Generalizări ale derivatei

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

1leftarrow blue.svg Element principal: Derivat .

Noțiunea de derivată este generalizată în diferite moduri, în funcție de contextul în care este utilizată.

Calculul în mai multe variabile

O extensie imediată a definiției derivatei unei funcții reale (sau complexe) se obține luând în considerare cazul funcțiilor mai multor variabile. Derivata față de una dintre variabile, ignorând posibila dependență de celelalte variabile (considerate constante), se numește derivată parțială , iar setul de derivate parțiale ale unei funcții este adesea grupat într-o matrice, numită Jacobian . Derivatul total al unei funcții față de una dintre variabile, dimpotrivă, ia în considerare dependența celorlalte variabile de variabila față de care este derivată. Dacă, pe de altă parte, dorim să cunoaștem derivata funcției în raport cu orice direcție , diferită de cea a axelor (variabilele funcției), vom folosi derivata direcțională . De asemenea, poate fi definit folosind un important operator diferențial, gradientul : derivata direcțională este de fapt produsul scalar dintre gradient și vectorul care definește direcția de-a lungul căreia derivă.

Diferențialitate și matrice iacobiană

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: matricea iacobiană .

De sine este o funcție definită pe un set deschis de spațiu euclidian , această funcție se numește punct diferențiat domeniu dacă există o aplicație liniară astfel încât aproximarea să aibă: [1]

unde restul este anulat atunci când incrementul este anulat . Dacă funcția este diferențiat în , atunci toate derivatele parțiale calculate în punct există (dar inversul nu este adevărat).

Matricea iacobiană este reprezentarea în formă matricială a derivatelor parțiale ale unei funcții. În practică, iacobianul din în este matricea:

Mai exact, a spus Și baza canonică a Și respectiv, j-a coloană vector a matricei iacobiene este dată de: [2]

Dacă funcția este diferențiată, Jacobianul este matricea asociată cu aplicația liniară cu privire la baza canonică a Și .

În funcție de mărime Și , Jacobianul are mai multe interpretări geometrice:

  • De sine , matricea iacobiană este redusă la un vector -dimensional, gradientul de în . În acest caz avem:
Gradientul indică direcția "cea mai abruptă" a graficului funcțional în punct.
  • De sine , functia parametrizează o curbă în , diferențialul său este o funcție care definește direcția liniei tangente la curbă în punct.
  • De sine , Condiția diferențierii coincide cu condiția diferențierii . Matricea iacobiană este redusă la un număr, egal cu derivata.

Mai multe combinații liniare de derivate parțiale sunt foarte importante în contextul ecuațiilor diferențiale care implică o funcție vectorială din in sinea lui. În special, divergența este un câmp scalar care măsoară tendința unui câmp vector de a divergența sau convergerea către un punct din spațiu. Divergența vă permite să calculați fluxul câmpului prin teorema divergenței . Mai mult, rotorul unui câmp vectorial descrie rotația infinitesimală a acestuia prin asocierea unui vector la fiecare punct din spațiu. Acest vector este aliniat cu axa de rotație, direcția sa este în concordanță cu cea a rotației conform regulii mâinii drepte și lungimea sa cuantifică întinderea rotației.

Derivat total

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Derivat total .

Este o derivare care ia în considerare dependența reciprocă a variabilelor în sine. Lasa-i sa fie un subset deschis de Și funcții definite în interval . Având o funcție , de sine:

puteți defini o funcție dat de:

și puteți arăta că dacă toate funcțiile sunt diferențiate în acest sens si daca este diferențiat în acest sens asa de este diferențiat în și avem:

Derivata totală a unei funcții față de una dintre variabile ia în considerare, prin urmare, dependența celorlalte variabile de variabila față de care este derivată. De exemplu, derivata totală a în comparație cu Și:

Derivată direcțională și gradient

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: derivată direcțională și gradient .

Derivata direcțională a unei funcții scalare de-a lungul unui vector unitate este funcția definită de limită :

Dacă funcția este diferențiat în , atunci derivata direcțională există de-a lungul fiecărui vector unitar și avem: [3]

unde este la al doilea membru reprezintă gradientul de Și produsul scalar euclidian . În derivata direcțională a reprezintă variația lui lung .

Câmpul de gradient al unei funcții diferențiabile este deci un câmp vector care în fiecare punct al spațiului permite calcularea derivatei direcționale a în direcția unui vector generic prin intermediul produsului scalar dintre vector și gradientul funcției în punct . Pentru funcții de la în derivata totală poate fi văzută ca gradient, iar în cazul unui sistem de referință cartesian gradientul de este vectorul ale cărui componente sunt primele derivate parțiale calculate în punctul:

unde este , Și sunt versorii de-a lungul axelor.

Extindere la varietăți diferențiate

Conceptul de derivată direcțională prezentă în spațiul euclidian obișnuit poate fi extins la o varietate arbitrară diferențiată . Este o varietate diferențiată e un punct de . De asemenea, să fie o funcție definită într-un cartier al și diferențiat în . De sine este un vector tangent în Și este o curbă diferențiată astfel încât Și , apoi derivata direcțională a in directia , des denotat cu , este definit ca:

Această definiție stă la baza conceptelor de derivată covariantă , derivată Lie și derivată externă .

Considerând o varietate riemanniană , pentru o funcție lină definit aici, gradientul este câmpul vector astfel încât pentru orice câmp vector avem:

unde este indică produsul interior (definit de metrica ) între vectori tangenți varietatea la punct , in timp ce este funcția care în fiecare punct asociază derivata direcțională a in directia evaluat în . În mod echivalent, i sa dat un card definit pe un open in la valori în , functia este dat de:

unde este este a j-a componentă a în cardul considerat. Deci forma locală a gradientului este:

Generalizarea cazului , gradientul unei funcții se referă la derivata sa externă în felul următor:

Acesta este un caz special (unul în care metrica este cel „plat” dat de produsul interior) din următoarea definiție. Gradientul este câmpul vectorial asociat cu forma diferențială 1 folosind izomorfism muzical :

definit de metrica .

Derivat material

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: material derivat .

Derivata materială a unui câmp scalar sau un câmp vector este definit ca:

unde este Este gradientul , in timp ce este derivatul covariant al . Derivata parțială este adesea numită derivată Euler (derivată a câmpului în raport cu timpul într-o poziție fixă).

Derivatul material în cazul scalar se obține din derivatul total față de , care se exprimă prin regula lanțului , prin plasare :

Acest tip de derivare descrie adesea transportul unei mărimi scalare într-un câmp vector , ca viteza unui fluid cu temperatura în fiecare moment de spațiu în timp .

Analiza complexă

În analiza complexă , noțiunea funcției holomorfe (și a funcției analitice ) este de o importanță fundamentală, care satisfac o definiție extinsă adecvată a diferențialității . Derivata Schwarz descrie, de asemenea, modul în care o funcție este aproximată printr-o transformare liniară divizată .

Analiza funcțională

În analiza funcțională există mai mulți operatori de diferențiere. Derivata slabă generalizează mai întâi derivata în funcții integrabile, dar nu neapărat diferențiate , adică funcții care aparțin spațiului L 1 .

Derivata funcțională definește derivata unei funcționale în raport cu o funcție, aparținând unui spațiu de funcții (în care funcționalul este definit). Este o extensie a derivatei direcționale la un spațiu vectorial de dimensiune infinită.

Derivata lui Fréchet, pe de altă parte, permite extinderea derivatei direcționale la un spațiu Banach generic, în timp ce derivata lui Gâteaux generalizează conceptul de spațiu topologic local convex . Diferențialitatea Fréchet este o condiție mai puternică decât diferențierea Gâteaux, chiar și în dimensiune finită. Între cele două extreme se află cvasi-derivata .

În teoria măsurătorilor , derivatul Radon - Nikodym generalizează matricea iacobiană și exprimă - în condiții adecvate - o măsură în termenii unei alte măsuri.

În teoria lui Wiener a spațiilor abstracte , derivata H definește o derivată într-o anumită direcție.

Distribuții

De asemenea, în domeniul distribuțiilor definim o derivată, care poate fi extinsă în mod natural la distribuțiile mai multor variabile, folosind ca model noțiunea de derivată slabă și integrarea de către părți a funcțiilor obișnuite. Se poate observa că definiția derivatei unei distribuții, spre deosebire de ceea ce se întâmplă pentru funcțiile obișnuite - unde funcțiile derivabile sunt o clasă relativ restrânsă - se aplică oricărei distribuții fără excepții. În special, pot fi derivate toate distribuțiile obișnuite corespunzătoare funcțiilor nedirectabile. În acest fel funcțiile care nu au derivată în sens obișnuit au o distribuție, în general nu regulată, ca derivată generalizată.

În contextul studiului ecuațiilor diferențiale , adăugarea soluțiilor de acest tip este studiată în formularea slabă a problemelor diferențiale legate de ecuațiile diferențiale parțiale .

Geometrie

În geometrie, derivata Lie de -a lungul unui câmp vectorial , diferențialul extern și derivata covariantă sunt de o importanță deosebită.

În geometrie, o funcție și diferențialul său sunt exemple de forme diferențiale , de grad zero și respectiv unul. Domeniul lor nu este neapărat un program deschis , dar orice varietate diferențiată și noțiunea de diferențial sunt generalizate la forme diferențiale de ordin mai mare prin derivata externă . În special, derivata externă a unei forme diferențiale de grad este o formă diferențială de grad .

Topologie diferențială

În topologia diferențială, un câmp vectorial poate fi definit ca o operație de derivare pe inelul funcțiilor netede pe o varietate , în timp ce un vector tangent într-un punct poate fi văzut ca o derivare în punct. Aceasta permite extinderea conceptului de derivată direcțională a unei funcții scalare la un obiect mai general, cum ar fi o varietate. În special, pentru varietățile care sunt subseturi de acest vector tangent coincide cu derivata direcțională.

Diferențialul sau împingerea unei hărți între varietăți este harta indusă între spațiile tangente la cele două varietăți: este o versiune abstractă a matricei iacobiene .

Pe algebra externă a formelor diferențiale definite pe o varietate netedă , în plus, derivata externă este o transformare liniară care dă derivarea de gradul I pe algebra externă.

O altă generalizare a derivatei direcționale este derivata Lie , care calculează variația unui câmp vector , sau mai general a unui câmp tensor , de-a lungul fluxului unui alt câmp vector. Dacă este definit pe câmpuri vectoriale, acesta este un exemplu de paranteze Lie și este derivarea gradului zero pe algebra Lie (a câmpurilor vectoriale) a grupului de difeomorfisme pe varietate.

Geometria diferențială

Derivata covariantă generalizează și conceptul de derivată direcțională: cu acest instrument este posibil să se calculeze derivata unui câmp tensorial într-un punct, de-a lungul unei direcții fixe. Noțiunea de derivată covariantă este în esență echivalentă cu cea a conexiunii , care poate fi definită în mod similar pentru orice pachet vectorial pe o varietate, pe lângă pachetul tangent . [4] Pe o varietate diferențiată este posibil să se aleagă între o infinitate de conexiuni posibile și, prin urmare, de noțiuni posibile de derivată covariantă.

Este un concept fundamental în geometria diferențială și în relativitatea generală , deoarece prin el definim diferiți tensori care măsoară curbura unui distribuitor, cum ar fi tensorul Riemann și tensorul Ricci .

Derivata externă covariantă extinde, de asemenea, derivata externă la forme care se mapează în spații vectoriale.

Algebră

În algebră, derivata este generalizată prin impunerea faptului că regula Leibnitz deține o anumită structură algebrică, cum ar fi un inel sau o algebră Lie . În teoria inelului , de exemplu, noțiunea de derivată formală este introdusă ca operator unar liniar :

pentru care se aplică regula Leibnitz (sau produsul):

O aplicație este, de exemplu, derivata formală a unui polinom pe un inel comutativ , exploatat printre altele în geometria algebrică , care este dat de:

Harta este o derivare pe inelul polinoamelor , și poate fi extins la funcții raționale .

Noțiunea de derivată se găsește și în inele necomutative. În acest context există și derivatul lui Pincherle .

Algebra comutativă

În algebra comutativă , diferențialele Kähler sunt derivările universale pe un inel sau modul comutativ . Ele sunt, de asemenea, utilizate pentru a defini un analog al derivatei externe , utilizat în geometria diferențială, care se aplică oricărui colector algebric, mai degrabă decât limitat la colectoare netede.

Teoria numerelor

Vezi derivata aritmetică și derivata Hasse .

Notă

  1. ^ W. Rudin , pagina 213 .
  2. ^ W. Rudin , pagina 217 .
  3. ^ W. Rudin , pagina 219 .
  4. ^ G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri, 1995, p. 126.

Bibliografie

  • Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
  • G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
  • ( EN ) Anatoly N. Kochubei, Analysis in Positive Characteristic , New York, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-50977-0 .
  • (EN) Abramowitz, M. și Stegun, IA (Eds.). Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , 9
  • ( EN ) Beyer, WH Derivatives . Tabelele matematice standard CRC, ediția a 28-a. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 229-232, 19
  • Giorgio Balzarotti și Paolo P. Lava, Derivatul aritmetic. Descoperind o nouă abordare a teoriei numerelor , Milano, Hoepli Editore, 2013, p. 306, ISBN 978-88-203-5864-8 .

Elemente conexe

Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica