Geometria eliptică

Geometria eliptică sau Riemann este o geometrie neeuclidiană concepută de matematicianul Bernhard Riemann . Apare din negarea celui de- al cincilea postulat al lui Euclid sau echivalent din axioma IV.1 a lui Hilbert . Cu toate acestea, pentru ca aceasta să fie o teorie axiomatică coerentă, este necesară și modificarea axiomei de ordonare ^[1] . Această geometrie este local echivalentă cu geometria sferică . În calificarea sa didactică la Universitatea din Göttingen , Riemann a început după cum urmează: ^[2]

«Se știe că geometria presupune, ca ceva dat, atât conceptul de spațiu, cât și primele concepte fundamentale pentru construcțiile în spațiu. Dintre acestea, el oferă doar definiții nominale, în timp ce determinările esențiale apar sub formă de axiome. "

( Bernhard Riemann , 1854 )

Corpul axiomatic

Cu referire la clasificarea axiomatică propusă de Hilbert pentru geometria euclidiană, raportăm mai jos cea referitoare la geometria eliptică.

I - Axiome ale apartenenței

O singură linie dreaptă trece prin fiecare pereche de puncte distincte.
Există cel puțin trei puncte care nu stau pe o linie dreaptă.
Trei puncte neliniate sunt conținute într-un singur plan.
Dacă două puncte conținute într-o linie r se află într-un plan p, atunci p conține fiecare punct al lui r.
Dacă două planuri conțin același punct, atunci există cel puțin un alt punct conținut în ambele.
Fiecare linie conține cel puțin două puncte, fiecare plan conține cel puțin trei puncte neliniate și există cel puțin patru puncte necoplanare.

II - Axiome ale ordonării

Dacă S (AB | CD), atunci A, B, C, D sunt patru puncte distincte aparținând aceleiași linii.
Dacă S (AB | CD), atunci: S (BA | CD); S (AB | DC); S (BA | DC); S (CD | AB); S (CD | BA); S (DC | AB); S (DC | BA).
Dacă A, B, C sunt trei puncte pe o linie, atunci există cel puțin un punct D astfel încât S (AB | CD).
Dacă A, B, C, D sunt patru puncte distincte aparținând aceleiași linii, atunci există o pereche de puncte care separă perechea formată de celelalte două; adică cel puțin una dintre următoarele relații este valabilă: S (AB | CD), S (AC | BD), S (AD | BC).
Dacă S (AB | CD) și S (AC | BE), atunci S (AB | DE).
O linie dreaptă care, trecând printr-un vârf, intră într-un triunghi, întâlnește partea opusă.

III - Axiome de congruență

Dacă A, B sunt două puncte ale unei linii și, în plus, A 'este un punct pe aceeași linie sau pe o altă a', putem găsi întotdeauna un punct B ', dintr-o parte dată a liniei a' în raport cu A ' , astfel încât segmentul AB este congruent sau egal cu segmentul A'B '; în simboluri: AB ≡ A'B '.
Dacă un segment A'B 'și un segment A "B" sunt congruente cu același segment AB, A'B' ≡ AB și A "B" ≡ AB, atunci segmentul A'B 'este, de asemenea, congruent segmentului A "B ".
Fie AB și BC două segmente fără puncte comune (aceasta înseamnă că punctele A și C sunt opuse față de B) pe o dreaptă a și A'B 'și B'C' două segmente pe aceeași linie sau pe o altă a ', mereu fără puncte în comun. Atunci dacă este AB ≡ A'B 'și BC ≡ B'C', este și AC ≡ A'C '.
Să dăm un unghi ε (h, k) într-un plan α și o dreaptă a 'într-un plan α', precum și o anumită parte a lui 'în α'. Fie h 'să denotăm o rază a liniei drepte a' originară din O '. Există atunci în plan o singură rază k 'astfel încât unghiul ε (h, k) să fie congruent, adică egal cu unghiul ε (h', k ') și în același timp toate punctele din interior „unghiul ε (h”, k ”) care se află pe partea a”.
Dacă pentru două triunghiuri ABC și A'B'C 'congruențele AB ≡ A'B', AC ≡ A'C ', εABC ≡ εA'B'C', atunci congruența este întotdeauna valabilă: εABC ≡ εA'B „C”.

IV - Axioma lui Riemann

Orice două linii drepte dintr-un plan au întotdeauna cel puțin un punct în comun.

V - Axioma continuității (sau a lui Dedekind)

Dacă punctele unui segment AB sunt împărțite în două clase ne-goale astfel încât:
a) toate punctele AB sunt într-una sau alta clasă (și într-o singură);
b) punctele A și B aparțin unor clase diferite (pe care le vom numi respectiv clasele I și II);
c) toate punctele clasei I preced cele ale II;
atunci există în segmentul AB un punct C (care poate aparține atât clasei I, cât și clasei II) astfel încât toate punctele segmentului AB care preced C aparțin clasei I, iar toate cele care urmează C aparțin clasei II . C este numit punctul de separare între cele două clase.

Modele de geometrie eliptică

Modelele geometriei eliptice (precum cea sferică) sunt modele sintactice ale geometriei euclidiene , care au drept consecință natura non-contradictorie a geometriei eliptice plane, presupusă a fi natura non-contradictorie a geometriei plane euclidiene.

Având în vedere un punct O în spațiul euclidian, numim steaua centrului O mulțimea tuturor liniilor drepte și a tuturor planurilor care trec prin O. Definim această interpretare după cum urmează:

podea	set de linii ale stelei cu centrul O
punct	linia stelei cu centrul O
Drept	planul stelei cu centrul O
segment	Unghiul euclidian între liniile care sunt punctele exterioare ale segmentului
unghiul dintre două linii	unghi diedru format din planurile care reprezintă cele două drepte.
apartenența unui punct la o linie dreaptă	apartenență obișnuită între linii și planuri euclidiene
congruența între segmente și între unghiuri	ca în geometria euclidiană între unghiuri diedre
separare între patru puncte aliniate	Separarea euclidiană între liniile coplanare aparținând aceluiași pachet de centru O

Pe baza acestor definiții, axiomele geometriei eliptice devin propoziții demonstrabile ale geometriei euclidiene a stelelor de linii și planuri.

O primă modificare poate fi făcută acestui model pentru a-l face mai inteligibil. Putem considera intersecția unei stele cu centrul O cu o sferă cu centrul O. În acest fel, entitățile geometrice ale stelei pot fi reinterpretate ca fiind intersecțiile acestor elemente cu suprafața sferei.

O altă modificare permite o simplificare suplimentară a modelului, ceea ce îl face foarte asemănător cu modelul de geometrie sferică pe o sferă. Această modificare constă în examinarea intersecției stelei cu centrul O cu o emisferă cu centrul O.

Modelul stelar cu centrul O poate fi văzut ca proiecția stereografică a unei emisfere cu centrul O produsă de intersecția unui plan care trece prin O, de la care putem înțelege mai bine echivalența locală dintre geometria sferică și eliptică.

Teoreme ale geometriei eliptice plane

Circumferința
Circumferința este definită ca locusul punctelor echidistante de la un punct dat numit centru. Se arată că un cerc poate fi definit și ca locusul punctelor echidistante de la o dreaptă dată .
Aria unui triunghi
Dat fiind un triunghi sferic construit pe o sferă cu raza R a unghiurilor $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma$ , aria A a triunghiului este:
$A=R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ^[3] .
Suma unghiurilor interne ale unui triunghi
Din relația anterioară rezultă imediat că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este întotdeauna mai mare decât $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ :
$\alpha +\beta +\gamma =\pi +A/R^{2}$ ${\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ {2}}$ .
Criterii de congruență între triunghiuri
Două triunghiuri sferice care au egal egal sunt egale:

două laturi și unghiul inclus;
două colțuri și latura comună
cele trei laturi;
cele trei colțuri.

teorema lui Pitagora
Dacă ABC este un triunghi sferic drept în A și cu hipotenuză a, și cu b și c lungimile laturilor sale, atunci cosinusul hipotenuzei este egal cu produsul cosinusului picioarelor: $\cos(a/k)=\cos(b/k)\cos(c/k)$ ${\ displaystyle \ cos (a / k) = \ cos (b / k) \ cos (c / k)}$ ${\ displaystyle \ cos (a / k) = \ cos (b / k) \ cos (c / k)}$ ^[4] Efectuând expansiunea seriei de ordinul doi al funcțiilor trigonometrice, obținem expresia universal cunoscută a teoremei pitagoreice în geometria euclidiană: $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}}$ $a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}$
Zona unui poligon sferic
Aria unui poligon sferic n- lateral este:
$A=R^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}-(n-2)\pi )$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + ... + \ alpha _ {n} - (n-2) \ pi)}$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + ... + \ alpha _ {n} - (n-2) \ pi)}$ .
Dovada sa se bazează pe posibilitatea descompunerii unui poligon sferic în triunghiuri.
Toate perpendicularele unei linii concurează într-un punct.
Într-un triunghi dreptunghiular, unghiul opus uneia dintre cele două laturi ale unghiului drept este acut, obtuz sau drept, în funcție de faptul dacă această latură este mai mică, mai mare sau congruentă cu cealaltă parte a unghiului drept.

Teoreme ale geometriei eliptice în spațiu

O linie și un plan au întotdeauna un punct comun
Două etaje au întotdeauna o linie în comun
Toate liniile perpendiculare pe un plan se întâlnesc într-un punct situat la o distanță d de acesta.
Locusul punctelor la distanța d față de un punct P este un plan perpendicular pe toate liniile drepte care trec prin P. Acest plan se numește plan polar al lui P și P se numește pol.
În cazul în care se află punctul P pe planul A, polul unei minciuni pe planul polar al P.

Trigonometria sferică în spațiul eliptic, dacă se adoptă convenții adecvate cu privire la măsurarea laturilor și a unghiurilor triunghiurilor sferice, coincide cu trigonometria sferică euclidiană și hiperbolică. Adică, trigonometria sferică aparține corpului geometriei absolute .

Notă

^ Pentru a afla mai multe despre geneza geometriei eliptice, consultați aici
^ Bernhard Riemann, ipoteza din spatele geometriei
^ $(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ se numește exces unghiular.
^ k este un parametru dimensional care depinde de unitățile de măsură alese pentru a indica măsurătorile laturilor triunghiului.

Bibliografie

Geometrii non-euclidiene și fundamentele geometriei de E. Agazzi, D. Palladino - Edizioni Scientifiche e Tecniche Mondadori.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu geometrie eliptică

linkuri externe

Geometrii neeuclidiene , pe projectomatematica.dm.unibo.it .

Controlul autorității	GND ( DE ) 1025719271

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pentru a afla mai multe despre geneza geometriei eliptice, consultați aici

[2] Bernhard Riemann, ipoteza din spatele geometriei

[3] $(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ se numește exces unghiular.

[4] ste un parametru dimensional care depinde de unitățile de măsură alese pentru a indica măsurătorile laturilor triunghiului.

[1]

[2]

[3]

[4]