Geometria diferențială

Geometria diferențială definește și studiază noțiunea de „spațiu curbat”. Cele mai importante trei tipuri de curburi sunt prezentate aici: eliptice, hiperbolice, plate.

În matematică , geometria diferențială este studiul obiectelor geometrice, cum ar fi curbele , suprafețele și varietățile mai general diferențiate , prin analiza matematică . Prin intermediul calculului infinitesimal și al noțiunii de derivată , este, prin urmare, posibilă introducerea și studierea noțiunilor fundamental importante, cum ar fi cele de câmp vectorial , formă diferențială , geodezică , curbură . Cea mai notabilă aplicație a geometriei diferențiale este formularea relativității generale , căreia îi oferă instrumentele pentru modelarea spațiului-timp .

Soiurile diferențiate

O curbă în plan. Cu calcul infinitesimal îi definim tangenta într-un punct.

Subset al spațiului euclidian

Geometria diferențială subiacentă este noțiunea de varietate diferențiată . Această noțiune o generalizează pe cea de curbă și suprafață , modelând un „spațiu curbat” de orice dimensiune. Prin urmare, curbele și suprafețele sunt varietăți de dimensiunea 1 și 2.

Până la mijlocul secolului al XIX-lea , o varietate diferențiată a fost definită ca un obiect conținut în spațiul euclidian , care local avea aspectul unui „subspatiu curbat” de o anumită dimensiune. Prin urmare, am vorbit, de exemplu, de curbe în plan sau în spațiu și despre suprafețe în spațiu. Aceste obiecte sunt în general definite (cel puțin local) ca un locus de zerouri sau o imagine a unei funcții diferențiabile .

Obiect intrinsec

Lucrările lui Bernhard Riemann au introdus o definiție mai intrinsecă a soiului. O varietate poate fi definită astăzi ca un obiect intrinsec, nu neapărat conținut într-un spațiu euclidian: acest rezultat este rezultatul unei căi de abstractizare care a implicat multe entități geometrice în secolul al XX-lea , precum soiurile algebrice și spațiile topologice .

Reprezentarea „intrinsecă” descrie proprietățile geometrice ale colectorului „din interior”: nu este nevoie să „ieșim” din colector pentru a vorbi despre geodezie , distanță , curbură . Această abstractizare este foarte utilă de exemplu în relativitatea generală , deoarece ne permite să descriem universul din interior, fără crearea artificială a unui „container mai mare”.

Reprezentarea intrinsecă descrie proprietățile soiului care nu depind de mediul în care este reprezentat. Colectoarele mai complexe sunt definite ca sticla Klein (o suprafață, adică o varietate de dimensiunea 2) fără ajutorul unui spațiu care le conține.

Curbe și suprafețe în spațiu

Același subiect în detaliu: Geometria diferențială a curbelor .

Studiul curbelor și suprafețelor în spațiul tridimensional a avut o poziție predominantă în geometria diferențială până la întregul secol al XIX-lea . Comportamentul unei curbe în spațiu (și mai general într-un spațiu euclidian cu orice număr de dimensiuni) este descris de sistemul Frenet : un cadru de referință care se deplasează de-a lungul traiectoriei. Mărimile care caracterizează modul în care curba își schimbă traiectoria sunt curburile : în 3 dimensiuni există două curburi, numite pur și simplu curbură și torsiune .

Tensori și curbură

Curbura unui distribuitor diferențial este codificată de un obiect matematic foarte complex, tensorul . Un tensor este un obiect care generalizează matricea de la 2 la mai multe dimensiuni, foarte util pentru definirea unei structuri pe o varietate. Tensorul care definește curbura colectorului este tensorul Riemann . O versiune simplificată a acestui lucru este tensorul de curbură Ricci . Calculul tensorului oferă numeroase instrumente pentru manipularea tensoarelor.

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
Luigi Bianchi Lecții de geometrie diferențială (3 vol.) ^{[ Broken link ]} (Pisa: E. Spoerri, 1922)
Arrigo Amadori (2009): Călătoria perfectă - cum să devii un explorator de suprafață, [1]
(EN) George Salmon Un tratat despre geometria analitică a trei dimensiuni ^{[ legătură întreruptă ]} (Dublin: Hodges-Smith, 1862)
(EN) Pfahler Luther Eisenhart Un tratat despre geometria diferențială a curbelor și suprafețelor (Boston: Ginn & co., 1909)
( EN ) Barrett O'Neill (1997): Geometrie diferențială elementară , ediția a II-a, Academic Press, ISBN 0-12-526745-2
( EN ) Peter Petersen (1997): Riemannian Geometry , Springer, ISBN 0-387-98212-4
(EN) Richard W. Sharpe (1997): Geometrie diferențială. Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer, ISBN 0-387-94732-9
( EN ) Jürgen Jost (1998): Riemannian Geometry and Geometric Analysis , ediția a II-a, Springer, ISBN 3-540-63654-4
( FR ) Gaston Darboux Cours de Géometrie ^{[ link rupt ]} (Paris: Gauthier-Villars, 1894-1917)
( FR ) Gaston Darboux Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal (4 vol.) ^{[ Broken link ]} (Paris: Gauthier-Villars, 1887-1896)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu geometrie diferențială

linkuri externe

( EN ) Geometrie diferențială , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 21328 · LCCN (EN) sh85054146 · GND (DE) 4012248-7 · BNF (FR) cb133188233 (data) · NDL (EN, JA) 00.560.656

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică