Gaz Fermi

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În fizică , în special în mecanica statistică , un gaz Fermi este un gaz fermion . Statistica Fermi-Dirac permite determinarea distribuției energiei pentru un gaz fermion la echilibru termic prin cunoașterea densității , temperaturii și a setului de stări de energie posibile.

Cu acest model, nucleonii din interiorul nucleului atomic sau electronii de conducție dintr-un metal pot fi descriși ca o primă aproximare.

Statistici Fermi-Dirac

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: statistici Fermi-Dirac .

Un gaz Fermi compus din particule identice urmează statistica Fermi-Dirac, din care deducem că:

care reprezintă valorile medii ale numerelor de ocupație pentru un gaz Fermi. Pentru un gaz Fermi toate numărul de ocupare este . Normalizarea necesită:

unde N este numărul total de particule din gaz. Din aceasta putem determina potențialul chimic.

Hamiltonianul unui gaz Fermi format din N fermioni cu masa m închisă într-o cutie cubică cu latura L este:

unde energia unei singure particule este:

exprimate în termeni de valori proprii, adică valorile energetice accesibile sistemului: . Ținând cont de degenerarea spinului unde s este rotirea fermionului, numărul de particule din elementul volumului spațiului de fază este:

adică pentru distribuția Fermi:

Mai precis, integrându-l pe acesta din urmă în distribuția impulsului se obține:

și de atunci , deducem imediat distribuția energiei:

Ultimele două expresii reprezintă distribuțiile Maxwell în cazul unui gaz Fermi. Din a doua se obține energia:

și numărul total de particule:

care oferă și potențialul termodinamic :

Coincide cu energia mai mică decât un factor:

care este o relație complet generală și este valabilă pentru toate sistemele, atât Bose, Fermi și Boltzmann.

Gazul Fermi degenerează complet

Să presupunem că avem un gaz fermion rotativ (asa de ), de exemplu electroni, la temperatura absolută = 0 K. Electronii la această temperatură încearcă să se plaseze în stările de energie inferioare, astfel încât energia totală să fie cea mai mică valoare posibilă, începând de la starea de energie zero, până la o anumită valoare.

Numărul de stări cuantice ale unui electron într-un volum V cu un impuls variind de la este dat de prima dintre distribuțiile lui Maxwell:

Electronii ocupă toate stările cu impuls zero (rețineți că ) până la valoare numit impuls Fermi , care în spațiul impulsurilor este echivalent cu raza unei sfere numită sferă Fermi .

Numărul total de electroni din aceste stări este dat de:

din care putem deriva impulsul Fermi:

și energia Fermi :

Acest lucru se poate observa și din numărul mediu de ocupare: de fapt la limită :

adică numărul mediu de ocupare devine o funcție pas, ceea ce ne face să ne gândim la faptul că pentru sau electronii se aranjează începând de la nivel până la niveluri sau cu condiția ca într-un nivel să existe cel mult o particulă conform principiului excluziunii Pauli . După aceste valori, pentru nu mai sunt electroni de fixat.

Rețineți că:

Energia totală a gazului Fermi complet degenerat se obține din integrare:

care, înlocuind expresia impulsului Fermi și, în pasajul următor, cel al energiei Fermi, devine:

În cele din urmă, folosind relația generală a potențialului termodinamic, obținem:

adică: presiunea este proporțională cu densitatea în funcție de puterea 5/3.

Elemente conexe

Cuantic Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică