Geometria sferică

Pe o sferă, suma unghiurilor interne ale unui triunghi nu este egală cu 180 °. Sfera nu este un spațiu euclidian, dar la nivel local legile geometriei euclidiene oferă aproximări bune.

Geometria sferică este o geometrie neeuclidiană concepută de matematicianul Bernhard Riemann . Geometria sferică are o interpretare imediată în geometria euclidiană. De fapt, modelul său apare ca „descris” de geometria suprafeței unei sfere . Are aplicații practice în navigație și astronomie .

Geometria sferică apare din negarea postulatului V al lui Euclid sau echivalent din postulatul IV.1 al lui Hilbert . Totuși, pentru ca aceasta să fie o teorie axiomatică coerentă, este necesară și modificarea axiomelor de incidență și ordonare a geometriei euclidiene (în cazul geometriei eliptice doar cea a ordonării) ^[1] . Se caracterizează prin absența liniilor paralele.

Mai jos prezentăm mai întâi corpul axiomatic al geometriei sferice plane și apoi vom analiza un model al acestuia. Pentru o înțelegere mai intuitivă, puteți, dacă doriți, să citiți următorul paragraf înainte de tratamentul axiomatic: Model de geometrie sferică .

Corpul axiomatic

Cu referire la clasificarea axiomatică propusă de Hilbert pentru geometria euclidiană, raportăm mai jos cea referitoare la geometria sferică plană.

Conceptele primitive sunt punctul , perechile de puncte numite puncte antipodale , linia și planul . Există, de asemenea, două relații binare și o relație cuaternară primitivă:

Conține : un punct poate fi conținut într-o linie sau într-un plan, iar o linie poate fi conținută într-un plan;
Separat : perechea de puncte AB separă perechea de puncte CD, în simboluri: S (AB | CD) ( relație cuaternară );
Congruență , indicată cu simbolul „≡”: unghiurile și segmentele pot fi congruente.

Segmentul dintre două puncte A și B este definit ca porțiunea unei linii drepte între punctele A și B (inclusiv A și B ).

I - Axiome ale apartenenței

Setul de puncte al planului este împărțit în perechi de puncte, astfel încât fiecare punct al planului să aparțină unei singure perechi și punctele fiecărei perechi sunt distincte. Pentru două puncte care aparțin perechilor distincte, o singură linie dreaptă trece în timp ce cele două puncte ale aceleiași perechi trec mai multe linii drepte.
Pe fiecare linie există cel puțin trei puncte.
Nu toate punctele aparțin aceleiași linii.

II - Axiome ale ordonării

Dacă S (AB | CD), atunci A, B, C, D sunt patru puncte distincte aparținând aceleiași linii.
Dacă S (AB | CD), atunci: S (BA | CD); S (AB | DC); S (BA | DC); S (CD | AB); S (CD | BA); S (DC | AB); S (DC | BA).
Dacă A, B, C sunt trei puncte pe o linie, atunci există cel puțin un punct D astfel încât S (AB | CD).
Dacă A, B, C, D sunt patru puncte distincte aparținând aceleiași linii, atunci există o pereche de puncte care separă perechea formată de celelalte două; adică cel puțin una dintre următoarele relații este valabilă: S (AB | CD), S (AC | BD), S (AD | BC).
Dacă S (AB | CD) și S (AC | BE), atunci S (AB | DE).
O linie dreaptă care, trecând printr-un vârf, intră într-un triunghi, întâlnește partea opusă.

III - Axiome de congruență

Dacă A, B sunt două puncte ale unei linii și, în plus, A 'este un punct pe aceeași linie sau pe o altă a', putem găsi întotdeauna un punct B ', dintr-o parte dată a liniei a' în raport cu A ' , astfel încât segmentul AB este congruent sau egal cu segmentul A'B '; în simboluri: AB ≡ A'B '.
Dacă un segment A'B 'și un segment A "B" sunt congruente cu același segment AB, A'B' ≡ AB și A "B" ≡ AB, atunci segmentul A'B 'este, de asemenea, congruent segmentului A "B ".
Fie AB și BC două segmente fără puncte comune (aceasta înseamnă că punctele A și C sunt opuse față de B) pe o dreaptă a și A'B 'și B'C' două segmente pe aceeași linie sau pe o altă a ', mereu fără puncte în comun. Atunci dacă este AB ≡ A'B 'și BC ≡ B'C', este și AC ≡ A'C '.
Să dăm un unghi α (h, k) într-un plan α și o dreaptă a 'într-un plan α', precum și o anumită parte a lui 'în α'. Fie h 'să denotăm o rază a liniei drepte a' originară din O '. Există atunci în plan o singură rază k 'astfel încât unghiul α (h, k) să fie congruent, adică egal cu unghiul α (h', k ') și în același timp toate punctele din interior „unghiul α (h”, k ”) care se află pe partea a”.
Dacă pentru două triunghiuri ABC și A'B'C 'congruențele AB ≡ A'B', AC ≡ A'C ', αABC ≡ αA'B'C', atunci congruența este întotdeauna valabilă: αABC ≡ αA'B „C”.

IV - Axioma lui Riemann

Orice două linii drepte dintr-un plan au întotdeauna cel puțin un punct în comun.

V - Axioma continuității (sau a lui Dedekind)

Dacă punctele unui segment AB sunt împărțite în două clase ne-goale astfel încât:
a) toate punctele AB sunt într-o clasă sau alta (și într-o singură);
b) punctele A și B aparțin unor clase diferite (pe care le vom numi respectiv clasele I și II);
c) toate punctele clasei I preced cele ale II;
atunci există în segmentul AB un punct C (care poate aparține atât clasei I, cât și clasei II) astfel încât toate punctele segmentului AB care preced C aparțin clasei I, iar toate cele care urmează C aparțin clasei II . C este numit punctul de separare între cele două clase.

Model de geometrie sferică

După cum sa menționat anterior, un model de geometrie sferică este cel construit pe o sferă așa cum vom specifica mai jos. În geometria plană conceptele de bază sunt punctul și linia dreaptă . Pe o sferă, punctele sunt definite în sensul obișnuit. Liniile sunt definite ca cercuri mari. Prin urmare, în geometria sferică unghiurile sunt definite între cercuri mari, rezultând o trigonometrie în plan sferic care diferă de trigonometria euclidiană în plan (de exemplu, suma unghiurilor interne ale unui triunghi este mai mare decât un unghi plat ). Pe de altă parte, trigonometria sferică în spațiul sferic (dar și în spațiul eliptic), dacă se adoptă convenții adecvate cu privire la măsurarea laturilor și a unghiurilor triunghiurilor sferice, coincide cu trigonometria sferică euclidiană și hiperbolică. Adică, trigonometria sferică aparține corpului geometriei absolute .
Distanța dintre două puncte ale sferei este segmentul minim care le unește, geodezice .

Numărul de triunghiuri formate prin intersecția a trei linii.

Unul din unghiurile identificate prin două linii incidente.

podea	set de puncte pe o suprafață sferică a spațiului euclidian
punct	punct de pe suprafața sferei
Drept	circumferința maximă a suprafeței sferice (circumferința intersecției suprafeței sferice cu un plan care trece prin centrul sferei)
segment	parte a unei linii delimitate de două puncte ale liniei în sine
calitatea de membru	apartenență obișnuită în sens euclidian
puncte antipodale	puncte diametral opuse ale suprafeței sferice
congruență între segmente	congruența între arcele de circumferință maximă în geometria euclidiană (definită de congruența coardelor sau de mișcările sferei)
unghiul dintre două linii	unghi diedru între cele două planuri care taie sfera în conformitate cu cele două linii sau unghi care coincide cu unghiul celor două linii euclidiene tangente la sferă în punctul de intersecție a celor două linii sferice și care se află în planurile identificate de acestea
congruența între unghiuri	congruență între unghiuri în sens euclidian

Pe baza acestei interpretări (model), toate axiomele și proprietățile geometriei sferice se dovedesc a fi propoziții în geometria euclidiană. de fapt, de exemplu, linii drepte infinite trec prin două puncte antipodale.

Liniile drepte sunt cercurile maxime (linii violet, negru, galben). În figură, cercurile trasate în gri nu sunt nici linii drepte, nici segmente, ci curbe.

Cub sferic.

Teoreme

Circumferința
Circumferința este definită ca locusul punctelor echidistante de la un punct dat numit centru. Se arată că un cerc poate fi definit și ca locusul punctelor echidistante de la o dreaptă dată .
Zona unui triunghi
Dat fiind un triunghi sferic construit pe o sferă cu raza R a unghiurilor $\alpha ,\beta ,\gamma$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma}$ $\ alpha, \ beta, \ gamma$ , aria A a triunghiului este:
$A=R^{2}(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ^[2] .
Suma unghiurilor interne ale unui triunghi
Din relația anterioară rezultă imediat că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este întotdeauna mai mare decât $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ și mai puțin de 3 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ :
$\alpha +\beta +\gamma =\pi +A/R^{2}$ ${\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = \ pi + A / R ^ {2}}$ .
Criterii de congruență între triunghiuri
Două triunghiuri sferice care au egal egal sunt egale:

două laturi și unghiul inclus;
două colțuri și latura comună
cele trei laturi;
cele trei colțuri.

teorema lui Pitagora
Dacă ABC este un triunghi sferic drept în A și cu hipotenuză a, și cu b și c lungimile laturilor sale, atunci cosinusul hipotenuzei este egal cu produsul cosinusului picioarelor: $\cos(a/k)=\cos(b/k)\cos(c/k)$ ${\ displaystyle \ cos (a / k) = \ cos (b / k) \ cos (c / k)}$ ${\ displaystyle \ cos (a / k) = \ cos (b / k) \ cos (c / k)}$ ^[3] Efectuând expansiunea seriei de ordinul doi al funcțiilor trigonometrice, obținem expresia universal cunoscută a teoremei pitagoreice în geometria euclidiană: $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}}$ $a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2}$
Zona unui poligon sferic
Aria unui poligon sferic cu n laturi este:
$A=R^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}-(n-2)\pi )$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + ... + \ alpha _ {n} - (n-2) \ pi)}$ ${\ displaystyle A = R ^ {2} (\ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + ... + \ alpha _ {n} - (n-2) \ pi)}$ .
Dovada sa se bazează pe posibilitatea descompunerii unui poligon sferic în triunghiuri.
Formula lui Euler
Având în vedere un poliedru sferic convex cu vârfuri V, margini S și fețe F, urmează următoarele:
V-S + F = 2.
Toate perpendicularele pe o linie dreaptă concurează în două puncte, puncte antipodale.
Două puncte antipodale împart linia în două părți congruente.
Două puncte antipodale împart toate liniile care trec prin ele în două părți congruente.
Toate liniile sunt congruente.
Având în vedere patru puncte distincte A, B, C, D ale aceleiași linii, cel mult se ține una dintre următoarele relații: S (AB | CD), S (AC | BD), S (AD | BC).
Într-un triunghi dreptunghiular, unghiul opus uneia dintre cele două laturi ale unghiului drept este acut, obtuz sau drept, în funcție de faptul dacă această latură este mai mică, mai mare sau congruentă cu cealaltă parte a unghiului drept.

Triunghi sferic

Soiuri sferice

Pe lângă sfera bidimensională, alte spații au o geometrie sferică: aceste spații se numesc varietăți sferice . Geometria sferică este dată formal de o structură riemanniană multiplă cu curbură secțională peste tot egală cu 1.

Modelele de bază ale soiurilor sferice sunt sferele $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ n$ de dimensiuni arbitrare (de exemplu sfera tridimensională $S^{3}$ ${\ displaystyle S ^ {3}}$ $S ^ 3$ ). Toate celelalte varietăți sferice au structura locală a unei sfere, dar pot avea o topologie globală diferită: printre acestea se numără spațiile proiective , obținute prin identificarea punctelor antipodale ale unei sfere, care nu sunt orientabile ca dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ chiar. In marime $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ există și spații lenticulare .

Notă

^ Pentru a afla mai multe despre geneza geometriei sferice, consultați aici
^ $(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ se numește exces unghiular.
^ k este un parametru dimensional care depinde de unitățile de măsură alese pentru a indica măsurătorile laturilor triunghiului.

Bibliografie

Geometrii non-euclidiene și fundamentele geometriei de E. Agazzi, D. Palladino - Edizioni Scientifiche e Tecniche Mondadori.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu geometrie sferică

linkuri externe

(ro) Geometria pe sferă
Geometrie pe sferă , pe users.libero.it .
Geometrii neeuclidiene , pe projectomatematica.dm.unibo.it .

Controlul autorității	GND (DE) 4182228-6 · NDL (EN, JA) 01.21246 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pentru a afla mai multe despre geneza geometriei sferice, consultați aici

[2] $(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ ${\ displaystyle (\ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi)}$ se numește exces unghiular.

[3] ste un parametru dimensional care depinde de unitățile de măsură alese pentru a indica măsurătorile laturilor triunghiului.

[1]

[2]

[3]