Geometrie algebrică

Această suprafață Togliatti este o suprafață algebrică de gradul 5. Figura reprezintă o porțiune din locul său real.

Geometria algebrică este un domeniu al matematicii , care, după cum sugerează și numele său, combină algebra abstractă (în special algebra comutativă ) cu geometria . Principalul obiect de studiu al geometriei algebrice sunt soiurile algebrice, obiecte geometrice definite ca soluții ale ecuațiilor algebrice .

Zerouri simultane de polinoame

În geometria algebrică obiectele geometrice studiate sunt definite ca zerouri ale unui anumit număr de polinoame: acesta este setul de zerouri în comun sau echivalent soluțiile uneia sau mai multor ecuații polinomiale. De exemplu, sfera dimensiunii două în spațiul euclidian R ³ a dimensiunii trei este definită ca setul de puncte (x, y, z) care apar:

x ² + y ² + z ² -1 = 0.

Un cerc „strâmb” în R ³ este definit ca setul de puncte (x, y, z) care verifică ambele ecuații:

x ² + y ² + z ² -1 = 0

x + y + z = 0.

Soiuri înrudite

Pentru a defini o varietate afină, începem prin a lua în considerare un câmp k . În geometria algebrică clasică, câmpul considerat a fost întotdeauna cel complex C , dar multe rezultate sunt la fel de adevărate dacă presupunem doar că k este închis algebric . Definiți spațiul afin de dimensiunea n pe k ca A ⁿ ( k ) = k ⁿ (sau mai simplu A ⁿ , când k este clar din context). Scopul acestei notații aparent de prisos este să subliniem că „uităm” structura spațiului vectorial care poartă cu sine k ⁿ . Vorbind abstract, A ⁿ este, pentru moment, un set simplu de puncte.

O funcție f : A ⁿ → A ¹ se spune că este regulată dacă poate fi scrisă ca polinom, adică dacă există un polinom p în k [ x ₁ , ..., x _n ] astfel încât f ( t ₁ , ..., t _n ) = p ( t ₁ , ..., t _n ) pentru fiecare punct ( t ₁ , ..., t _n ) din A ⁿ .

Funcțiile regulate pe spațiul afin n- dimensional sunt deci exact aceleași cu polinoamele de pe k în n variabile. Vom denota setul de funcții regulate pe A ⁿ cu k [ A ⁿ ].

Să presupunem că un polinom dispare într-un punct dacă este evaluat în acel punct returnează zero. Fie S un set de polinoame în k [ A ⁿ ]. Locusul zerourilor lui S este mulțimea V ( S ) a tuturor punctelor din A ⁿ peste care se anulează toate polinoamele lui S. Cu alte cuvinte,

V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})|\forall p\in S,p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\}.

{\ displaystyle V (S) = \ {(t_ {1}, \ dots, t_ {n}) | \ forall p \ in S, p (t_ {1}, \ dots, t_ {n}) = 0 \ }.}

{\ displaystyle V (S) = \ {(t_ {1}, \ dots, t_ {n}) | \ forall p \ in S, p (t_ {1}, \ dots, t_ {n}) = 0 \ }.}

Un subset al lui A ⁿ care poate fi scris ca V ( S ) pentru unele S se numește set algebric . V reprezintă varietatea algebrică (un tip specific de set algebric pe care îl vom defini în scurt timp).

Dat fiind un subset U de A ⁿ , este posibil să se recupereze mulțimea de polinoame care îl generează? Dacă U este orice subset al lui A ⁿ , definim I ( U ) ca mulțimea tuturor polinoamelor al căror locus zero conține U. I reprezintă idealul : dacă două polinoame f și g se anulează pe U , atunci f + g dispare pe U și dacă h este orice polinom, atunci hf dispare pe U , deci I ( U ) este întotdeauna un ideal al lui k [ A ⁿ ].

Două întrebări naturale de pus sunt:

Dat fiind un subset U al lui A ⁿ , când este U = V ( I ( U ))?
Având în vedere un set S de polinoame, când ține S = I ( V ( S ))?

Răspunsul la prima întrebare este imediat după introducerea topologiei Zariski , o topologie pe A ⁿ care reflectă direct structura algebrică a lui k [ A ⁿ ]. Atunci U = V ( I ( U )) dacă și numai dacă U este un set închis Zariski (mai exact, V ( I ( U )) este tocmai închiderea lui U conform topologiei Zariski). Răspunsul la a doua întrebare este dat de teorema zero a lui Hilbert . Într-una din formele sale echivalente, această teoremă afirmă că I ( V ( S )) este radicalul idealului generat de S.

Din diverse motive, este posibil să nu dorim întotdeauna să lucrăm cu întregul ideal care corespunde unui set algebric U. Datorită teoremei bazei lui Hilbert știm că idealurile din k [ A ⁿ ] sunt întotdeauna generate finit, deci putem considera un set finit de polinoame care generează I ( U ). În special U este intersecția unui număr finit de mulțimi algebrice de tipul V ( f ), cu f polinom.

Se spune că un set algebric este ireductibil dacă nu poate fi scris ca o uniune a două mulțimi algebrice mai mici. Un set algebric ireductibil se mai numește și o varietate algebrică . Se poate arăta că un set algebric este o varietate algebrică dacă și numai dacă polinoamele care îl definesc generează un ideal primar al inelului de polinoame.

Inelul coordonat al unui distribuitor

La fel cum funcțiile continue sunt aplicații naturale pe un spațiu topologic și funcțiile netede sunt aplicații naturale pe o varietate diferențiată , există o clasă naturală de aplicații pe un set algebric, numite funcții regulate. O funcție regulată pe un set algebric V conținută în A ⁿ este definită ca restricția unei funcții regulate pe A ⁿ , în sensul pe care l-am definit mai sus.

Poate părea prea restrictiv să ceri ca o funcție obișnuită să se poată extinde întotdeauna la spațiul ambiental, dar situația este foarte asemănătoare cu cea a unui spațiu topologic normal , unde teorema de extensie a lui Tietze garantează că o funcție continuă pe un set închis poate fi întotdeauna extinsă la spațiul mediului topologic.

La fel ca funcțiile regulate pe spații afine, funcțiile regulate pe V formează un inel, pe care îl notăm cu k [ V ]. Acest inel se numește inelul de coordonate al lui V.

Deoarece funcțiile obișnuite de pe V derivă din funcțiile obișnuite de pe A ⁿ , ar trebui să existe o relație între inelele lor de coordonate. Mai exact, pentru a obține o funcție în k [ V ] am luat o funcție în k [ A ⁿ ] și am spus că nu o distingem de o altă funcție în k [ A ⁿ ] dacă returnează aceleași valori pe V . Acest lucru este echivalent cu a spune că diferența lor este zero pe V. Din aceasta putem vedea că k [ V ] este coeficientul k [ A ⁿ ] / I ( V ).

Teoria proiectivă

În loc să lucrați în spațiul afin A ⁿ ( k ), se lucrează mai des în spațiul proiectiv P ⁿ ( k ). Avantajul acestei abordări este că numărul de intersecții poate fi calculat cu ușurință cu teorema Bézout .

Punct de vedere actual asupra teoriei

În viziunea modernă, relația dintre soi și inelul de coordonate este inversată: începem cu un inel comutativ și definim soiul corespunzător folosind idealuri prime. Idealurile primare obțin o structură a spațiului topologic , spectrul inelului. În formularea generală acest lucru duce la schemele lui Alexander Grothendieck .

O clasă importantă de soiuri sunt soiurile abeliene , soiuri ale căror puncte formează un grup abelian. Un exemplu în acest sens sunt curbele eliptice care sunt folosite în criptografia eliptică și au servit pentru dovada ultimei teoreme a lui Fermat .

În timp ce o parte a geometriei algebrice se referă la afirmații generale și abstracte despre varietăți, au fost dezvoltate metode pentru calcule pe un set precis de polinoame. Cea mai importantă este tehnica de bază Gröbner care stă la baza întregii algebre computaționale .

Geometria algebrică a fost dezvoltată în mare parte de geometrii italieni la începutul secolului al XX-lea. Munca lor despre geometria biratională a fost profundă, dar nu s-a bazat pe o bază suficient de riguroasă. Algebra comutativă a fost dezvoltată, tot la începutul secolului al XX-lea, de David Hilbert , Emmy Noether și alții având în vedere aplicații geometrice.

În anii 1930 și 1940, Oscar Zariski , André Weil și alții au înțeles necesitatea unei geometrii algebrice axiomatice pe o bază riguroasă. Pentru o vreme, s-au folosit diverse teorii.

În anii 1950 și 1960 Jean-Pierre Serre și Alexander Grothendieck au respins bazele folosind teoria fasciculului . După aproximativ 1960, ideea schemelor a fost rafinată, împreună cu un aparat complex de tehnici omologice . După un deceniu de dezvoltare rapidă, câmpul s-a stabilizat în anii 1970 și au fost create aplicații, atât pentru teoria numerelor , cât și pentru probleme mai geometrice, cum ar fi soiuri algebrice, singularități și module.

Bibliografie

Emil Artin (1968): Geometric Algebra , Feltrinelli
David Cox, John Little, Donald O'Shea (1997): Idealuri, varietăți și algoritmi. An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra , ediția a II-a, Springer, ISBN 0-387-94680-2
David Cox, John Little, Donald O'Shea (1997): Utilizarea geometriei algebrice
David Eisenbud (1995): Algebra comutativă cu o perspectivă spre geometria algebrică , Springer, ISBN 0-387-94269-6
David Eisenbud, Joe Harris (1998): Geometria schemelor , Springer, ISBN 0-387-98637-5
Alexander Grothendieck (1971): Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, ediția a doua, Springer, ISBN 3-540-05113-9
Joe Harris (1995): Geometrie algebrică: un prim curs , Springer, ISBN 0-387-97716-3
Robin Hartshorne (1977): Geometrie algebrică , Springer, ISBN 0-387-90244-9
David Mumford (1999): Cartea roșie a soiurilor și schemelor , ediția a II-a, Springer, ISBN 3-540-63293-X
Igor Rostislavovič Šafarevič (1995): Geometrie algebrică de bază II: scheme și manifolduri complexe , ediția a II-a, Springer, ISBN 0-387-54812-2