Sex (matematică)

În matematică , genul indică un mod particular de clasificare a entităților geometrice . Definițiile variază în funcție de entitatea la care sunt aplicate, cu toate acestea sunt strâns legate între ele.

Genul geometric al unei suprafețe

În topologie , genul unei suprafețe este definit ca cel mai mare număr de curbe disjuncte închise simple care pot fi trasate pe suprafață fără a o separa în două componente distincte conectate.

Un fel de suprafețe orientabile
sex 0
genul 1
genul 2
sexul 3

În cazul în care suprafața este orientabilă , genul poate fi considerat mai informal ca „numărul de găuri”; cu toate acestea, aceasta nu este o definiție riguroasă din punct de vedere matematic.

Exemple

Două curbe posibile (în roșu și violet) de-a lungul cărora torul poate fi tăiat, menținându-l conectat

O sferă are tipul 0: nu are „găuri”. Mai strict, fiecare curbă închisă desenată pe ea o separă în două capace sferice;
un tor are genul 1: este posibil să se taie torul de-a lungul unei curbe închise care urmează una dintre cele două circumferințe generatoare, obținându-se în orice caz un cilindru conectat; orice altă tăiere suplimentară ar duce la două suprafețe inegale;
planul proiectiv are genul 1;
sticla Klein are sex 2.

Proprietate

Următoarele proprietăți se aplică sumei de suprafețe conectate :

g(S_{1}\sharp S_{2})={\begin{cases}g(S_{1})+g(S_{2}),&{\mbox{se }}S_{1}{\mbox{ e }}S_{2}{\mbox{ sono entrambe orientabili o non orientabili}}\\2g(S_{1})+g(S_{2}),&{\mbox{se }}S_{1}{\mbox{ orientabile e }}S_{2}{\mbox{ non orientabile}}\end{cases}}

{\ displaystyle g (S_ {1} \ sharp S_ {2}) = {\ begin {cases} g (S_ {1}) + g (S_ {2}) și {\ mbox {se}} S_ {1 } {\ mbox {e}} S_ {2} {\ mbox {sunt orientabile sau neorientabile}} \\ 2g (S_ {1}) + g (S_ {2}) și {\ mbox {se} } S_ {1} {\ mbox {orientable și}} S_ {2} {\ mbox {not orientable}} \ end {cases}}}

g (S_ {1} \ sharp S_ {2}) = {\ begin {cases} g (S_ {1}) + g (S_ {2}) și {\ mbox {se}} S_ {1} {\ mbox {e}} S_ {2} {\ mbox {sunt orientabile sau neorientabile}} \\ 2g (S_ {1}) + g (S_ {2}) și {\ mbox {se}} S_ { 1} {\ mbox {orientable și}} S_ {2} {\ mbox {not orientable}} \ end {cases}}

Fiecare suprafață orientabilă compactă reală este echivalentă cu suma conectată a unei sfere cu n tori; din formulele de mai sus rezultă că genul acestei suprafețe este n, ceea ce corespunde și numărului de găuri prezente pe suprafața însăși.

Pentru suprafețele închise, genul este legat de caracteristica Euler $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ din raport:

\chi ={\begin{cases}2-2g,&{\mbox{per superfici orientabili}}\\2-g,&{\mbox{per superfici non orientabili}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ chi = {\ begin {cases} 2-2g, & {\ mbox {pentru suprafețe orientabile}} \\ 2-g și {\ mbox {pentru suprafețe neorientabile}} \ end {cases}}}

\ chi = {\ begin {cases} 2-2g, & {\ mbox {pentru suprafețe orientabile}} \\ 2-g și {\ mbox {pentru suprafețe neorientabile}} \ end {cases}}

Definiții extinse de gen

Genul este unul dintre cei mai importanți invarianți topologici și unul dintre primii care au fost definiți: de-a lungul anilor au fost create alte definiții care și-au extins aplicarea dincolo de topologia suprafețelor.

Solid cu mânere

Un solid cu mânere de gen 2. Marginea sa este o suprafață orientabilă pentru genul 2.

Genul unui solid cu mânere este definit ca numărul maxim de tăieturi posibile efectuate de-a lungul discurilor conținute în solid, realizate în așa fel încât să nu separe solidul în două părți neconectate. Corespunde „numărului de mânere” prezent în solid. O suprafață închisă standard în spațiu definește un solid cu mânere, iar cele două definiții de gen coincid.

Curba algebrică

Genul unei curbe algebrice proiective netede $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ definit pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este mărimea în sus $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ spațiu vectorial $\Omega ^{1}(X)$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {1} (X)}$ $\ Omega ^ {1} (X)$ a formelor diferențiale globale regulate pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . De sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este câmpul numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , curba poate fi considerată și o suprafață Riemann ; în acest caz definiția dată coincide cu definiția de gen a unei suprafețe.

Nodul

Genul unui nod este definit ca genul minim dintre toate suprafețele Seifert (adică toate suprafețele cărora nodul constituie marginea) nodului însuși.

Grafic - grup

Genul unui grafic este cel mai mic număr de mânere care trebuie adăugat unui plan pentru a obține o suprafață care conține graficul fără încrucișări (de exemplu, un grafic plan are genul 0). Având în vedere un grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , puteți defini și ca un fel de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ genul graficului Cayley asociat acestuia.