Geometria transformărilor

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
O reflecție față de o axă urmată de o reflecție față de a doua axă paralelă cu prima produce o mișcare totală care este o translație .
O reflecție față de o axă urmată de o reflecție față de a doua axă care nu este paralelă cu prima produce o mișcare totală care este o rotație în jurul punctului de intersecție a axelor.

În matematică , geometria transformărilor (sau geometria transformării ) este o abordare matematică și pedagogică a studiului geometriei care se concentrează pe grupuri de transformări geometrice și pe proprietățile figurilor care sunt invariante față de acele grupuri. Acesta contrastează cu abordarea clasică a geometriei euclidiene , bazată pe geometria sintetică , care se concentrează pe construcții geometrice .

De exemplu, în geometria transformărilor, proprietățile unui triunghi isoscel sunt deduse din faptul că este mapat pe sine de o transformare speculară în jurul unei anumite linii. Acest lucru contrastează cu dovezile clasice prin intermediul criteriilor de congruență ale triunghiurilor . [1]

Primul efort sistematic de a folosi transformările ca fundament al geometriei a fost făcut de Felix Klein în secolul al XIX-lea, care a enunțat așa-numitul program Erlangen . Timp de aproape un secol, această abordare a fost limitată la cercurile de cercetare matematică. În secolul al XX-lea, s-au făcut eforturi pentru ao exploata în scopul predării matematicii . Andrei Kolmogorov a inclus această abordare (împreună cu teoria mulțimilor ) ca parte a unei propuneri de reformă a predării geometriei în Rusia . [2] Aceste încercări au culminat în anii 1960 cu reforma generală a predării matematicii cunoscută sub numele de mișcarea modernă a matematicii .

Predarea geometriei transformărilor

O explorare a geometriei transformărilor începe adesea cu un studiu al simetriei reflexiilor așa cum se regăsesc în viața de zi cu zi. Prima transformare reală este reflectarea într-o linie sau reflecție față de o axă . Compoziția celor două reflexii are ca rezultat o rotație atunci când liniile se intersectează sau o translație atunci când acestea sunt paralele. Prin urmare, prin transformări elevii învață izometria plană euclidiană . De exemplu, luați în considerare reflexia într-o linie verticală înclinată la 45 ° față de orizontală. Se poate observa că o compoziție produce un sfert de rotire în sens invers acelor de ceasornic (90 °), în timp ce compoziția inversă produce un sfert de rotire în sensul acelor de ceasornic. Aceste rezultate arată cum există procese necomutative în geometria transformărilor.

O aplicație distractivă de reflecție într-o linie are loc într-o demonstrație triunghiulară cu un șapte din aria găsită în orice triunghi.

O altă transformare prezentată tinerilor studenți este dilatarea . Totuși, transformarea reflecției într-un cerc pare nepotrivită pentru clasele inferioare. Prin urmare, geometria inversivă , un studiu mai amplu al geometriei transformărilor școlii elementare, este de obicei rezervată studenților.

Experimentele cu grupuri concrete de simetrie deschid calea către studiul abstract al teoriei grupurilor. Alte activități concrete utilizează calcule cu numere complexe , numere hipercomplexe sau matrice , pentru a exprima geometria transformărilor. Aceste lecții de geometrie de transformare prezintă o viziune alternativă care contrastează cu geometria sintetică clasică. Atunci când elevii întâlnesc apoi geometria analitică , ideile de rotații și reflexii coordonate sunt ușor de asimilat. Toate aceste concepte se pregătesc pentru algebră liniară în care conceptul de reflexie este extins.

Educatorii au arătat interes pentru astfel de abordări și au descris proiecte și experiențe cu geometrie de transformare pentru copiii de la grădiniță până la liceu. În cazul copiilor foarte mici, pentru a evita introducerea unei noi terminologii și pentru a face legături cu experiența zilnică a elevilor cu obiecte concrete, uneori s-a recomandat utilizarea unor cuvinte care le erau familiare, cum ar fi „salturi” pentru reflecții liniare. ., „alunecări” pentru traduceri și „viraje” pentru rotații, deși acestea nu sunt un limbaj matematic precis. În unele propuneri, elevii încep prin a practica cu obiecte concrete înainte de a efectua transformări abstracte prin cartografierea fiecărui punct al figurii. [3] [4] [5] [6]

Ca parte a unui proiect de reorganizare a predării geometriei în Rusia , Kolmogorov a sugerat prezentarea subiectului din punctul de vedere al transformărilor, astfel încât cursurile de geometrie au fost structurate în conformitate cu teoria mulțimilor . Acest lucru a dus la apariția în școli a termenului „congruent”, pentru cifrele care anterior erau numite „egale”: întrucât o figură era văzută ca un set de puncte, ea nu putea fi egală decât ea însăși și două triunghiuri care puteau fi suprapuse prin intermediul izometriilor erau numite congruente . [2]

Notă

  1. ^ Georges Glaeser , Criza predării geometriei
  2. ^ a b Alexander Karp și Bruce R. Vogeli - Educația rusă la matematică: programe și practici, volumul 5 , pag. 100-102
  3. ^ RS Millman - geometrie de transformare Kleiniană, Amer. Matematica. Lunar 84 (1977)
  4. ^ UNESCO - Noi tendințe în predarea matematicii, v.3, 1972 / pg. 8
  5. ^ Barbara Zorin - Transformări geometrice în manualele de matematică din școala medie
  6. ^ UNESCO - Studii în educația matematică. Predarea geometriei

Bibliografie

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometry_delle_transformazioni&oldid=104508539 ”