Geometrie afină

În matematică , geometria afină este geometria care studiază spațiile afine . În esență, tratează acele subiecte ale geometriei euclidiene care pot fi dezvoltate fără utilizarea conceptelor de măsurare a unghiului și a relației dintre două segmente neparalele. Ocupă un loc intermediar între geometria euclidiană și geometria proiectivă ; în acest din urmă caz ​​și noțiunea de paralelism își pierde sensul. Studiul său folosește pe larg algebra liniară .

Spații afine

Același subiect în detaliu: spațiu afiliat .

Intuitiv, un spațiu afin este un obiect similar unui spațiu vectorial care nu are un „punct privilegiat” (originea).

Un spațiu afin ^[1] este un set E de obiecte numite puncte , astfel încât fiecare pereche ordonată de puncte ( p ; q ) este asociată cu un vector φ ( p , q ) al unui spațiu vector dat V. În definiție nu există restricții asupra câmpului asociat spațiului V , care poate fi, de exemplu, cel al numerelor reale sau complexe .

Funcția care asociază un vector la două puncte trebuie să satisfacă o pereche de axiome, care garantează că, având în vedere orice punct p ca origine a spațiului, vectorii φ ( p , q ) ca q variază formează un spațiu vector izomorf în V. În termeni mai abstracte, un spațiu afin este un torsor G ; numai dacă se alege unul dintre punctele sale (planul „ascuțit” afin), atunci devine un spațiu vectorial ( izomorf cu spațiul tangent din punct).

Transformări afine

Același subiect în detaliu: Transformare afină .

O transformare afină între două spații afine este compoziția unei traduceri și a unei transformări liniare : aceasta din urmă are sens după ce a fixat un punct p ca origine. Imaginea unui subspatiu afin prin aceasta transformare este întotdeauna un subspatiu afin. În cazul în care transformarea este un izomorfism , dimensiunea subspațiului este păstrată.

Proprietate

Într-un spațiu afin, este posibil ca două sub spații să nu se intersecteze. De exemplu, în spațiul afin tridimensional există linii și planuri paralele. Din acest motiv, formula Grassmann nu se aplică.

Geometria afină este intermediară între geometria vectorială și a spațiilor proiective : într-un spațiu vectorial subspatiile sunt forțate să treacă prin origine. Spațiul afin este, prin urmare, construit pentru a evita această lipsă nefirească, dar în acest fel se pierde formula Grassmann și, în multe probleme, lista cazurilor care trebuie luate în considerare este prelungită: două linii pot fi incidente, coplanare, înclinate ... spațiul proiectiv elimină din nou fenomenele de paralelism adăugând „puncte noi la infinit”, fără a restabili un „punct privilegiat”. De exemplu, un plan care trece prin origine și o linie paralelă cu aceasta generează un spațiu sumă care este un plan paralel cu primul care conține linia care are dimensiunea 2 nu 3 așa cum ar trebui să fie conform formulei lui Grassmann .

Aplicații

Spațiul afin este utilizat în fizica clasică ca model al spațiului tridimensional în care trăim. Cu toate acestea, acest model nu este satisfăcător pentru modelarea spațiului pentru a explica unele fenomene care se dezvoltă la scară largă, fenomene care sunt studiate în fizica relativistă .

Notă

Bibliografie

• Edoardo Sernesi, Geometria 1 , Torino, Bollati Boringhieri , 1989, ISBN 978-88-339-5447-9 .
• Emil Artin (1968) Algebră geometrică , capitolul 2: „Geometrie afină și proiectivă”, Feltrinelli.
• ( EN ) VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Idei și metode de geometrie afină și proiectivă , Ministerul Educației, Moscova.
• ( EN ) MK Bennett (1995) Geometrie afină și proiectivă , John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8 .
• ( EN ) HSM Coxeter (1955) "The Affine Plane", Scripta Mathematica 21: 5-14, o prelegere susținută în fața Forumului Societății Prietenilor din Scripta Mathematica , luni, 26 aprilie 1954.
• ( EN ) Felix Klein (1939) Matematica elementară dintr-un punct de vedere avansat: geometrie , tradus de ER Hedrick și CA Noble, pp. 70-86, Compania Macmillan.
• ( EN ) Bruce E. Meserve (1955) Conceptele fundamentale ale geometriei , capitolul 5 Geometrie afină ,, pp 150–84, Addison-Wesley.
• ( EN ) Peter Scherk și Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane Affine Geometry , Mathematical Expositions # 20, University of Toronto Press.
• ( EN ) Wanda Szmielew (1984) De la geometrie afină la geometrie euclidiană: o abordare axiomatică , D. Reidel , ISBN 90-277-1243-3 .
• ( EN ) Oswald Veblen (1918) Projective Geometry , volumul 2, capitolul 3: Grup afin în plan, pp. 70-118, Ginn & Company.

Elemente conexe

• Spațiu afinar
• Transformare afină
• Geometrie proiectivă
• Geometria transformărilor

linkuri externe

• Proiect Afine Geometry al Universității din Bologna .
• ( EN ) Geometriile proiective și afine ale lui Peter Cameron de la Universitatea din Londra .
• ( EN ) Jean H. Gallier (2001). Metode geometrice și aplicații pentru informatică și inginerie , capitolul 2: "Bazele geometriei afine" (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics # 38, capitol online de la Universitatea din Pennsylvania .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică