Geometrie

Ilustrație din secolul al XIV- lea : o femeie învață geometria

Geometria (din latinescul geometrĭa și aceasta din greaca veche " γεωμετρία" , compusă din prefixul geo care se referă la cuvântul γή = "pământ" și μετρία , metria = "măsură", deci tradusă literal ca măsurare a pământului ) este acea parte a matematicii științei care se ocupă de forme în plan și în spațiu și relațiile lor reciproce.

În partea din stânga jos a tabelului, un desen ilustrativ al articolului de Lodovico Riva intitulat Dissertatio meteorologica. Cui accedit Solutio & constructio duorum problematum geometricorum publicat în volumul Acta Eruditorum din 1736

fundal

Nașterea geometriei datează din epoca vechilor egipteni . Herodot spune că, din cauza fenomenelor de eroziune și depunere cauzate de inundațiile Nilului , întinderea deținerilor de pământ egiptene a variat în fiecare an și, prin urmare, a trebuit recalculată în scopuri fiscale. Astfel s-a născut nevoia de a inventa tehnici de măsurare a pământului ( geometrie în sensul original al termenului).

Dezvoltarea geometriei practice este foarte veche, datorită numeroaselor aplicații pe care le permite și pentru care a fost dezvoltată, iar în cele mai vechi timpuri era uneori rezervată pentru o categorie de cărturari cu atribuții preoțești. În Grecia Antică , în principal datorită influenței filosofului atenian Platon și, chiar înainte de el, a lui Anaximandru din Milet ^{[ fără sursă ]} , utilizarea conducătorului și a busolei s-a răspândit masiv (deși se pare că aceste instrumente au fost deja inventate în altă parte) și mai sus totul, s-a născut noua idee de a folosi tehnici demonstrative. Geometria greacă a servit ca bază pentru dezvoltarea geografiei , astronomiei , opticii , mecanicii și a altor științe, precum și a diferitelor tehnici, precum cele pentru navigație .

În civilizația greacă , pe lângă geometria euclidiană care este încă studiată la școală, și teoria conicelor, s-au născut și geometria sferică și trigonometria ( plană și sferică ).

Geometria euclidiană

Același subiect în detaliu: geometria euclidiană .

Euclid în Elementele sale este primul care formulează o descriere axiomatică a geometriei.

Geometria coincide până la începutul secolului al XIX-lea cu geometria euclidiană. Aceasta definește punctul , linia dreaptă și planul ca concepte primitive și presupune veridicitatea unor axiome , axiomele lui Euclid . Din aceste axiome, se deduc chiar teoreme complexe, cum ar fi teorema lui Pitagora și teoremele geometriei proiective .

Alegerea conceptelor și axiomelor primitive este motivată de dorința de a reprezenta realitatea și, în special, obiectele din spațiul tridimensional în care trăim. Conceptele primitive precum linia dreaptă și planul sunt descrise informal ca „fire și foi de hârtie fără grosime”, iar pe de altă parte multe obiecte din viața reală sunt idealizate prin entități geometrice precum triunghiul sau piramida . În acest fel, din cele mai vechi timpuri, teoremele au furnizat instrumente utile pentru disciplinele care privesc spațiul în care trăim: mecanică , arhitectură , geografie , navigație , astronomie .

Un hexagon neconvex . Suma unghiurilor interne dintr-un hex este întotdeauna de 720 °.

Geometria plană

Același subiect în detaliu: geometrie plană .

Geometria planului se ocupă cu figurile geometrice din plan. Plecând de la conceptul primitiv de linie dreaptă, se construiesc segmente și, prin urmare, poligoane precum triunghiul , pătratul , pentagonul , hexagonul etc.

Mărimile numerice importante în geometria plană sunt lungimea , unghiul și aria . Fiecare segment are o lungime, iar două segmente care se întâlnesc la un capăt formează un unghi. Fiecare poligon are o zonă. Multe teoreme ale geometriei plane raportează lungimile, unghiurile și ariile prezente în unele figuri geometrice. De exemplu, suma unghiurilor interioare ale unui triunghi se dovedește a fi un unghi plat , iar aria unui dreptunghi este exprimată ca produs al lungimilor segmentelor de bază și înălțimii . Trigonometria studiază relațiile dintre unghiuri și lungimi.

Geometrie solidă

Același subiect în detaliu: geometrie solidă .

Dodecaedrul este unul dintre cele cinci solide platonice . Platon din Timeu credea că dodecaedrul reprezenta forma universului.

Geometria solidă (sau stereometria) studiază construcțiile geometrice în spațiu. Poliedrele , cum ar fi tetraedrul , cubul și piramida, sunt construite cu segmente și poligoane.

Poliedrele au vârfuri, margini și fețe. Fiecare margine are o lungime și fiecare față are o zonă. În plus, poliedrul are un volum . De asemenea, vorbim de unghiuri diedrice pentru a exprima unghiul format de două fețe adiacente într-o margine. Multe teoreme se referă la aceste cantități: de exemplu, volumul piramidei poate fi exprimat prin zona figurii de bază și lungimea înălțimii.

Secțiunile conice ( circumferința , elipsa , parabola , hiperbola ) sunt obținute ca intersecție a unui con cu un plan.

Cifre curbate

Același subiect în detaliu: secțiunea conică .

Geometria euclidiană ia în considerare și unele figuri curbate. Figurile „de bază” sunt circumferința în plan și sfera în spațiu, definite ca locusul punctelor echidistante de un punct fix. Pornind de la aceste cifre, altele sunt definite ca un con . Aceste cifre sunt asociate cu cantități similare poliedrelor: vorbim, așadar, despre lungimea circumferinței, aria cercului și volumul sferei.

Intersecția în spațiu a unui con cu un plan formează o nouă figură curbiliniară: în funcție de înclinația planului, aceasta este o elipsă , o parabolă , o hiperbolă sau o circumferință . Aceste secțiuni conice sunt cele mai simple curbe realizabile în plan. Prin rotirea unei figuri în jurul unei linii drepte, se obțin alte figuri curbate. De exemplu, prin rotirea unei elipse sau a unei parabole obținem elipsoidul și paraboloidul . Din nou, volumul obiectului poate fi legat de alte cantități. Cu toate acestea, geometria euclidiană nu oferă instrumente suficiente pentru a da o definiție corectă a lungimii și a ariei pentru multe figuri curbate.

Geometrie cartesiană

Același subiect în detaliu: geometrie analitică .

Un elipsoid poate fi reprezentat în geometria analitică ca un locus de puncte care îndeplinește o anumită ecuație, cum ar fi

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1}

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2} } {c ^ {2}}} = 1}

, în variabile

X, y, z

{\ displaystyle x, y, z}

x, y, z

asociat cu cele trei axe cartesiene.

Geometria cartesiană (sau analitică) încorporează figurile și teoremele geometriei euclidiene, introducând altele noi datorită altor două discipline importante ale matematicii: algebra și analiza . Spațiul (și planul) sunt reprezentate cu coordonate carteziene . În acest fel, fiecare figură geometrică poate fi descrisă prin una sau mai multe ecuații (sau inegalități ).

Liniile și planurile sunt obiecte rezultate din ecuații de gradul I , în timp ce conicele sunt definite prin ecuații de gradul II . Ecuațiile polinomiale de grad superior definesc noi obiecte curbate. Calculul infinitesimal permite extinderea precisă a conceptelor de lungime și suprafață la aceste noi figuri. Integrala este un instrument analitic util pentru determinarea acestor cantități. Prin urmare, vorbim în general despre curbe și suprafețe în plan și în spațiu.

Un spațiu vector este o colecție de obiecte, numite „vectori”, care pot fi adăugate și redimensionate.

Spații vectoriale

Același subiect în detaliu: Algebră liniară și Spațiu vectorial .

Linia (care trece prin origine), planul (care conține originea) și spațiul sunt exemple de spații vectoriale cu dimensiunea 1, 2 și respectiv 3: de fapt fiecare punct este exprimat respectiv cu 1, 2 sau 3 coordonate. Geometria carteziană poate fi extinsă cu ușurință la dimensiuni superioare: în acest fel sunt definite spații de dimensiunea 4 și dincolo, ca seturi de puncte având 4 sau mai multe coordonate.

Datorită algebrei liniare , studiul liniilor și planurilor în spațiu poate fi extins la studiul subspaiilor unui spațiu vectorial de dimensiuni arbitrare. Studiul acestor obiecte este strâns legat de cel al sistemelor liniare și al soluțiilor lor. În dimensiunea superioară, unele rezultate pot contrasta cu intuiția geometrică tridimensională cu care suntem obișnuiți. De exemplu, într-un spațiu de dimensiunea 4, două plane se pot intersecta într-un singur punct.

Geometrie afină

Același subiect în detaliu: geometrie afină .

Două planuri în spațiu sunt paralele sau se intersectează în linie dreaptă, așa cum se arată în figură.

Într-un spațiu vector, originea (adică punctul de la care pornesc axele, cu toate coordonatele zero) joacă un rol fundamental: pentru a putea utiliza în mod eficient algebra liniară , sunt luate în considerare doar subspatiile care trec prin origine. În acest fel, obținem relații elegante între subspatii, cum ar fi formula Grassmann .

În geometria afină , rolul predominant al originii este abandonat. Subspatiile nu sunt constrânse și, prin urmare, pot fi paralele: acest lucru creează o cantitate considerabilă de mai multe cazuri. În special, formula lui Grassmann nu mai este valabilă. Spațiul afin este considerat (până la descoperirea relativității speciale) drept cel mai bun instrument pentru a crea modele ale universului, cu 3 dimensiuni spațiale și, eventual, 1 dimensiune temporală, fără „origini” sau puncte privilegiate.

Geometrie algebrică

Același subiect în detaliu: geometria algebrică .

Începând din secolul al XIX-lea , algebra a devenit un instrument predominant pentru studiul geometriei. În încercarea de a „înfrumuseța” imaginea și de a readuce multe proprietăți și teoreme la un număr tot mai mic de proprietăți fundamentale, geometria analitică este încorporată progresiv într-un concept mai larg de geometrie: se adaugă „puncte la infinit” (creând astfel proiective geometrie ), iar coordonatele unui punct variază nu numai în numere reale , ci și în complexe .

Geometria proiectivă este geometria „văzută de un singur ochi”. În această geometrie, două linii se întâlnesc întotdeauna.

Geometrie proiectivă

Același subiect în detaliu: Geometria proiectivă .

Geometria proiectivă s-a născut ca un instrument legat de desenul în perspectivă și a fost formalizată în secolul al XIX-lea ca o îmbogățire a geometriei carteziene. Geometria proiectivă include „puncte la infinit” și, prin urmare, elimină unele cazuri considerate enervante, cum ar fi prezența liniilor paralele.

În această geometrie se simplifică multe situații: două planuri distincte se intersectează întotdeauna în linie dreaptă și diferite obiecte de geometrie analitică (cum ar fi elipsa conică, parabola și hiperbola) se dovedesc a fi echivalente în acest nou context. Geometria proiectivă este, de asemenea, un exemplu de compactificare : similar cu ceea ce se întâmplă cu proiecția stereografică , prin adăugarea de puncte la infinit spațiul devine compact , adică „limitat”, „finit”.

Soiuri algebrice definite de niște polinoame simple în plan: două cercuri , o parabolă , o hiperbolă , un cub (definit printr-o ecuație de gradul III).

Soiuri algebrice

Același subiect în detaliu: varietate algebrică .

Geometria algebrică se concentrează în esență pe studiul polinoamelor și rădăcinilor acestora: obiectele cu care se ocupă, denumite soiuri algebrice , sunt mulțimile spațiului proiectiv , afin sau euclidian definite ca locuri de zerouri ale polinoamelor.

În secolul al XX-lea , conceptul de varietate algebrică își asumă o importanță tot mai mare. Liniile, planurile, conicele, elipsoidele, sunt toate exemple de soiuri algebrice. Studiul acestor obiecte atinge rezultate impresionante atunci când coordonatele spațiului variază în câmpul numerelor complexe : în acest caz, grație teoremei fundamentale a algebrei , un polinom are întotdeauna rădăcini.

Acest fapt algebric de mare importanță (care poate fi exprimat spunând că numerele complexe formează un câmp închis algebric ) are drept consecință validitatea unor teoreme puternice de natură foarte generală. De exemplu, teorema lui Bézout afirmă că două curbe de grad $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ Și $d^{'}$ ${\ displaystyle d '}$ ${\ displaystyle d '}$ în planul care nu are componente comune se intersectează întotdeauna în $d d^{'}$ ${\ displaystyle dd '}$ ${\ displaystyle dd '}$ puncte, numerar cu o multiplicitate adecvată. Acest rezultat necesită ca „planul” să fie proiectiv și complex. În special, este cu siguranță fals în contextul clasic al geometriei analitice: două cercuri nu trebuie neapărat să se intersecteze în 4 puncte, ele pot fi și disjuncte.

Studiul geometriei în spațiul proiectiv complex ajută, de asemenea, la înțelegerea geometriei analitice clasice. Curbele din planul cartezian real pot fi de exemplu văzute ca „secțiuni” ale obiectelor mai mari, conținute în planul proiectiv complex, iar teoremele generale valabile în această „lume mai mare și mai perfectă” sunt reflectate în planul cartezian, deși o măsură mai mică.elegant. Așa cum studiul geometriei afine folosește pe larg algebra liniară , cel al soiurilor algebrice se bazează foarte mult pe algebra comutativă .

Geometria diferențială

Același subiect în detaliu: geometrie diferențială .

Un punct de șa are o curbură negativă

Geometria diferențială este studiul obiectelor geometrice prin analiză . Obiectele geometrice nu sunt neapărat definite de polinoame (ca în geometria algebrică), ci sunt de exemplu curbe și suprafețe , adică obiecte care, văzute local cu o lupă, apar aproape drepte sau plane. Obiecte care sunt „fără grosime” și poate puțin curbate. La fel ca suprafața pământului, care pare plată omului, deși nu este.

Acest concept de „spațiu curbat” este exprimat prin noțiunea de varietate diferențiată . Definiția sa nici nu are nevoie să „trăiască” într-un spațiu ambiental și, prin urmare, este utilizată de exemplu în relativitatea generală pentru a descrie intrinsec forma universului. O varietate poate avea o proprietate fundamentală, curbura , care este măsurată de obiecte matematice foarte complexe, cum ar fi tensorul Riemann . În cazul în care spațiul este o curbă sau o suprafață, aceste obiecte matematice sunt mai simple: vorbim de exemplu despre curbura Gaussiană pentru suprafețe.

Pe un soi cu curbură, numit soiul Riemannian , se definește o distanță între puncte și geodezice : acestea sunt curbe care modelează trasee mai scurte la nivel local, cum ar fi linii drepte în plan sau meridiane pe suprafața pământului.

Geometrii neeuclidiene

Același subiect în detaliu: geometrie non-euclidiană .

Triunghiurile, patrulaterele și pentagonele formează o teselare a planului în geometria hiperbolică reprezentată aici de discul Poincaré . Această geometrie neeuclidiană este reprezentată în multe litografii de Maurits Escher .

Cu geometria diferențială este posibil să se construiască un „plan” în care toate postulatele lui Euclid dețin, cu excepția celui de- al cincilea , cel al paralelelor . Acest postulat a avut o importanță istorică fundamentală, deoarece a fost nevoie de 2000 de ani pentru a-și demonstra independența efectivă față de precedentele. El afirmă că, stabiliți-vă o linie dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ care nu este cuprins în $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , există o singură linie $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ paralel cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și trecând prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

O geometrie non-euclidiană este o geometrie în care se țin toate axiomele lui Euclid, cu excepția paralelelor. Sfera , cu geodezice care joacă rolul liniilor, oferă un exemplu simplu de geometrie neeuclidiană: două geodezice se intersectează întotdeauna în două puncte antipodale și, prin urmare, nu există linii paralele. Un astfel de exemplu de geometrie se numește eliptic . Există și exemple opuse, în care există „atât de multe” linii paralele, încât există linii $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ paralel cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și trecători pentru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ sunt infinite (și nu una). Acest tip de geometrie se numește hiperbolică și este mai dificil de descris concret.

Topologie

Același subiect în detaliu: Topologie .

Banda Möbius este o suprafață neorientabilă : de fapt are o singură „față”. Acesta este un obiect studiat în topologie.

Topologia este în cele din urmă studiul formelor și a tuturor acelor proprietăți ale entităților geometrice care nu se schimbă atunci când sunt deformate continuu, fără rupere. Topologia studiază toate obiectele geometrice (definite algebric, diferențiale sau orice altceva) privind doar forma lor. De exemplu, distinge sfera de tor , deoarece acesta din urmă are „o gaură în mijloc”. El studiază proprietățile conexiunii (spații "dintr-o singură bucată") și compactitate (spații "limitate"), precum și funcțiile continue dintre ele.

Formele obiectelor sunt codificate prin obiecte algebrice, cum ar fi grupul fundamental : un grup care codifică într-un mod rafinat prezența „găurilor” într-un spațiu topologic .

Geometrie și geometrii

Același subiect în detaliu: programul Erlangen și geometria transformărilor .

Felix Klein

În 1872 Felix Klein a elaborat un program de cercetare, Programul Erlanger , capabil să producă o mare sinteză a cunoștințelor geometrice și să o integreze cu alte domenii ale matematicii, cum ar fi teoria grupurilor.

În perspectiva lui Klein, o geometrie constă în studiul proprietăților unui spațiu care sunt invariante față de un grup de transformări ( geometria transformărilor ):

Geometria euclidiană se ocupă de proprietăți invariante în raport cu izometriile , adică transformări care păstrează lungimi și unghiuri.
Geometria afină se ocupă de proprietăți invariante sub transformări afine . În domeniul geometriei afine, conceptul de „unghi” sau „lungime” nu mai are sens și toate triunghiurile sunt „echivalente”.
Geometria proiectivă studiază proprietățile care sunt invariante sub transformări proiective , adică transformări care pot fi obținute prin proiecții. În câmpul proiectiv, toate conicele sunt echivalente, deoarece pot fi transformate una în cealaltă printr-o proiecție.
Topologia studiază proprietățile care sunt invariante sub deformări continue . Din punct de vedere topologic, o ceașcă și o gogoasă devin echivalente putând fi deformate una în cealaltă, dar rămân distincte de o sferă care nu poate fi „străpunsă” fără o transformare discontinuă.

Aplicații

Geometria analitică și algebra liniară oferă legături importante între intuiția geometrică și calculul algebric care au devenit acum o parte constitutivă a tuturor matematicii moderne și a aplicațiilor sale în toate științele. Geometria diferențială a găsit aplicații importante în construirea modelelor pentru fizică și cosmologie . Geometria plană și spațială oferă, de asemenea, instrumente pentru modelarea, proiectarea și construirea obiectelor reale în spațiul tridimensional: este, prin urmare, de o importanță fundamentală atât în arhitectură și inginerie , cât și în desen și grafică pe computer .

Geometrie descriptivă

Același subiect în detaliu: geometrie descriptivă .

exemplu de conexiune tangențială între două cvadrici de rotație

Geometria descriptivă este o disciplină care permite, prin anumite construcții grafice, să reprezinte obiecte tridimensionale deja existente ( relief ) și / sau să fie construite ( proiectare ). Aplicația computerizată a geometriei descriptive permite acum crearea de suprafețe și solide, chiar și cu complexitate tridimensională ridicată. Mai mult, și mai presus de toate, permite controlul fără echivoc al tuturor formelor și dimensiunilor lor . Domeniile majore de utilizare a geometriei descriptive sunt cele ale arhitecturii , ingineriei și proiectării industriale.

Bibliografie

Boris A. Dubrovin, Sergej P. Novikov, Anatolij T. Fomenko, Geometria contemporană - metode și aplicații , împărțit în:
- volumul 1, Geometria suprafețelor grupurilor și câmpurilor de transformare , Editori Riuniti, 2011. ISBN 978-88-6473-232-9
- volumul 2, Geometria și topologia soiurilor , Editori Riuniti, 2011. ISBN 978-88-6473-233-6
- volumul 3, Metode ale teoriei omologiilor , Editori Riuniti, 2011. ISBN 978-88-6473-234-3
Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry , traduction et édition: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
Robin Hartshorne Geometry: Euclid and Beyond , Springer 2000, ISBN 0-387-98650-2
Federigo Enriques Întrebări referitoare la geometria elementară , Bologna Zanichelli 1900
Federigo Enriques , Ugo Amaldi Elements of Geometry for high school use , Zanichelli Bologna 1903 (retipăriri până în 1992)
Elementele lui Federigo Enriques Euclid și critica veche și modernă , 4 volume, Roma și Bologna 1925
Federigo Enriques Lecții de geometrie descriptivă , Bologna 1893
Guido Castelnuovo Prelegeri de geometrie analitică și proiectivă , Roma, Milano, 1905
Guido Castelnuovo Elemente de geometrie analitică și proiectivă Roma, 1909

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate din sau despre geometrie
Wikționarul conține dicționarul lema « geometrie »
Wikiversitatea conține resurse despre geometrie
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre geometrie

linkuri externe

Geometria , pe Treccani.it - Enciclopedii on-line , Institutul Enciclopediei Italiene .
( EN ) Geometria , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Geometrie online Calculează automat suprafețe, perimetre etc. de figuri plate și solide.
Geometrie , în Treccani.it - Enciclopedii on-line , Institutul Enciclopediei Italiene.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 6840 · LCCN ( EN ) sh85054133 · GND ( DE ) 4020236-7 · BNF ( FR ) cb119315301 (data) · NDL ( EN , JA ) 00565738

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

V · D · M Arte liberale
Răscruci de drumuri	Gramatică · Retorică · Dialectică
Quadrivio	Aritmetică · Geometrie · Astronomie · Muzică

V · D · M Domenii de matematică
Logica matematică	Teoria mulțimilor · Teoria modelelor · Teoria probei
Algebră	Teoria grupelor · Teoria inelelor · teoria câmpului · Algebra Computațională
Teoria numerelor	Aritmetica · Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor
Matematică discretă	Combinatorie · Teoria ordinelor · Teoria jocurilor
Geometrie	Geometrie diferențială · Geometrie discretă · Topologie · Geometrie combinatorie · Geometrie algebrică
Analiza matematică	Calculul · Analiza cuprinzătoare · Analiza non - standard · Analiza armonică · Analiza funcțională · Teoria măsurării · ecuațiilor diferențiale · Teoria operatorilor
Teoria probabilității și statisticile	Procese stochastice
Fizica matematică	Mecanică clasică · Sisteme dinamice · Mecanică statistică · Mecanică cuantică · Mecanica fluidelor
Analiză numerică și cercetare operațională	Teoria dell'approssimazione · Integrazione numerica · Ottimizzazione
Matematiche complementari	Storia della matematica · Didattica della matematica · Matematica ricreativa
Altro	Biologia matematica · Matematica finanziaria · Crittografia