Geometria euclidiană

Dodecaedru

Geometria euclidiană este un sistem matematic atribuit matematicianului alexandrin Euclid , care a descris-o în Elementele sale. Geometria sa constă în asumarea a cinci concepte simple și intuitive, numite axiome sau postulate și, în derivarea din axiomele menționate, a altor propoziții ( teoreme ) care nu au nicio contradicție cu ele. Această organizare a geometriei a permis introducerea liniei drepte , a planului , a lungimii și a zonei . Deși multe dintre concluziile lui Euclid erau deja cunoscute de matematicieni, ^[1] el a arătat cum ar putea fi organizate într-un mod deductiv și cu un sistem logic . ^[2] Elementele lui Euclid încep cu o analiză a geometriei plane , care este în prezent predată în școlile secundare și utilizată ca o primă abordare a demonstrațiilor matematice , apoi se trece la geometria solidă în trei dimensiuni . După Euclid s-au născut anumite tipuri de geometrii care nu respectă neapărat cele cinci postulate; astfel de geometrii sunt definite ca neeuclidiene .

Cele cinci postulate

Cele cinci postulate ale lui Euclid sunt: ^[3]

Între oricare două puncte este posibilă trasarea unei singure linii drepte;
Puteți extinde un segment dincolo de colon la nesfârșit;
Având în vedere un punct și o lungime, este posibil să se descrie un cerc;
Toate unghiurile drepte sunt congruente între ele;
Dacă o linie dreaptă care taie alte două linii drepte determină pe aceeași parte unghiuri interne mai mici decât două unghiuri drepte, prin extinderea celor două linii drepte, acestea se vor întâlni pe latura în care cele două unghiuri sunt mai mici decât două unghiuri drepte.

Cele cinci postulate ale lui Euclid și formularea celui de-al cincilea preferat astăzi

Observăm imediat o diferență între primele patru, imediat evidentă și practic verificabilă cu simpla utilizare a creionului, riglei și busolei, și a cincea, care nu se caracterizează prin imediatitatea practică a primei, în timp ce prezintă o formulare mult mai implicată . De fapt, el demonstrează primele 28 de propoziții ale primei cărți a Elementelor fără a face uz de cel de-al cincilea postulat.

Al cincilea postulat este echivalent cu următoarea axiomă, mai folosită astăzi:

O singură linie paralelă cu aceasta trece printr-un punct în afara unei linii date.

Geometriile neeuclidiene, cum ar fi geometria hiperbolică, se bazează pe încălcarea acestor postulate și în special pe a cincea.

Corolari

Din axiome este posibil să se deducă relații de incidență între puncte, drepte și plane. De exemplu:

Liniile infinite trec printr-un punct
O singură linie dreaptă trece prin două puncte distincte
Un număr infinit de planuri trec printr-o linie dreaptă în spațiu
Doar un plan trece prin trei puncte care nu sunt aliniate în spațiu
O singură linie dreaptă trece prin trei puncte aliniate

Sunt apoi definite alte noțiuni, cum ar fi:

Se spune că două linii în spațiu sunt coplanare atunci când se află pe același plan.
Dacă un punct împarte o linie, fiecare dintre cele două părți se numește jumătate de linie : aceasta va avea o origine, dar nu un sfârșit.
Partea unei linii drepte mărginite de două puncte se numește segment .

Pe postulatul V

Același subiect în detaliu: postul 5 al lui Euclid .

Al cincilea postulat al lui Euclid

În 1899 , David Hilbert (născut la Königsberg la 23 ianuarie 1862 și decedat la Göttingen la 14 februarie 1943) propune un sistem axiomatic corect pentru geometrie . Procedând astfel, s-a încercat să se demonstreze corectitudinea celui de-al cincilea postulat prin absurditate și apoi pentru că în versiunea originală sunt implicite și alte presupuneri: de exemplu, în prima axiomă, se presupune că linia există și este doar unul și că există două puncte distincte; în al doilea, că o linie dreaptă are mai mult de un punct; în al treilea, că există cel puțin trei puncte neliniate în plan , că un segment de linie dreaptă poate fi tradus prin traducere fără a-l deforma și așa mai departe.

A fost astfel publicat Grundlagen der Geometrie , care a furnizat un sistem axiomatic complet, bazat pe 21 de axiome, pentru geometria euclidiană. După ce a făcut acest lucru, s-a arătat imediat de Henri Poincaré că geometria hiperbolică , investigată de Giovanni Girolamo Saccheri , corect fondată de Nikolaj Ivanovich Lobačevskij și confirmată cu un model de Eugenio Beltrami , ar putea fi pusă în corespondență cu geometria euclidiană, în așa fel încât a Orice contradicție de sine a unuia ar fi provocat și ruina celuilalt.

Planul euclidian

Același subiect în detaliu: Linie , Rază , Segment , Poligon , Unghi , Demiplan și Poligon .

Pentru o înțelegere completă a geometriei euclidiene este necesar să se definească bazele pe care se sprijină, conceptele primitive :

Punct (o unitate adimensională a planului, imaginabilă intuitiv ca un bob de nisip)
Linie (imaginabilă ca o linie în planul lungimii infinite)
Plan (imaginabil ca o suprafață plană infinită) ^[4]

Alte concepte importante sunt: raza (una dintre cele două părți în care o linie rămâne împărțită la un punct), segmentul (partea de linie dintre două puncte, inclusiv același), jumătatea planului (una dintre cele două părți în care planul rămâne împărțit de o linie dreaptă, definită ca origine sau margine ) și unghiul (una dintre cele două părți ale planului delimitate de două jumătăți de linie având o origine comună). ^[5] În cele din urmă, definesc poligonul ca închis și non-interlaced poligon și circumferința ca setul de puncte P având distanța r (cu r> 0) dintr - un punct O dat (numit centru).

Unghiul include una dintre cele două părți ale planului, raza a (care trece prin B și C), raza b (care trece prin B și A) și vârful B. Există două moduri diferite, dar de aceeași semnificație, pentru a indicați colțurile:

{\widehat {\rm {ABC}}}

{\ displaystyle {\ widehat {\ rm {ABC}}}}

{\ displaystyle {\ widehat {\ rm {ABC}}}}

sau ∠ABC. ^[6]

Cu aceste premise, în special, Euclid își începe propozițiile prin definirea primului criteriu de congruență (propoziția 4), al doilea criteriu de congruență (propoziția 6) și al treilea criteriu de congruență (propoziția 8). ^[7] Fiecare dintre criterii respectă axiomele congruenței:

Proprietate reflexivă : fiecare figură a planului este congruentă cu ea însăși (în simboluri: $A\cong A$ ${\ displaystyle A \ cong A}$ ${\ displaystyle A \ cong A}$ )
Proprietate tranzitivă : dacă o anumită figură A este congruentă cu o altă figură B și figura B este congruentă cu figura C, atunci figura A este congruentă cu figura C (în simboluri: Dacă $A\cong B\land B\cong C\Rightarrow A\cong C$ ${\ displaystyle A \ cong B \ land B \ cong C \ Rightarrow A \ cong C}$ ${\ displaystyle A \ cong B \ land B \ cong C \ Rightarrow A \ cong C}$ )
Proprietate simetrică : dacă o anumită figură A este congruentă cu B, atunci B este congruentă cu A (în simboluri: $A\cong B\Rightarrow B\cong A$ ${\ displaystyle A \ cong B \ Rightarrow B \ cong A}$ ${\ displaystyle A \ cong B \ Rightarrow B \ cong A}$ ) ^[8]

Pe aceste proprietăți, Euclid a reușit să definească bisectoarea unui unghi și construcția acestuia (propoziția 9) și să demonstreze congruența a două unghiuri opuse vârfului, adică unghiuri definite de două linii drepte, care se taie reciproc și care sunt opuse unul altuia (propunerea 15). ^[9]

Definiția theorem

Același subiect în detaliu: teorema și dovada .

O parte foarte importantă a geometriei euclidiene este constituită de teoreme. Fiecare teoremă este alcătuită din trei părți principale: ipotezele (datele de plecare, care nu pot fi contrazise), teza (ceea ce trebuie dovedit) și proba (ansamblul tuturor raționamentelor utilizate pentru a confirma sau a nega teza) .

Notă

^ Eves, Howard,A Survey of Geometry , vol. 1, Allyn și Bacon, 1963, p. 19 .
^ Eves, Howard,A Survey of Geometry , vol. 1, Allyn și Bacon, 1963, p. 10 .
^ Euclid , p. 7 .
^ Sasso , p. 5 .
^ Sasso , pp. 9-10 .
^ Observați poziția lui B, în mijlocul literelor punctelor plasate pe laturi, care corespunde vârfului unghiului; în ceea ce privește figura de mai sus, scrierea ∠CBA ar fi fost încă corectă chiar dacă ar fi indicat jumătatea planului care se extinde spre dreapta (adică unghiul concav).
^ Euclid , pp. 8-14 .
^ Sasso , p. 32 .
^ Euclid , p. 19 .

Bibliografie

Bibliografie primară

( EN ) Euclid, Elements ( PDF ), editat de Richard Fitzpatrick, 2008, ISBN 978-0-6151-7984-1 .

Bibliografie secundară

Leonardo Sasso, Matematica în culori, Geometrie , 2014, ISBN 978-88-494-1883-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikicitată conține citate despre geometria euclidiană
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre geometria euclidiană

linkuri externe

( EN ) Geometrie euclidiană , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 65154 · GND (DE) 4137555-5 · BNF (FR) cb119882914 (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Eves, Howard,A Survey of Geometry , vol. 1, Allyn și Bacon, 1963, p. 19 .

[2] Eves, Howard,A Survey of Geometry , vol. 1, Allyn și Bacon, 1963, p. 10 .

[3] Euclid , p. 7 .

[4] Sasso , p. 5 .

[5] Sasso , pp. 9-10 .

[6] Observați poziția lui B, în mijlocul literelor punctelor plasate pe laturi, care corespunde vârfului unghiului; în ceea ce privește figura de mai sus, scrierea ∠CBA ar fi fost încă corectă chiar dacă ar fi indicat jumătatea planului care se extinde spre dreapta (adică unghiul concav).

[7] Euclid , pp. 8-14 .

[8] Sasso , p. 32 .

[9] Euclid , p. 19 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]