Geometrie proiectivă

Geometria proiectivă este partea geometriei care modelează conceptele intuitive de perspectivă și orizont . Acesta definește și studiază entitățile geometrice obișnuite (puncte, linii, ...) fără a utiliza măsurători sau compara lungimi.

Geometria proiectivă este geometria „văzută de un singur ochi”.

Se poate considera informal ca geometria care apare din plasarea ochiului într-un punct din spațiu , astfel încât orice linie care intersectează „ochiul” apare doar ca punct. Mărimile obiectelor nu sunt direct cuantificabile (deoarece privim lumea cu un singur ochi nu avem informații despre adâncime), iar orizontul este considerat o parte integrantă a spațiului. În consecință, în geometria planului proiectiv două linii se intersectează întotdeauna, deci nu există două linii paralele și distincte care să nu aibă puncte de intersecție.

Istorie

Girard Desargues

Originea geometriei proiective este legată de eforturile unui artist și matematician francez, Girard Desargues ( 1591 - 1661 ), care a căutat o modalitate alternativă de a desena în perspectivă , care a generalizat utilizarea punctelor de fugă și a inclus cazul în care acestea sunt infinit de îndepărtat. Prin urmare, el a încadrat geometria euclidiană într-un sistem geometric mai general. Geometria proiectivă s-a dezvoltat astfel mai larg în prima jumătate a secolului al XIX-lea . Din punct de vedere istoric, această dezvoltare poate fi citită ca un pas intermediar între geometria analitică (introdusă de Descartes în secolul al XVII-lea ) și geometria algebrică (care ocupă un rol crucial în secolul al XX-lea ).

Trecerea de la geometria analitică la cea proiectivă a fost efectuată prin înlocuirea coordonatelor carteziene obișnuite (de exemplu a planului cartezian ) cu coordonate noi, numite coordonate omogene . Prin aceste coordonate, spațiul (de exemplu, planul) a fost îmbogățit cu niște „puncte la infinit”, care geometria proiecțională consideră puncte în toate scopurile, nedistinguibile de punctele „finite” (de unde și caracterul omogen al noului spațiu , în care toate punctele au același rol).

Matematicienii secolului al XIX-lea și -au dat seama că în acest nou context „omogen” multe teoreme erau mai simple și mai elegante: aceasta datorită dispariției multor „cazuri excepționale”, generate de configurații particulare (cum ar fi cea a două linii paralele în plan ), tipic geometriei euclidiene dar absent în proiectiv. În special, studiul curbelor a fost simplificat în contextul proiectiv: prin utilizarea algebrei liniare conicele au fost clasificate, iar matematicienii precum Julius Plücker au început să reprezinte curbele ca puncte ale altor spații proiective, în general mai mari.

Matematicienii care au introdus mai întâi geometria proiectivă, inclusiv Poncelet și Steiner , nu au intenționat inițial să extindă geometria analitică . Tehnicile demonstrative au fost inițial sintetice (adică similare cu cele ale lui Euclid , fără ajutorul algebrei ), iar spațiul proiectiv a fost introdus pe o bază axiomatică (cu axiome similare cu cele ale lui Euclid ). Din acest motiv, o reformulare riguroasă a lucrărilor acestor matematicieni în cheia de astăzi este adesea dificilă: chiar și în cel mai simplu caz al planului proiectiv, abordarea lor axiomatică include și alte modele decât cel definit astăzi (și care nu pot fi studiate prin algebră liniară ) .

Spre sfârșitul secolului, școala italiană (compusă printre altele din Castelnuovo , Enriques și Severi ) a ieșit din tradiție și a ajuns să se confrunte cu noi probleme care necesitau tehnici algebrice din ce în ce mai puternice. Astfel s-a născut geometria algebrică .

Proprietate

„Linia dreaptă până la infinit”

Oricare ar fi fost discuția despre fundațiile sale în secolul al XIX-lea , geometria proiectivă a inclus ca proprietate de bază aceea a incidenței dintre oricare două linii din plan: două linii distincte L și M în planul proiectiv se intersectează întotdeauna exact la un punct P. Contrar geometriei euclidiene sau analitice , nu există linii paralele în geometria proiectivă. Cazul „excepțional” al liniilor paralele este eliminat prin adăugarea „punctelor la infinit”, sau „punctelor necorespunzătoare” în plan. Astfel, două linii paralele au în comun un punct la infinit, care poate fi imaginat ca direcția lor. Aceste noi puncte formează, de asemenea, o linie, numită „linie la infinit” sau „necorespunzătoare”, sau chiar „orizont”. Prin urmare, teoria consideră „linia dreaptă până la infinit” ca orice linie dreaptă, indistinctă de celelalte.

La fel se întâmplă și în dimensiunea superioară: spațiul proiectiv tridimensional se obține prin adăugarea „planului la infinit”, astfel încât două planuri din spațiu nu sunt niciodată paralele, ci se intersectează întotdeauna în linie dreaptă.

Simplificarea teoremelor clasice

Datorită adăugării de puncte la infinit și eliminării fenomenelor de paralelism, multe teoreme clasice își asumă o formă mai simplă și mai esențială în geometria proiectivă.

De exemplu, geometria proiectivă oferă o descriere scurtă și elegantă a secțiunilor conice : hiperbola , parabola și elipsa nu sunt altceva decât „aceeași conică” în planul proiectiv, iar diferențele dintre aceste trei entități depind doar de modul în care acest obiect intersectează linia la infinit: hiperbola o intersectează în două puncte, parabola într-unul singur, elipsa în niciunul.

Teorema lui Pappus și teorema lui Desargues sunt două rezultate privind unele configurații de linii în plan. Fiecare teoremă are o versiune proiectivă și una euclidiană. Versiunea proiectivă este exprimată sintetic cu o singură propoziție, în timp ce euclidianul necesită un tratament diferențiat pentru unele cazuri, în funcție de configurația liniilor: de exemplu, dacă una dintre acestea este „la infinit”, se obține un rezultat, dacă două sunt paralele obții altul etc.

Aplicații

științele naturii

Dintre nematematicienii care au studiat și folosit geometria proiectivă pentru modelarea fenomenelor lumii vii, merită menționat filosoful Rudolf Steiner (care nu trebuie confundat cu matematicianul elvețian Jakob Steiner menționat anterior). Printre savanții care au contribuit la această tendință se numără Louis Locher-Ernst , Hermann von Baravalle (care a studiat potențialul pedagogic al geometriei proiective în liceu și la cursuri pentru viitorii profesori) și Lawrence Edwards .

Bibliografie

• ( FR ) Cremona, L. Éléments de géométrie projective (Paris: Gauthier-Villars, 1875)
• Enriques, F. Lecții de geometrie proiectivă (Bologna: N. Zanichelli, 1898)
• Castelnuovo, G. Lecții de geometrie analitică și proiectivă (Roma: Albrighi, Segati și c., 1904-1905)
• ( EN ) Coxeter, HSM , The Real Projective Plane , ed. 3, Springer Verlag, New York, 1995
• (EN) Coxeter, HSM, Geometrie proiectivă, ediția a II-a, Springer Verlag, New York, 2003
• ( EN ) Veblen, O. și Young, JW, Projective Geometry , 2 vol., Blaisdell Pub. Co., New York, 1938-46

Elemente conexe

• Spațiul proiectiv
• Planul proiectiv
• Transformarea Möbius
• Coordonate omogene
• Teorema Desargues
• Teorema hexagonală a lui Pappus
• Teorema lui Pascal
• Geometrie descriptivă
• Geometria epipolară

Alte proiecte

• Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre geometria proiecțională

linkuri externe

• ( EN )Geometrie proiectivă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
• ( EN ) note inspirate din The Real Projective Plane de la Coxeter. , pe xahlee.org .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică