la filosofie la economie, de la științele naturii la inginerie - au devenit adepți ai lui Zadeh.

În Japonia, cercetările privind logica fuzzy au început cu două mici grupuri universitare fondate la sfârșitul anilor 1970 : primul a fost condus, la Tokyo, de T. Terano și H. Shibata, celălalt s-a stabilit în Kanasai sub îndrumarea lui K. Tanaka și Kiyoji. Asai. La fel ca cercetătorii americani, acești cercetători au întâmpinat inițial o atmosferă adversă logicii fuzzy. Cu toate acestea, tenacitatea și munca lor s-ar dovedi extrem de fructuoase deja după un deceniu: cercetătorii japonezi, studenții și studenții lor au adus contribuții importante atât la teorie, cât și la aplicațiile logicii fuzzy.

În 1974 , Seto Assilian și Ebrahim H. Mamdani au dezvoltat primul sistem de control al generatorului de abur pe bază de logică fuzzy din Marea Britanie . În 1976 , Blue Circle Cement și SIRA au conceput prima aplicație industrială a logicii fuzzy, pentru controlul unui cuptor pentru producerea de ciment. Sistemul a devenit operațional în 1982 .

În anii 1980 , mai multe aplicații industriale majore ale logicii fuzzy au fost lansate cu succes în Japonia . După opt ani de eforturi constante de cercetare, dezvoltare și reglare fină, în 1987 Seiji Yasunobu și colegii săi de la Hitachi au construit un sistem automat pentru controlul operațional al trenurilor metropolitane ale orașului Sendai . O altă dintre primele aplicații de succes ale logicii fuzzy este un sistem de tratare a apelor uzate dezvoltat de Fuji Electric . Aceste și alte aplicații au motivat mulți ingineri japonezi să investigheze un spectru larg de noi aplicații: acest lucru a condus apoi la un adevărat boom al logicii fuzzy, rezultatul unei colaborări strânse și al transferului de tehnologie între universități și industrie. Două proiecte naționale de cercetare la scară largă au fost decise de agențiile guvernamentale japoneze în 1987 , dintre care cel mai cunoscut ar fi Laboratorul pentru Cercetări Internaționale de Inginerie Fuzzy (LIFE). La sfârșitul lunii ianuarie 1990 , Matsushita Electric Industrial Co. a dat numele „ Asai-go (soția iubită) Day Fuzzy ” unei noi mașini de spălat autocontrolate și a lansat o campanie publicitară masivă pentru produsul „ fuzzy ”. Această campanie s-a dovedit a fi un succes comercial nu numai pentru produs, ci și pentru tehnologia în sine. Termenul de origine străină „ fuzzy ” a fost introdus în limba japoneză cu un sens nou și diferit: inteligent. Multe alte companii de electronice au urmat urmele Panasonic și au lansat pe piață aspiratoare, aragazuri pentru orez, frigidere, camere video (pentru a stabiliza cadrul sub mișcări bruște ale mâinilor) și camere (cu un autofocus mai eficient) pe piață. Acest lucru a dus la o adevărată nebunie pentru tot ceea ce este etichetat ca fuzzy: consumatorii japonezi au aflat despre cuvântul „ fuzzy, care a câștigat premiul pentru neologismul anului în 1990 . Succesele japoneze au stimulat un interes larg și serios pentru această tehnologie în Coreea , în Europa și, într-o măsură mai mică, în Statele Unite , unde s-a născut și logica fuzzy.

Logica fuzzy și-a găsit aplicarea și în domeniul financiar. Primul sistem de tranzacționare cu logică fuzzy a fost fondul Yamaichi Fuzzy, utilizat în șaizeci și cinci de companii și tranzacționează majoritatea acțiunilor listate în indicele Nikkei Dow și constă din aproximativ opt sute de reguli, stabilite lunar de un grup de experți și , dacă este necesar, modificat de analiști financiari cu experiență. Sistemul a fost testat timp de doi ani, iar performanța sa a depășit indicele Nikkei Average cu peste 20%. În timpul perioadei de încercare, sistemul a recomandat „ vinde ”, adică „vinde”, cu bine cu optsprezece zile înainte de Black Monday (19 octombrie 1987 ): în acea singură zi indicele Dow Jones Industrial Average a scăzut cu 23%. Sistemul a intrat în funcțiune în 1988 .

Primul cip VLSI (Very Large Scale Integration) dedicat calculului inferențelor fuzzy a fost dezvoltat de Masaki Togai și H. Watanabe în 1986 : astfel de cipuri sunt capabile să îmbunătățească performanța sistemelor fuzzy pentru toate aplicațiile în timp real. Mai multe companii (de exemplu, Togai Infralogic [2] , Aptronix [3] , Inform GmbH [4] ) au fost înființate în scopul comercializării instrumentelor hardware și software pentru dezvoltarea sistemelor de logică fuzzy. În același timp, furnizorii de software din domeniul teoriei controlului convențional au început, de asemenea, să introducă pachete suplimentare de proiectare a sistemului fuzzy. Fuzzy Logic Toolbox pentru MATLAB , de exemplu, a fost introdus ca o componentă suplimentară în 1994 .

Concepte fundamentale

În 1994, Zadeh a scris:

„Termenul de logică fuzzy este de fapt folosit în două semnificații diferite. Strict vorbind, este un sistem logic, o extensie a logicii cu valori multiple, care ar trebui să servească drept logica raționamentului aproximativ. Dar într-un sens mai larg logica fuzzy este mai mult sau mai puțin sinonimă cu teoria seturilor fuzzy , adică o teorie a claselor cu contururi indistincte. Ceea ce este important de recunoscut este că astăzi termenul de logică fuzzy este folosit în principal în acest sens mai larg "

Teoria mulțimilor fuzzy este o extensie a teoriei clasice a mulțimilor, deoarece principiile aristotelice ale non-contradicției șiterțul exclus („tertium non datur”) nu se aplică. Amintiți-vă asta, având în vedere două seturi Și (non-A), principiul non-contradicției afirmă că fiecare element aparține întregului nu poate aparține simultan ; în conformitate cu principiul terțului exclus, pe de altă parte, unirea unui întreg și complementul său constituie universul discursului. Cu alte cuvinte, dacă vreun element nu aparține setului , trebuie să aparțină în mod necesar complementului său .

Aceste principii logice conferă un caracter de bivalență rigidă întregii construcții aristotelice, caracter pe care îl găsim neschimbat și incontestabil până în prima jumătate a secolului al XX-lea, când lucrarea unor precursori ai lui Zadeh (în primul rând Max Black și Jan Łukasiewicz ) a permis dizolva lunga serie de paradoxuri la care a dat naștere bivalența logicii clasice și pe care el nu a putut să o lămurească.

Cel mai vechi și poate cel mai faimos dintre aceste paradoxuri este cel atribuit lui Eubulide din Milet (sec. IV î.Hr.), cunoscut și sub numele de paradox al mincinosului , care, în forma sa cea mai simplă, citește:

Epimenidele cretane susțin că toți cretanii sunt mincinoși ”.

În această formă, sugerată de logica propozițională , fiecare afirmație exprimă o descriere dihotomică. Dimpotrivă, în logica predicativă fiecare propoziție exprimă un set de descrieri similare sau fapte atomice , deoarece în propoziție toți cretanii sunt mincinoși . Rețineți că, strict vorbind (bivalent), o formulare a paradoxului care conține această propoziție este falsă, deoarece negația sa este adevărată: negarea tuturor este una , dar nu toate , prin urmare nu toți cretanii sunt mincinoși, Epimenide este un mincinos și deoarece negarea sa este adevărată, afirmația lui Epimenide ar fi falsă.

Cu toate acestea, paradoxul mincinos în forma propozițională aparține clasei de paradoxuri de auto-referință. Fiecare membru al acestei clase are o structură precum:

Următoarea propoziție este adevărată
Propoziția anterioară este falsă
"

sau mai succint:

Această propoziție este falsă

Acum, logica aristotelică se dovedește incapabilă să stabilească dacă aceste propoziții sunt adevărate sau false. Este incapabil din punct de vedere structural să dea un răspuns tocmai pentru că este bivalent, tocmai pentru că admite doar două valori ale adevărului: adevărat sau fals, alb sau negru, totul sau nimic; dar din moment ce paradoxul conține o referință la sine, nu poate presupune o valoare bine definită (fie adevărată, fie falsă) fără a se contrazice: aceasta implică faptul că orice încercare de a rezolva întrebarea pusă are ca rezultat o oscilație nesfârșită între două contrare extreme. Adevărul implică falsul și invers.

Potrivit lui Bart Kosko , unul dintre cei mai străluciți studenți ai lui Zadeh, de fapt, dacă ceea ce spune Epimenide este adevărat, atunci cretanul minte: prin urmare, din moment ce Epimenides este cretan, deci minte, trebuie să concluzionăm că spune adevăr. Dimpotrivă, dacă afirmația lui Epimenide este falsă, atunci Epimenidesul cretan nu minte și, prin urmare, se deduce că minte. În termeni simbolici, a indicat cu V afirmația paradoxului Eubulis și cu v = 0/1 valoarea sa de adevăr binar, avem, analizând separat cele două cazuri posibile:

și având în vedere că, așa cum se arată mai sus, valoarea de adevăr a lui V coincide cu cea a negației sale! V, adică: v =! v, ajungem la ecuația logică care exprimă această contradicție:

a cărei soluție este dată în mod trivial de:

Din aceasta se deduce în cele din urmă că afirmația paradoxului nu este nici adevărată, nici falsă, ci este pur și simplu o jumătate de adevăr sau, într-un mod echivalent, o jumătate de falsitate. Cele două posibile concluzii ale paradoxului sunt prezentate în forma contradictorie A și nu-A , iar această contradicție este suficientă doar pentru a invalida logica bivalentă . Dimpotrivă, acest lucru nu pune nicio problemă pentru logica fuzzy, deoarece, când cretanul minte și nu minte în același timp, el face acest lucru doar la 50%. Cele de mai sus confirmă validitatea sa în toate paradoxurile de auto-referință.

Este interesant de observat cum, prin admiterea explicită a existenței unei contradicții, condiția care o traduce este apoi utilizată pentru a determina singura soluție contradictorie dintre posibilitățile infinite (nuanțate, adică cu valori de adevăr fracționate) pentru întrebarea pusă: aceasta confirmă inexistența principiilor non-contradicției și a terțului exclus în logică chiar dacă acestea rămân în mod evident valabile atunci când vorbim de raționalități obiective interne.

De fapt, în logica fuzzy, existența unor circumstanțe paradoxale , adică a unor situații în care o anumită propoziție este simultan adevărată și falsă în același grad , este evidențiată de fiecare dintre punctele de intersecție dintre o funcție de apartenență generică și complementul acesteia. , având în mod necesar astfel de puncte ordonate egale cu ½. Acest lucru se datorează faptului că valoarea de adevăr a propoziției în cauză coincide cu valoarea de adevăr a negației sale.

Operatorii logici AND, OR și NOT ai logicii booleene sunt de obicei definiți, în contextul logicii fuzzy, ca operatori minimi, maximi și complementari; în acest caz, aceștia sunt numiți și operatori Zadeh , deoarece au fost introduși pentru prima dată în lucrările originale ale lui Zadeh însuși. Prin urmare, pentru variabilele neclare x și y avem, de exemplu:

S-a spus că teoria mulțimilor fuzzy generalizează teoria convențională a mulțimilor; de aceea și bazele sale axiomatice sunt inevitabil diferite. Datorită faptului că principiul treimii excluse nu constituie o axiomă a teoriei mulțimilor fuzzy, nu toate expresiile și identitățile, logic echivalente, ale algebrei booleene își mențin valabilitatea și în contextul logicii fuzzy.

Recent, au fost dezvoltate studii riguroase ale logicii fuzzy „în sens strict”, studii care se încadrează în linia antică a logicii multi-valori inaugurată de Jan Łukasiewicz (vezi de exemplu cartea lui Petr Hájek). Cu toate acestea, logica nuanțată, pe lângă faptul că a moștenit motivațiile filosofice la originea logicii multi-valorii, face parte din contextul mai larg al metodologiilor care au permis o reînnoire marcată a inteligenței artificiale clasice, dând viață so- numit soft computing care are între constituenții săi principali sunt rețelele neuronale artificiale, algoritmi genetici și controlul fuzzy.

Aplicarea la situații reale

O aplicație simplă ar putea fi clasificarea sub-rang a unei variabile continue. De exemplu, măsurarea unei temperaturi pentru un sistem antiblocare a unui sistem de frânare ar putea avea funcții diferite în funcție de anumite intervale de temperatură pentru a controla frânele în mod corect. Fiecare funcție mapează un anumit interval de temperatură, ca valori booleene 0 sau 1, în funcție de dacă temperatura este sau nu în intervalul specific. Aceste valori booleene pot fi utilizate pentru a determina modul de control al frânelor.

Fuzzy logic temperature en.svg

În această imagine, cele trei funcții, rece (în albastru), cald (în portocaliu) și fierbinte (în roșu) sunt reprezentate în diagramă referitoare la variabila comună, temperatura. O anumită temperatură asumată de sistemul anti-bloc (linia verticală în gri) are trei valori logice, una pentru fiecare dintre cele trei funcții. Atâta timp cât săgeata roșie indică zero, funcția fierbinte nu este adevărată (temperatura non-fierbinte, cu operatori matematici: „NU fierbinte”). Săgeata portocalie (care indică 0.2) indică faptul că funcția călduță este adevărată doar într-o mică măsură (poate fi descrisă în cuvinte ca „puțin călduță”); dimpotrivă, săgeata albastră (indicând 0,8) indică faptul că funcția rece este destul de adevărată („suficient de rece ”). Logica fuzzy a fost aplicată în multe domenii de inginerie. Aplicațiile logicii fuzzy au fost găsite în principal în dezvoltarea tehnologică a aparatelor inteligente de către industriile japoneze. O altă aplicație reală a logicii fuzzy a fost recent logica diagnosticului clinic. În acest domeniu a existat o comparație foarte interesantă între logica fuzzy și calculul probabilității .

Fuzzy și probabilitate

Pentru a înțelege diferența dintre logica fuzzy și teoria probabilităților , să luăm acest exemplu: Luați în considerare un lot de 100 de sticle de apă care conține 5 sticle de otravă. Pentru teoria probabilității, dacă iau o sticlă din lot, am o probabilitate de 0,95 să trag o sticlă care conține apă. Rezultatul evenimentului este bivalent: rezultatul pozitiv 1 sau negativ 0. În acest caz, logica bivalentă exprimă pe deplin cazul și nu ar avea sens să folosim logica „nuanțată”, deoarece universul cazurilor posibile este redus la numai două cazuri distincte. Acum golim toate cele 100 de sticle ale lotului într-un rezervor, vom avea un amestec compus din 95% apă și 5% otravă. Acum, să extragem o cantitate de amestec egală cu o sticlă din rezervor. Mai putem vorbi despre probabilități? Evident că nu, rezultatul va fi determinist. Putem spune că lichidul pe care l-am extras este apă sau otravă? Nu, va fi un amestec, astfel încât rezultatul nu poate fi bivalent 0 sau 1, dar trebuie să-și asume o valoare „nuanțată” între 0 și 1. Când vi se cere: „Am extras amestecul de apă sau otravă?” Cu o logică fuzzy am răspunde: pot spune că este apă pentru o valoare egală cu 0,95 și este otravă pentru o valoare egală cu 0,05. De fapt, nu creez o separare clară între cele două seturi „apă” și „otravă”, dar exprim o valoare care îmi spune în ce măsură rezultatul meu aparține combinației de apă și combinației de otravă.

Valorile neclare pot varia de la 0 la 1 (cum ar fi probabilitățile), dar, spre deosebire de acestea, ele descriu evenimente care apar într-o anumită măsură în timp ce nu se aplică evenimentelor aleatorii bivalente (indiferent dacă apar sau nu, fără valori intermediare).

Relațiile dintre logica fuzzy și teoria probabilităților sunt extrem de controversate și au dat naștere la polemici amare și deseori nu constructive în rândul adepților ambelor orientări [ fără sursă ] . Pe de o parte, de fapt, probabiliștii, întăriți de o tradiție veche de secole și de o poziție consolidată, au încercat să apere monopolul deținut istoric în materie de întâmplare și incertitudine, afirmând că logica nuanțată nu este altceva decât o probabilitate în deghizare., susținută în această convingere de circumstanță, pentru a fi considerată pur accidentală, că măsurile de probabilitate, precum gradele de apartenență la mulțimile fuzzy, sunt exprimate prin valori numerice incluse în intervalul real [0, 1].

Cercetătorii fuzzy, pe de altă parte, au arătat că chiar teoria probabilistică, în diferitele sale formulări (bazate, după caz, pe axiomele lui Kolmogorov , pe observații privind frecvența relativă de apariție a anumitor evenimente sau pe concepția bayesiană subiectivistă , conform căruia probabilitatea este traducerea, sub formă numerică, a unei stări de cunoaștere contingentă), este în cele din urmă o teorie a întâmplării încă ancorată ferm la un weltanschauung dicotomic și bivalent.

În această privință, Bart Kosko a mers atât de departe încât a discutat din nou conceptul de probabilitate așa cum a apărut până acum în cursul evoluției istorice, subliniind lipsa de soliditate a tuturor încercărilor menite să întemeieze teoria probabilității pe alte baze decât pur axiomatice., empirice sau subiective, și considerând-o o stare pură a spiritului, o reprezentare artificială destinată să compenseze ignoranța cauzelor reale ale unui eveniment: probabilitatea ar fi în realitate un simplu instinct de probabilitate .

Dimpotrivă, conform propriei interpretări a lui Kosko, probabilitatea este întregul din parte , adică măsura în care partea conține întregul. Partea poate, de fapt, să conțină întregul în măsura în care extensia sa se poate suprapune peste cea a întregului universal. Această concepție implică o afirmare aparent singulară, că partea poate conține întregul, nu numai în cazul banal în care partea coincide cu întregul; de fapt, operatorul de izolare nu mai este bivalent, ci este el însuși neclar și poate, prin urmare, să își asume orice valoare reală între 0 (nelimitare) și 1 (izolare completă sau, cel mult, coincidență).

Pe această bază, el poate concluziona în cele din urmă că teoria seturilor fuzzy conține și înțelege cea a probabilității ca fiind cazul său particular; realitatea ar fi deci deterministă, dar nuanțată: teoria haosului și- a evidențiat componenta deterministă, în timp ce teoria fuzzy a arătat importanța principiului homo mensura deja exprimat de Protagora . [5]

Notă

  1. ^(RO) Pentru textul integral, consultați [1] Depus la 9 august 2017 în Arhiva Internet . Sau [2]
  2. ^(EN) Togai InfraLogic; The World's Source for Fuzzy Logic Solutions Arhivat 7 februarie 2009 la Internet Archive .
  3. ^(RO) Bine ați venit la Aptronix, Fuzzy Logic Inc.: Companie din Silicon Valley Arhivat pe 23 decembrie 2008 în Internet Archive .
  4. ^(EN) Inform (fuzzytech)
  5. ^ Protagoras spune: "Omul este măsura tuturor lucrurilor, a celor care sunt în ceea ce sunt și a celor care nu sunt în faptul că nu sunt." (Protagoras, fr.1, în Platon , Theaetetus , 151d-152nd).

Bibliografie

Textele de diseminare

  • Bart Kosko , Gândul neclar. Teoria și aplicațiile logicii fuzzy , Seria: Tascabili Baldini & Castoldi, I nani. Viața matematică ; trad. de Agostino Lupoli, ediția a 4-a, Milano, Baldini și Castoldi, 2000, p. 365, ISBN 88-8089-193-6 .
  • Giangiacomo Gerla, Fuzzy logic and paradoxes , în Pristem Mathematical Letter , n. 32, 1999, pp. 31-39, ISSN 1593-5884 ( WC ACNP ) .

Texte în limba engleză

  • ( EN ) Roberto Leonardo Oscar Cignoli, Itala Maria Loffredo D'Ottaviano, Daniele Mundici, Algebraic Foundations of Many-valued Reasoning , Series: Trends in Logic - Studia logic library , Dordrecht , Kluwer Academic Publishers, 1999, p. 244, ISBN 0-7923-6009-5 .
  • ( EN ) Petr Hájek, Metamathematics of fuzzy logic , Series: Trends in logic, vol. 4 , Dordrecht , Kluwer Academic Publishers, 1998, p. 297, ISBN 0-7923-5238-6 .
  • (EN) Jiri George Klir, Ute H. St. Clair, Bo Yuan, Fundamente și aplicații ale teoriei seturilor, Upper Saddle River (New Jersey), Prentice Hall PTR, 27, p. 245, ISBN 0-13-341058-7 .
  • (EN) Jiri George Klir, Bo Yuan,Fuzzy Sets and Fuzzy Logic , Subtitle: Theory and Applications, Upper Saddle River (New Jersey), Prentice Hall PTR, 1995, p. 592 , ISBN 0-13-101171-5 .
  • ( EN ) Giangiacomo Gerla, Fuzzy logic: tools matematic for approximative reasoning , Series: Trends in logic, vol. 11 , Dordrecht , Kluwer Academic Publishers, 2001, p. 269, ISBN 0-7923-6941-6 .
  • ( EN ) Hans-Jürgen Zimmermann, Fuzzy Set Theory and its Applications , Dordrecht , Kluwer Academic Publishers, 2001, p. 514, ISBN 0-7923-7435-5 .
  • ( EN ) Jerry M. Mendel, Uncertain Rule-based Fuzzy Logic Systems: Introduction and New Directions , Upper Saddle River, Prentice Hall (New Jersey), 2000, p. 576, ISBN 0-13-040969-3 .
  • ( EN ) Guanrong Chen, Trung Tat Pham, Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems , Lincoln, Statele Unite, CRC Press, 2000, p. 328, ISBN 0-8493-1658-8 .
  • ( EN ) Marco Russo, Lakhmi C. Jain, Fuzzy Learning and Applications , Boca Raton, Florida, CRC Press, 2000, p. 400, ISBN 0-8493-2269-3 .
  • ( EN ) Timothy J. Ross, Fuzzy Logic with Engineering Applications , Chichester (Marea Britanie), John Wiley & Sons Ltd, 2004-06-25, p. 628, ISBN 0-470-86075-8 .

Texte cu valoare istorică

  • Lotfi Asker Zadeh , Fuzzy algorithms , în Informații și control , n. 5, 1968, pp. 94-102.
  • Lotfi Asker Zadeh , Fuzzy Sets , în Informații și control , n. 8, 1965, pp. 338-353.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 8078 · LCCN (EN) sh93006704 · BNF (FR) cb119867168 (data)