Geometrie fără puncte

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Sub numele de geometrie fără puncte, în limba engleză geometrie punct liber, cercetările sunt indicate ca tind sa gasit geometria presupunand ca o noțiune primitivă , care a unei regiuni , mai degrabă decât cea a unui punct . Pentru a ajunge la definirea unui punct, se propune o formalizare a procesului de abstractizare care duce de la regiuni la entități geometrice abstracte.

Primele analize în această direcție sunt conținute în două cărți ale lui Alfred North Whitehead (1919, 1920), în care relația de incluziune între regiuni este luată ca primitivă. Mai bine să spunem, ideea de spațiu în sens strict nu este analizată, ci noțiunea de eveniment și extinderea unui eveniment pe celălalt. Pentru o introducere în teoria lui Whitehead, vezi Kneebone (1963), capitolul 13.5 și Lucas (2000), capitolul 10. Ulterior, în Proces și realitate Whitehead a propus o abordare diferită bazată nu mai mult pe incluziune, ci pe relația de legătură dintre regiuni. Scopurile lui Whitehead în astfel de scrieri erau mai degrabă filosofice decât științifice sau matematice. Cu toate acestea, ideile sale au fost ulterior formalizate pentru a găsi o bază riguroasă pentru un tratament matematic al acestui subiect.

Geometrie fără rost bazată pe relația de incluziune

Următoarele axiome sunt cele indicate în lucrarea lui Gerla și Miranda (2008) și implică noțiunea primitivă de incluziune , notată cu „≤”

  • Includerea este o relație de ordine
G1.
G2.
G3.
  • Având în vedere două regiuni, există o regiune care le conține pe ambele
G4.
  • Ordinea este densă
G5.
  • Nu există atomi și nu există o regiune universală
G6.
  • Principiul pieselor proprii.
G7.

Vom numi spațiul de incluziune un model de G1 - G7 . Sisteme de axiome similare au fost propuse în Simons (1987 - 83) [1] .

Definiție : Având în vedere un spațiu de incluziune, o clasă abstractivă este o clasă G complet ordonată de regiuni, astfel încât nici o regiune nu este conținută în toate regiunile din G.

Intuitiv, o clasă abstractivă definește o entitate geometrică a cărei dimensiune este mai mică decât cea a spațiului în care se mișcă. O relație de echivalență adecvată permite identificarea claselor abstractive reprezentând aceeași entitate geometrică.

Geometrie fără rost bazată pe relația de conexiune

În cartea sa din 1929 Proces și realitate , Whitehead a propus o abordare diferită inspirată de De Laguna (1922) în care noțiunea topologică de „contact” între două regiuni este luată ca primitivă. După cum se arată în Gerla și Miranda (2008), acest pasaj este necesar pentru o definiție mai adecvată a entității geometrice. O formalizare a acestei teorii este următoarea (a se vedea, de asemenea, Clarke (1981)), unde cu litera C se indică relația de conexiune binară.

  • C este reflexiv
C1.
  • C este simetric
C2.
  • C este extensional
C3.

Relația de incluziune este definită prin setarea xy dacă și numai dacă ∀z [ CzxCzy ].

  • Fiecare regiune are partea sa și, prin urmare, nu există atomi.
C4.
  • Având în vedere două regiuni, există o regiune care se conectează la ambele
C5.
  • Fiecare regiune are două subregiuni care nu sunt conectate între ele
C6.

Fiecare model al unui astfel de sistem de axiome se numește spațiu de conectare . Spre deosebire de teoria spațiilor de incluziune, această teorie ne permite să definim incluziunea „non-tangențială” [2] .

Notă

  1. ^ Vezi și Stoll, RR, 1963. Teoria și logica seturilor și Dover 1979. P. 423.
  2. ^ și o definiție consecventă a proceselor de abstractizare. Comparați această noțiune cu cea a lui Casati și Varzi (1999)

Bibliografie

  • Biacino L. și Gerla G., 1991, „ Structuri de conexiune, Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47.
  • Casati, R. și Varzi, AC, 1999. Părți și locuri: structurile reprezentării spațiale . Apăsați MIT.
  • Clarke, Bowman, 1981, „ Un calcul al indivizilor bazat pe„ conexiune ”,Notre Dame Journal of Formal Logic 22 : 204-18.
  • ------, 1985, „ Persoane fizice și puncte, Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61-75.
  • De Laguna, T., 1922, „Punct, linie și suprafață ca seturi de solide”, The Journal of Philosophy 19 : 449-61.
  • Gerla, G., 1995, „ Pointless Geometries ” în Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Manual de geometrie a incidenței: clădiri și fundații . Olanda de Nord: 1015-31.
  • -------- și Miranda A., 2008, " Inclusion and Connection in Whitehead's Point-free Geometry " , în Michel Weber și Will Desmond, (eds.), Handbook of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt / Lancaster, ontos verlag, Process Thought X1 & X2.
  • Gruszczynski R. și Pietruszczak A., 2008, „ Dezvoltarea completă a geometriei solidelor a lui Tarski, Buletin de logică simbolică 14: 481-540.
  • Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizabilitatea geometriei fără puncte", Synthese 12 : 228-235.
  • Kneebone, G., 1963. Logica matematică și fundamentul matematicii . Reeditare Dover, 2001.
  • Lucas, JR , 2000. Rădăcini conceptuale ale matematicii . Routledge. Cap. 10, despre „prototopologie”.
  • Roeper, P., 1997, "Topologie bazată pe regiune", Journal of Philosophical Logic 26 : 251-309.
  • Simons, P., 1987. Părți: un studiu în ontologie . Presa Universitatii Oxford.
  • Whitehead, AN , 1916, "La Theorie Relationiste de l'Espace", Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. Tradus ca Hurley, PJ, 1979, „Teoria relațională a spațiului”, Philosophy Research Archives 5 : 712-741.
  • --------, 1919. O anchetă privind principiile cunoașterii naturii . Cambridge University Press. Ediția a II-a, 1925.
  • --------, 1920. Conceptul de natură . Cambridge University Press. 2004 broșată, Prometheus Books. Fiind prelegerile Tarner din 1919 susținute la Trinity College .
  • --------, 1979 (1929). Proces și realitate . Presa libera.