Geodezie

În matematică și mai precis în geometria diferențială , o geodezică este cea mai scurtă curbă care leagă două puncte dintr-un spațiu. Spațiul în cauză poate fi o suprafață , o varietate Riemanniană mai generală sau un spațiu metric și mai general. De exemplu, în plan geodezicele sunt liniile drepte, pe o sferă sunt arcul cercului mare. Conceptul de geodezie este intim legat de cel al metricii riemanniene , care este legat de conceptul de distanță .

În matematică, geodezica joacă un rol fundamental în studiul suprafețelor (de exemplu, cel terestru) și varietățile abstracte cu dimensiunea 3 sau mai mare. Acestea sunt importante pentru descrierea unor geometrii neeuclidiene , cum ar fi geometria hiperbolică .

În fizică , geodezica joacă un rol important în studiul mișcărilor corpurilor în prezența câmpurilor gravitaționale, deoarece relativitatea generală interpretează forța gravitațională ca o deformare a spațiului-timp cu patru dimensiuni .

Introducere

Suprafețe și soiuri

Un cerc mare (în roșu) este geodezic. Cercul albastru nu este geodezic.

Termenul „geodezică” derivă din geodezie , știința măsurării dimensiunii și formei globului terestru ; în sensul său original, o geodezică a fost cea mai scurtă cale dintre două puncte de pe suprafața Pământului, adică un arc al unui cerc mare. Arcurile de meridian și ecuator sunt geodezice, în timp ce celelalte paralele nu.

În matematică , o geodezică este încă o curbă care descrie (cel puțin local) cea mai scurtă cale pe un spațiu dat. Spațiul în cauză poate fi o suprafață conținută în spațiul tridimensional sau un soi Riemannian mai general sau un „spațiu curbat” abstract de dimensiuni arbitrare.

Relativitatea generală

Trei tipuri de geodezice într-un câmp gravitațional generat de o planetă , situat în centrul acestui model bidimensional al spațiului. O geodezică descrie un corp care cade vertical către planetă; un altul descrie orbita circulară a unui satelit ; încă un altul descrie un corp a cărui orbită este curbată doar de planetă.

Geodezica a luat o importanță fizică importantă la începutul secolului al XX-lea , datorită rolului lor în relativitatea generală . Conform relativității, spațiul-timp este de fapt un spațiu „curbat” de dimensiunea 4, în care geodezica descrie traiectoria unui punct material în prezența unui câmp gravitațional . Traiectoriile unei pietre în cădere, ale unui satelit pe orbită și chiar ale unei raze de lumină sunt, prin urmare, geodezice.

Curbura spațiului-timp este cauzată de prezența masei , așa cum se sugerează în figură. Traiectoria unei raze de lumină, ca cea a oricărui obiect, este deci determinată de distribuția masei în spațiu. Relația precisă dintre masă și curbură este exprimată prin ecuația câmpului lui Einstein .

Geometrii neeuclidiene

Trei geodezii care formează un triunghi pe o suprafață cu curbură gaussiană negativă. Suma unghiurilor interne este mai mică decât cea obținută pe un triunghi plat (adică

\pi

{\ displaystyle \ pi}

\ pi

).

O geodezică este completă dacă se extinde la nesfârșit în ambele direcții. Geodezele planului euclidian sunt, prin urmare, linii drepte, de lungime infinită în ambele direcții.

Geodezica pe un spațiu mai general satisface adesea toate postulatele lui Euclid necesare pentru drepte în plan, cu excepția celui de- al cincilea postulat , referitor la linii paralele . În acest fel este posibil, prin urmare, să se construiască numeroase geometrii neeuclidiene , cu comportamente calitativ foarte diferite.

Cel de-al 5-lea postulat spune că pentru fiecare linie dreaptă și fiecare punct care nu este cuprins în aceasta, există exact o linie dreaptă care trece prin punctul paralel cu primul. Aceeași afirmație exprimată pentru geodezie (unde „paralel” înseamnă „care nu se intersectează”) este de fapt falsă în multe cazuri. De exemplu, nu există geodezii paralele în sferă (două cercuri mari se întâlnesc întotdeauna), în timp ce există infinite în spațiul hiperbolic .

Suma unghiurilor interne ale unui triunghi pe o sferă, care are o curbură gaussiană pozitivă, este mai mare decât

\pi

{\ displaystyle \ pi}

\ pi

.

Într-un spațiu neeuclidian, multe dintre teoremele geometriei plane nu mai sunt valabile. De exemplu, suma unghiurilor interne ale unui triunghi , ale cărui laturi sunt 3 geodezice, poate fi diferită de $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . De exemplu, pe sferă această sumă este întotdeauna mai mare decât $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

Spațiul metric

Definiție

Pe un spațiu metric general $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , o geodezică este o curbă

\gamma :I\to X

{\ displaystyle \ gamma: I \ to X}

\ gamma: I \ to X

definit pe un interval $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ a liniei reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , care realizează local distanța dintre puncte. Mai exact, fiecare punct $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ a intervalului are un cartier $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ astfel încât pentru fiecare cuplu $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ de puncte în $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ se aplică egalitatea

d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=|t_{1}-t_{2}|.

{\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = | t_ {1} -t_ {2} |.}

d (\ gamma (t_1), \ gamma (t_2)) = | t_1-t_2 |.

Dacă această egalitate este valabilă pentru orice pereche de puncte $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , geodezica se minimizează : în acest caz geodezica realizează distanța minimă nu numai local, ci global.

În general, în definiția geodeziei, prezența unei constante multiplicative pe al doilea membru este admisă în egalitate, în analogie cu definiția dată pentru varietățile riemanniene . Cu toate acestea, această constantă poate fi întotdeauna redusă la una după reparameterizarea curbei în funcție de lungimea arcului.

O geodezică închisă este o curbă

\gamma :S^{1}\to X

{\ displaystyle \ gamma: S ^ {1} \ to X}

\ gamma: S ^ 1 \ to X

definit pe circumferință $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ , care este geodezic dacă este limitat la orice arc conținut în $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ .

Exemple

Geodezie în spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ ele sunt segmentele, adică porțiunile de linii drepte. Sunt toate de acest tip

\gamma (t)=v+t(w-v)

{\ displaystyle \ gamma (t) = v + t (wv)}

\ gamma (t) = v + t (w-v)

unde este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ sunt doi vectori ai spațiului. Această reprezentare este parametrizată în funcție de lungimea arcului dacă și numai dacă $|w-v|=1$ ${\ displaystyle | wv | = 1}$ $| w-v | = 1$ .

Varietate (pseudo) -Remanniană

O varietate Riemanniană sau pseudoriemanniană este în special un spațiu metric și, prin urmare, noțiunea de geodezie este definită ^[1] .

Minimizați lungimea sau energia

Cea mai scurtă traiectorie între două puncte pe un spațiu curbat poate fi găsită scriind ecuația pentru lungimea unei curbe și apoi minimizând această lungime utilizând tehnici standard de calcul al variației .

Lungimea unei curbe

\gamma :[a,b]\to M

{\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to M}

\ gamma: [a, b] \ to M

pe o varietate riemanniană $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este dat de ecuație

L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt.

{\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma '(t) | \, dt.}

L (\ gamma) = \ int_a ^ b | \ gamma '(t) | \, dt.

Geodezica este o curbă care, în spațiul tuturor curbelor cu extreme fixe, este un punct minim, sau mai general un punct staționar , datorită funcției "lungime"

L:\gamma \to L(\gamma ).

{\ displaystyle L: \ gamma \ to L (\ gamma).}

L: \ gamma \ to L (\ gamma).

Conceptul de „punct staționar” trebuie totuși exprimat cu prudență, deoarece „spațiul tuturor curbelor” este un obiect destul de complex, având o dimensiune intrinsec infinită. În acest scop, calculul variațiilor ajută.

În mod echivalent, se poate utiliza o altă cantitate, numită energia curbei:

E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|^{2}\,dt.

{\ displaystyle E (\ gamma) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma '(t) | ^ {2} \, dt.}

E (\ gamma) = \ frac 12 \ int_a ^ b | \ gamma '(t) | ^ 2 \, dt.

Cele două concepte duc la același rezultat: geodezica este puncte staționare atât pentru lungime, cât și pentru energie. Intuitiv, acest lucru poate fi înțeles din faptul că o bandă de cauciuc întinsă între două puncte își contractă lungimea și, astfel, își minimizează și energia potențială ; forma rezultată a elasticului este totuși una geodezică.

Existența și unicitatea geodeziei

Pentru fiecare punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ a unei varietăți riemanniene $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , și pentru orice vector diferit de zero $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ a spațiului tangent $T_{p}$ ${\ displaystyle T_ {p}}$ $T_ {p}$ în $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , există exact o trecere geodezică completă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ și tangent la $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ .

Există, așa este $a,b>0$ ${\ displaystyle a, b> 0}$ $a, b> 0$ și o geodezică

\gamma :(-a,b)\to M

{\ displaystyle \ gamma: (- a, b) \ to M}

\ gamma: (- a, b) \ to M

cu $\gamma (0)=p$ ${\ displaystyle \ gamma (0) = p}$ $\ gamma (0) = p$ Și $\gamma '(0)=v$ ${\ displaystyle \ gamma '(0) = v}$ $\ gamma '(0) = v$ , astfel încât orice altă geodezie cu aceste ultime două proprietăți este aceeași $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ definit pe o sub-gamă de $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Valori $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ pot fi și ele infinite.

Existența și unicitatea derivă din faptul că o geodezică este soluția unei anumite probleme Cauchy de ordinul doi.

Dacă transportatorul $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este înmulțit cu un scalar, geodezica corespunzătoare este, de asemenea, scalată (și inversată, dacă scalarul este negativ). Prin urmare, se poate spune că, la fel ca în geometria plană , pentru fiecare punct și pentru fiecare direcție există o singură geodezie completă care trece prin punct și orientată de-a lungul acelei direcții date. Conform acestei linii, harta exponențială este definită.

Completitudine

Prin teorema Hopf-Rinow , o varietate riemanniană $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este complet dacă și numai dacă orice geodezie poate fi prelungită pe termen nelimitat în ambele direcții. În acest caz, valorile $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ obținute în secțiunea anterioară sunt întotdeauna infinite.

Geodezie și relativitate generală

Notă: coordonatele sunt utilizate mai jos $\{x^{\mu }\}=(x^{1},x^{2},x^{3},x^{4})=(x,y,z,ct)$ ${\ displaystyle \ {x ^ {\ mu} \} = (x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3}, x ^ {4}) = (x, y, z, ct)}$ $\ {x ^ \ mu \} = (x ^ 1, x ^ 2, x ^ 3, x ^ 4) = (x, y, z, ct)$ . Semnătura metricei plate este $(+,+,+,-)$ ${\ displaystyle (+, +, +, -)}$ $(+, +, +, -)$ .

În cartea sa „Teoria relativității”, Albert Einstein , primul om de știință care a folosit geodezica în fizică, dă următoarea definiție:

\delta {\int _{P_{1}}^{P_{2}}ds}=0

{\ displaystyle \ delta {\ int _ {P_ {1}} ^ {P_ {2}} ds} = 0}

\ delta {{\ int_ {P_1} ^ {P_2} ds}} = 0

.

Reprezintă o linie (nu o zonă) trasată între două puncte $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ a continuumului cu patru dimensiuni (trei dimensiuni ale spațiului și una a timpului).

Curbele care trec prin aceste puncte sunt infinit de apropiate de geodezică. Exprimându-le în formă parametrică și cu alte 2 pagini de pasaje, Einstein deduce ecuația geodeziei:

{\frac {d^{2}x^{\tau }}{ds^{2}}}+\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ tau}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} = 0}

\ frac {d ^ 2x ^ {\ tau}} {ds ^ 2} + \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} \ frac {dx ^ {\ mu}} {ds} \ frac { dx ^ {\ nu}} {ds} = 0

.

Conform relativității speciale, un corp care nu este supus forțelor externe se mișcă cu o mișcare de translație rectilinie uniformă. Acesta este și principiul relativității galileene , la care Einstein a adăugat o informație: este valabil doar în absența unui câmp gravitațional (ceea ce caracterizează regiunile spațiu-timp în care deține relativitatea specială).

Într-un sistem de referință situat într-o regiune a spațiului-timp în care deține relativitatea specială (în absența unui câmp gravitațional), ecuația care descrie o mișcare rectilinie uniformă este geodezică.

Deoarece geodezica este definită independent de sistemul de coordonate și, prin urmare, și de ecuația geodeziei, această lege este valabilă pentru un sistem de referință arbitrar.

Pentru a generaliza, a trebuit să anticipăm că relativitatea specială înseamnă absența unui câmp gravitațional. Ecuația de mișcare a punctului material devine:

{\frac {d^{2}x^{\tau }}{ds^{2}}}+\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x ^ {\ tau}} {ds ^ {2}}} + \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} {\ frac {dx ^ {\ mu}} {ds}} {\ frac {dx ^ {\ nu}} {ds}} = 0}

\ frac {d ^ 2x ^ {\ tau}} {ds ^ 2} + \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} \ frac {dx ^ {\ mu}} {ds} \ frac { dx ^ {\ nu}} {ds} = 0

. ^[2]

A impune ca simbolul generic al lui Christoffel , o entitate matematică, să fie legată de intensitatea câmpului gravitațional este o interpretare fizică, pe care Einstein o bazează pe un experiment de gândire și pe un raționament discursiv, dar care este demonstrat riguros.

Trebuie amintit că elementul liniar $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ (vezi relativitatea generală) măsoară orice variație în spațiu și timp. De sine $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ este o coordonată generică, faptul că a doua derivată în raport cu elementul liniar este zero înseamnă că corpul se mișcă în spațiu și timp în funcție de trepte constante, care nici nu cresc, nici nu scad.

Anularea celei de-a doua derivate înseamnă că mișcarea nu suferă variații în spațiu (este rectilinie) și în timp (uniformă). Acest lucru se întâmplă în regiunile spațiu-timp în care componentele gravitaționale sunt zero, adică

g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}(+1)&0&0&0\\0&(+1)&0&0\\0&0&(+1)&0\\0&0&0&(-1)\end{bmatrix}}

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} (+ 1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (+ 1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (+ 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (- 1) \ end {bmatrix}}}

g _ {\ mu \ nu} = \ begin {bmatrix} (+ 1) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & (+ 1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (+ 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (- 1) \ end {bmatrix}

.

Trebuie remarcat faptul că componenta temporală $g_{44}$ ${\ displaystyle g_ {44}}$ $g_ {44}$ are semn opus cu privire la componentele spațiale, așa cum se menționează în comentariul la ecuația pentru a măsura $d s$ ${\ displaystyle ds}$ $ds$ .

Einstein comentează subiectul: „componentele câmpului gravitațional sunt mărimile care caracterizează deplasarea mișcării rectilinii uniforme”. Nu trebuie să confundăm prezența unei forțe gravitaționale (posibilă și într-o mișcare rectilinie) cu acțiunea unui câmp gravitațional, care necesită o variație a acestei forțe. Ecuația conține primele derivate ale componentelor gravitației.

Prin intermediul unei simple „substituții, oricât de alese”, aceeași mișcare a punctului material liber, observată dintr-un alt sistem de referință, devine curbiliniară neuniformă, cu o lege care nu mai depinde de natura fizică a punctului material în mișcare. Legea mișcării (rectilinie uniformă atunci când componentele sunt constante) se schimbă radical în noile coordonate. Mișcarea rectilinie uniformă dependentă de proprietățile masei devine o mișcare curbiliniară neuniformă independent de proprietățile fizice ale obiectului în mișcare.

Prin urmare, în cel mai general caz, punctul de mișcare poate fi tratat ca o masă generică, deoarece mișcarea nu depinde de materialul din care este făcut corpul sau de alte proprietăți chimice.

Efectul unui nou câmp gravitațional și a unei simple schimbări de coordonate sunt aceleași din punct de vedere matematic: distorsiunea mișcării uniforme este vizibilă pentru observator și poate fi măsurată în ambele cazuri, deși în cel de-al doilea nu există nicio schimbare nici în corp, nici în forțe cărora le este supusă. Schimbarea coordonatelor, deși schimbă radical legile mișcării, conduce, de asemenea, la concluzii coerente și non-contradictorii și, prin urmare, este o transformare practicată în liniște, dacă este cazul; întrucât prezența reală a unei forțe fizice generează aceleași consecințe teoretice ale schimbării coordonatelor, introducerea unei forțe aparente este o transformare la fel de legitimă. Rezultatul, care nu este deloc evident, este că schimbarea coordonatelor, care este o transformare care schimbă o construcție geometrică și mentală fără a atinge realitatea fizică a obiectelor și forțelor implicate, are aceleași efecte ca o variație a fizicului. realitatea care apare.trebuie să descrie. Noțiunea de forță aparentă se extinde la modulul de mișcare ( viteză și accelerație ) principiul relativității, care a făcut anterior sistemul de referință depinde numai pe direcția și direcție .

În același timp, componentele matricei devin funcții ale spațiului-timp; fiind variabile, ele descriu un câmp gravitațional.

Deformarea mișcării uniforme este, prin urmare, interpretată ca un efect al gravitației, „care ocupă o poziție excepțională față de forțele rămase și mai presus de toate forțele electromagnetice, deoarece cele 10 funcții $g_{\mu \nu }$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu}}$ $g _ {\ mu \ nu}$ care reprezintă câmpul gravitațional determină simultan proprietățile spațiului cu patru dimensiuni ».

Prin urmare, aceste componente par mai importante decât orice altă forță din fizică, în timp ce componenta temporală pare a fi cea mai relevantă dintre acestea.

Când componentele sunt constante, efectele gravitației sunt neglijate (acest lucru nu înseamnă în niciun caz că mișcarea are loc în absența unei forțe de gravitație măsurabile). Pentru a deduce formula lui Newton , care ia în considerare aceste efecte, este necesar să se elibereze ipotezele și să se ia în considerare un sistem de referință în care componentele variază; pentru o eliberare treptată, sunt luate în considerare sistemele în care acestea variază în cantități mici și care la infinit spațial încă tind spre valorile matricei. „Cu alte cuvinte, examinăm câmpuri gravitaționale, generate exclusiv de materia care se află la finit”, cum ar fi cele ale teoriei newtoniene.

Cu referire la ecuația anterioară, trei dintre componente $dx^{\mu }/ds$ ${\ displaystyle dx ^ {\ mu} / ds}$ $dx ^ {\ mu} / ds$ își pot asuma orice valoare, atingând orice viteză adimensională $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ p cu condiția să fie mai mică decât viteza luminii (adică $\gamma <1$ ${\ displaystyle \ gamma <1}$ $\ gamma <1$ ). În sistemul de referință adoptat în toată relativitatea, viteza este măsurată printr-un număr pur, care este de 1 la viteza luminii, care este maximul realizabil (prin urmare, variază între 0 și 1). În plus, pentru o comoditate de calcul, viteza este exprimată ca procent din viteza luminii, deoarece aceasta este singura constantă a cărei valoare a vitezei rămâne neschimbată în orice sistem de referință.

\gamma ={\sqrt {[dx^{1}/dx^{4}]^{2}+[dx^{2}/dx^{4}]^{2}+[dx^{3}/dx^{4}]^{2}]}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {[dx ^ {1} / dx ^ {4}] ^ {2} + [dx ^ {2} / dx ^ {4}] ^ {2} + [dx ^ { 3} / dx ^ {4}] ^ {2}]}}}

\ gamma = \ sqrt {[dx ^ {1} / dx ^ {4}] ^ 2 + [dx ^ {2} / dx ^ {4}] ^ 2 + [dx ^ {3} / dx ^ {4} ] ^ 2]}

.

«Dacă ne limităm la cazul care se prezintă aproape exclusiv la experiență, în care $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este mic în comparație cu viteza luminii », aceste trei componente sunt infinitezimale de ordinul doi (au un exponent egal cu 2), neglijabile într-o primă aproximare (sunt eliminate din calcul).

În studiul diferențialului este obișnuit să începem de la studiul primului diferențial. Limitându-ne la termenii de ordin inferior, se obține inițial o analiză mai simplă, care are în vedere mai puțini termeni. Adoptarea punctului de vedere al primei aproximări, înseamnă trunchierea dezvoltării la ordinea întâi (neglijarea infinitesimalelor de ordine mai mari decât prima).

În acest moment, singura componentă relevantă este cea temporală. Trebuie remarcat faptul că, în aceste linii de ipoteze, Einstein prezintă relativitatea ca o generalizare la viteza mare a gravitației lui Newton, care a rămas limitată la experiența de zi cu zi în care viteza este mult mai mică decât lumina. Aceasta înseamnă a impune $\gamma \ll 1$ ${\ displaystyle \ gamma \ ll 1}$ $\ gamma \ ll 1$ , deci componentele $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ devin infinitesimale.

Ecuația de mișcare a punctului liber este redusă la:

d^{2}x^{\tau }/dt^{2}=\Gamma ^{\tau }{}_{44}

{\ displaystyle d ^ {2} x ^ {\ tau} / dt ^ {2} = \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {44}}

d ^ {2} x ^ {\ tau} / dt ^ {2} = \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {44}

,

care a plasat (și a redus) $ds=dx_{4}=dt$ ${\ displaystyle ds = dx_ {4} = dt}$ $ds = dx_4 = dt$ .

Încă în ipoteza unui câmp gravitațional cvasistatic, adică generat de o mișcare a materiei lentă cu privire la viteza luminii, derivatele mixte (ale timpului în ceea ce privește coordonatele spațiale) sunt neglijabile, ecuația mișcării devine:

d^{2}x^{\tau }/dt^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {\delta g_{44}}{\delta x^{\tau }}}\,,\quad \tau =1,2,3

{\ displaystyle d ^ {2} x ^ {\ tau} / dt ^ {2} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ delta g_ {44}} {\ delta x ^ {\ tau }}} \ ,, \ quad \ tau = 1,2,3}

d ^ {2} x ^ {\ tau} / dt ^ {2} = \ frac {1} {2} \ frac {\ delta g_ {44}} {\ delta x ^ {\ tau}} \ ,, \ quad \ tau = 1, 2, 3

.

Formula ar avea același sens ca gravitația newtoniană, nu deduce teoretic valoarea constantei, care rămâne nu un rezultat teoretic, ci un număr măsurat doar experimental. Einstein reușește să dea o demonstrație teoretică a legii gravitației , deși nu derivă din ea constanta.

„Aceasta este ecuația de mișcare a punctului material conform teoriei lui Newton, în care $g_{44}/2$ ${\ displaystyle g_ {44} / 2}$ $g_ {44} / 2$ reprezintă potențialul gravitațional ».

Notă

^ Definiția în care poate apărea o constantă multiplicativă pe al doilea membru este utilizată aici: această definiție este mai utilă într-o varietate.
^ În original, simbolul Christoffel este indicat după cum urmează: $\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \nu }=\{{\begin{smallmatrix}\tau \\\mu \nu \end{smallmatrix}}\}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} = \ {{\ begin {smallmatrix} \ tau \\\ mu \ nu \ end {smallmatrix}} \}}$ $\ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} = \ {\ begin {smallmatrix} \ tau \\ \ mu \ nu \ end {smallmatrix} \}$

Bibliografie

( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Geodetica , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85053967 · GND (DE) 4156669-5

Portalul de matematică

Portal mecanic

Portalul relativității

[1] Definiția în care poate apărea o constantă multiplicativă pe al doilea membru este utilizată aici: această definiție este mai utilă într-o varietate.

[2] În original, simbolul Christoffel este indicat după cum urmează: $\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \nu }=\{{\begin{smallmatrix}\tau \\\mu \nu \end{smallmatrix}}\}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} = \ {{\ begin {smallmatrix} \ tau \\\ mu \ nu \ end {smallmatrix}} \}}$ $\ Gamma ^ {\ tau} {} _ {\ mu \ nu} = \ {\ begin {smallmatrix} \ tau \\ \ mu \ nu \ end {smallmatrix} \}$

[1]

[2]