Geometrie neeuclidiană

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Două linii drepte având o perpendiculară comună în cele trei geometrii. În geometria hiperbolică liniile pot să divergă și, prin urmare, este posibil să găsim multe linii paralele (adică care nu se intersectează). În geometria eliptică liniile converg întotdeauna și, prin urmare, nu există linii paralele.

O geometrie neeuclidiană este o geometrie construită prin negarea sau neacceptarea unor postulate euclidiene . Se mai numește metageometrie [1] .

Descriere

Al cincilea postulat sau „paralele” ale lui Euclid este cel care a stârnit cel mai mare interes de-a lungul secolelor. Caracteristica care distinge postulatele și axiomele geometriei lui Euclid, conform ideilor vremii, este că sunt afirmații al căror adevăr este garantat de dovezi (opera lui Euclid a fost reorganizată în sens modern de David Hilbert , care a dezbrăcat-o, pentru că exemplu, a caracterului observațional din care a început justificarea în utilizarea postulatelor și axiomelor euclidiene). Potrivit lui Euclid, dovezile sunt o caracteristică a primelor patru postulate ale Elementelor : este de fapt suficient să folosești o riglă și o busolă; în plus, ele rămân valabile dacă ne limităm la o porțiune finită a planului.

Totuși, din punct de vedere euclidian, postulatul paralelelor nu este „evident adevărat”, de fapt nu se referă la nicio construcție geometrică care poate fi întotdeauna limitată la o porțiune finită a planului. Se pare că Euclid însuși nu a fost convins de dovezile [2] postulatului și acest lucru este demonstrat de utilizarea limitată pe care a făcut-o în dovezile teoremelor geometriei sale . În cei peste două mii de ani care au urmat difuzării Elementelor lui Euclid , au existat multe încercări de a demonstra cel de-al cincilea postulat sau de a-l reformula sau chiar de a-l înlocui cu alți echivalenți. Cu toate acestea, aceste încercări au eșuat, deoarece raționamentul a condus întotdeauna la utilizarea celui de-al cincilea postulat.

În primele decenii ale secolului al XIX-lea, eșecul tuturor încercărilor făcute i-a convins pe matematicieni de imposibilitatea dovedirii celui de-al cincilea postulat. Din acest moment începe să iasă la iveală ideea de a construi alte geometrii care nu fac parte din postulatul al cincilea. Astfel s-au născut primele geometrii neeuclidiene (de exemplu geometria eliptică sau geometria hiperbolică ) și modelele lor, inițial pentru a-și demonstra inconsecvența și apoi, în mod absurd , al cincilea postulat [3] .

Aristotel (384-322 î.Hr.), chiar înainte de Euclid (365-300 î.Hr.), schițase existența altor geometrii decât cele care în secolul al XIX-lea vor fi numite „euclidiene”, luând în considerare și dezvoltând considerații ale geometrilor contemporani. Plecând de la ipoteza că suma unghiurilor interne ale unui triunghi ar putea fi diferită de două unghiuri drepte, el a concluzionat că în acest caz ar trebui să se schimbe și suma unghiurilor interne ale unui pătrat, care în cazul euclidian este de patru unghiuri drepte. Aceste observații sunt conținute în lucrările de etică și privesc coerența dezvoltării unui sistem logic referit la ipoteza de bază (vezi Imre Toth care și-a descoperit existența începând din 1967 în diferite pasaje ale „Corpus Aristotelicum”) [4] .

Istoria geometriilor neeuclidiene

Postulatele lui Euclid

Euclid, în Elements, a folosit postulate din care putem vedea de ce al cincilea timp de mai bine de două mii de ani a fost un subiect dezbătut: postulatele sunt:

  1. între oricare două puncte este posibil să se traseze o singură linie dreaptă ;
  2. puteți extinde un segment dincolo de colon la nesfârșit;
  3. având în vedere un punct și o lungime, este posibil să se descrie un cerc ;
  4. toate unghiurile drepte sunt congruente între ele;
  5. dacă o linie dreaptă care taie două linii drepte determină pe aceeași parte unghiuri interne mai mici decât două unghiuri drepte, prin extinderea celor două linii drepte, acestea se vor întâlni pe latura în care cele două unghiuri sunt mai mici decât două unghiuri drepte.

Observați imediat o diferență între primele patru, care par imediat evidente, și a cincea, care nu numai că nu pare imediat adevărată, dar are și o formulare mult mai complicată decât celelalte. Matematicianul însuși pare a fi incomod, atât de mult încât demonstrează primele 28 de propuneri ale primei cărți a Elementelor fără să le folosească.

Fiind mai puțin generică, totuși, forma modernă a postulatului este cu siguranță mai familiară:

Pentru un punct extern unei linii drepte date, una și una singură trece paralel cu linia dreaptă dată.

Încercări de a demonstra cel de-al cincilea postulat

De-a lungul secolelor, încercările de a demonstra postulatul sunt numeroase: Proclus în Comentariul său asupra primei cărți a elementelor de către Euclid se referă la „demonstrațiile” lui Posidonius și Ptolemeu , propunându-le apoi pe ale sale. Alte încercări au fost făcute de matematicieni arabi , inclusiv Nasir al-Din al-Tusi, care raportează cel de-al cincilea postulat la suma unghiurilor interioare ale unui triunghi și ʿUmar Khayyām care, în comentariile sale asupra postulatelor dificile ale cărții lui Euclid, a demonstrat accidental proprietățile figurilor în geometrii neeuclidiene. [5] În fiecare dintre aceste încercări de probă și în cele următoare, o axiomă echivalentă cu cea a paralelelor este implicit dată ca fiind adevărată, făcând dovada inutilă. Chiar și modificarea definiției liniilor paralele nu duce la nimic: Euclid le definește ca „ două linii care nu se întâlnesc niciodată ”. Pentru Posidonius, conform lui Proclus, acestea sunt „ două linii drepte echidistante, adică în care punctele celei de-a doua sunt toate la aceeași distanță de cele corespunzătoare din prima ”. Această ultimă afirmație nu dovedește nimic: locusul punctelor echidistante de o linie dreaptă nu este neapărat o linie dreaptă. Acceptarea acestuia în principiu este echivalentă cu luarea celui de-al cincilea postulat ca valid și ne regăsim din nou.

Dovadă prin absurditate

Coperta lui Euclides ab omni naevo vindicatus , Giovanni Girolamo Saccheri 1733

Frustrați de eșecurile obținute prin căutarea unei demonstrații directe a postulatului, savanții încearcă să ia primele patru postulate drept valide și să creeze geometrii alternative, sperând să ajungă la o contradicție. Acesta din urmă ar fi arătat că al cincilea postulat trebuie să fie neapărat adevărat. Unul dintre exponenții majori ai acestei școli a fost Giovanni Girolamo Saccheri , care în 1733, crezând că a reușit, a publicat Euclides ab omni naevo vindicatus . Chiar dacă este defectă și a trecut în tăcere, dovada absurdității a lui Saccheri a indicat calea către crearea geometriilor neeuclidiene, în speranța de a le conduce la o contradicție. Această lucrare în care mulți oameni de știință au întreprins între secolele XVIII și XIX.

Puțini au fost însă matematicieni proeminenți: Gauss , care nu a publicat niciodată nimic despre acest subiect, de teama strigătelor beoților , Lagrange și Legendre, sunt excepții strălucitoare. De fapt, Roberto Bonola , în volumul său La geometria non euclidea, publicat de Zanichelli în 1906 , s-a trezit nevoit să insereze în capitolele istorice mulți „amatori” printre fondatorii geometriei neeuclidiene: János Bolyai era soldat, Ferdinando Schweikart a fost avocat și așa mai departe. Mai mult, Bolyai era fiul unui prieten al lui Gauss, Farkas: după ce a primit lucrarea lui Janos în ianuarie 1832 , Gauss i-a scris lui Farkas spunând:

„Dacă încep prin a spune că nu pot lăuda această lucrare, vei fi uimit pentru o clipă. Dar nu pot face altfel, lăudându-l, de fapt m-aș lăuda pe mine; tot conținutul lucrării pregătite de fiul tău coincide aproape în întregime cu ceea ce mi-a ocupat meditațiile de treizeci și cinci de ani încoace [...] Prin urmare, cu o surpriză plăcută, am fost scutit de acest efort [de publicare] și sunt bucuros că fiul unui vechi prieten m-a precedat într-un mod atât de remarcabil ".

Este important de remarcat faptul că rezultatele geometriei „astrale”, așa cum Gauss a numit geometria hiperbolică, au fost în contrast puternic cu filosofia kantiană, în sensul că a asumat geometria euclidiană ca judecată sintetică a priori .

Bernhard Riemann

Deși păstrase pentru el cele mai „revoluționare” rezultate, eseul Disquisitiones generales circa superficies curvas publicat de Gauss în 1828 a marcat un punct de cotitură în investigarea geometriilor alternative. Se acordă atenție proprietăților intrinseci ale suprafețelor, indiferent de spațiul în care sunt scufundate: această metodă de investigație este extinsă de Bernhard Riemann în lucrarea sa din 1854 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen ("Cu privire la ipoteza pe care geometrie este fondat ") care a fost publicat postum în 1867 .

Riemann pune bazele unei geometrii total noi, numită geometrie riemanniană , în care nici problema paralelelor nu apare, înlocuind conceptul de linie dreaptă cu cea metrică a unei curbe geodezice , adică calea cu cea mai mică distanță între două puncte. Este astfel posibil să se construiască geometrii cu curbură constantă sau care variază în orice punct, în orice număr de dimensiuni, fiecare corespunzând unei suprafețe, numită varietate Riemanniană n-dimensională. Din acest punct de vedere, geometria euclidiană este geometria naturală a planului.

Riemann a contribuit la studiul geometriei, precum și la generalizarea conceptului de metrică euclidiană, dezvoltând, de asemenea, un nou tip de geometrie plecând de la negarea celui de-al cincilea postulat al lui Euclid , înlocuindu-l cu ceea ce este acum denumit axioma Riemann :

Orice două linii drepte dintr-un plan au întotdeauna cel puțin un punct în comun.

Din această axiomă rezultă imediat că nu există linii paralele și că toate teoremele dovedite prin utilizarea celui de-al cincilea postulat al lui Euclid cad. Cu toate acestea, în geometria plană, fără a utiliza axioma paralelelor, se arată că cel puțin o paralelă cu o dreaptă dată trece printr-un punct (Propoziția 31 a elementelor lui Euclid). Pe de altă parte, rezultă din axioma Riemann că nu există linii paralele. Acest lucru arată că, dacă postul 5 al lui Euclid este refuzat, atunci alte axiome ale corpului teoretic pot fi, de asemenea, necesare modificării pentru a face teoria coerentă.

Propoziția 31, în lucrarea lui Euclid, este dovedită prin utilizarea propozițiilor 23 [6] și 27 [7], iar aceasta din urmă este dovedită prin propoziția 16 [8] . Pentru ca axioma Riemann să producă o teorie axiomatică consecventă, trebuie să vă asigurați că nu poate fi demonstrată mai mult propoziția 31. După cum sa spus, trebuie să editați postulatele lui Euclid, sau echivalent axiomele lui Hilbert , pentru a face propoziția 16 care nu poate fi demonstrată. la o modificare a axiomei de incidență și / sau axiomei de ordonare, generând două geometrii diferite echivalente la nivel local: geometrie sferică și geometrie eliptică . Această nomenclatură este atribuită lui Klein .

Eugenio Beltrami

Pornind de la rezultatele Riemann, Eugenio Beltrami demonstrează consistența noii geometrii și construiește un model de hârtie al unei suprafețe cu curbură negativă constantă, pseudosfera hiperbolică. Pentru a înțelege marginalitatea subiectului la acea vreme, este suficient să ne amintim că un ziar al vremii a definit modelul de hârtie drept Cuffia della Nonna , un nume care apare încă în descrierea modelului de la Universitatea din Pavia , unde este păstrat, adică șapca Beltrami . În acest sens, Beltrami i-a scris lui Houel pe 19 decembrie 1869 :

„Mi se pare că această doctrină nu și-a găsit în general„ înțelegerea ”completă într-o asemenea măsură încât nimeni nu a observat încă acest fapt de importanță capitală, și anume că este complet independentă de postulatul lui Euclid”.

În Eseul său de interpretare a geometriei non-euclidiene din 1867 , Beltrami a construit primul model de geometrie hiperbolică . O remarcă deosebită este că Beltrami a scris eseul fără a fi conștient de rezultatele Riemann, ceea ce l-a determinat să-l lase deoparte pentru a citi mai sus Habilitationsvortrag-ul lui Riemann înainte de a-l publica.

Henri Poincaré

O teselare a discului Poincaré folosind poligoane hiperbolice . Acestea apar din ce în ce mai mici pe măsură ce vă apropiați de margine, deși sunt (în geometrie hiperbolică) întotdeauna de aceeași dimensiune.

Modelul lui Beltrami a avut defectul de a fi valabil doar local, așa cum a demonstrat David Hilbert în 1901 și, prin urmare, după moartea lui Beltrami. Un model global valid de geometrie hiperbolică a fost introdus de Henri Poincaré . Spațiul este un disc, ale cărui linii sunt arcuri de circumferință sau segmente de linie perpendiculare pe marginea discului: modelul se numește disc Poincaré . Unghiurile formate între două linii drepte sunt cele obișnuite, dar distanța dintre două puncte este definită într-un mod complet diferit de cel euclidian: aceasta tinde spre infinit atunci când unul dintre cele două puncte este deplasat spre marginea discului. Prin urmare, punctele de la frontieră sunt „puncte către infinit”.

În discul Poincaré, un obiect devine din ce în ce mai mic atunci când este deplasat spre marginea discului. Acest model a inspirat diverși artiști, inclusiv Maurits Cornelis Escher .

Notă

  1. ^ Abbagnano , p. 580 .
  2. ^ Se pare, de fapt, că Euclid a încercat întotdeauna să poată dovedi cel de-al cincilea postulat derivat din celelalte. Însăși formularea sa este foarte asemănătoare cu cea tipică unei teoreme: dacă .... atunci ..., vezi: postulatul V al lui Euclid .
  3. ^ Există o diferență între corpul teoretic al unei geometrii, bazat pe o serie de axiome din care sunt dovedite diverse propoziții și teoreme și modelul acesteia. De exemplu, pot exista mai multe modele pentru aceeași geometrie, dar nu invers. Vezi, de exemplu, cazul geometriei hiperbolice .
  4. ^ Giovanni Reale, History of Greek and Roman Philosophy , Vol. IV, Aristotel and the First Peripate , pp. 151-157, Edizioni Bompiani 2004. Vezi și: Imre Toth, Aristotel și fundamentele axiomatice ale geometriei , Edizioni Vita e Pensiero 1998.
  5. ^ JJ O'Connor, EF Robertson, Omar Khayyam , la www-groups.dcs.st-and.ac.uk , MacTutor History of Mathematics, iulie 1999. Accesat 4.4.2008 .
  6. ^ Propoziția 23 - Construiește un unghi egal cu un unghi dat.
  7. ^ Propoziția 27 - Dacă oricare două linii tăiate printr-o formă transversală sunt egale cu unghiuri interne alternante cu cele din urmă, cele două linii sunt paralele.
  8. ^ Propoziția 16 - În orice triunghi, un unghi extern este mai mare decât fiecare dintre unghiurile interne care nu sunt adiacente acestuia.

Bibliografie

  • Nicola Abbagnano , Dicționar de filosofie , ed. A II-a, Torino, UTET, 1996 [1961] , ISBN 88-02-01494-9 .
  • Roberto Bonola, Geometrie non-euclidiană. Expunere istorico-critică a dezvoltării sale. , pe resolver.library.cornell.edu , N. Zanichelli, Bologna, 1906. Adus 03.04.2008 .
  • Federigo Enriques , Conferences on non- euclidean geometry , on name.umdl.umich.edu , N. Zanichelli, 1918. Adus 03.04.2008 .
  • Nikolaj Ivanovič Lobačevskij , Pangeometry, Traducător și editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
  • ( FR ) P. Barbarin, La géométrie non euclidienne [ link rupt ] , pe gallica.bnf.fr , Gauthier-Villars, 1928. Adus 03.04.2008 .
  • Harold Coxeter (1957) Geometrie non-euclidiană , University of Toronto Press (Reprint Cambridge University Press, 1998)
  • Evandro Agazzi, Dario Palladino (1978): Geometrii non-euclidiene și fundamentele geometriei , Ediții științifice și tehnice Mondadori.
  • Lorenzo Magnani (1978): Geometrii non-euclidiene , Zanichelli, Bologna.
  • John Milnor (1982): Geometrie hiperbolică: primii 150 de ani , Bull. Amer. Matematica. Soc. (NS) Volumul 6, Numărul 1, pp. 9–24.
  • ( EN ) Richard Trudeau (1991): The non-euclidean revolution , Bollati Boringhieri , ISBN 88-339-0616-7 (orig. 1987, The non-euclidean revolution , Birkhäuser)
  • Jeremy Gray (1989): Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic , ediția a II-a, Clarendon Press, ISBN 0-19-853935-5
  • Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer (1995): Introducere în geometria hiperbolică , Springer, ISBN 0-387-94339-0
  • Imre Toth , Aristotel și fundamentele axiomatice ale geometriei. , pe books.google.it , Life and Thought Editions, 1998 Introducere de Giovanni Reale (Google Books). Adus 31/03/2009 .
  • Bernard H. Lavenda , (2012) "O nouă perspectivă asupra relativității: o odisee în geometriile non-euclidiene", World Scientific, pp. 696, ISBN 9789814340489 .
  • Robin Hartshorne (2000): Geometrie: Euclid and Beyond , Springer, ISBN 0-387-98650-2
  • Ian Stewart (2001): Flatterland , Editura Perseus, ISBN 0-7382-0675-X
  • Renato Betti (2005): Lobachevsky. Invenția geometriilor neeuclidiene , Bruno Mondadori
  • Marvin Jay Greenberg (2007): Geometrii euclidiene și non-euclidiene: dezvoltare și istorie , ediția a IV-a, WH Freeman, ISBN 0-7167-9948-0
  • James W. Anderson (2006): Geometrie hiperbolică , Springer, ediția a doua, ISBN 1852339349 (ediția a 1-a 1999)
  • Dario Palladino, Claudia Palladino (2008): Geometrii non-euclidiene , Carocci, Roma
  • Silva Oliva, János Bolyai. O privire psihanalitică asupra geniului și nebuniei matematice , Mimesis, 2018
  • Cesare Musatti, Geometriile non-euclidiene și problema cunoașterii , editat de Aurelio Molaro, Mimesis, Milano-Udine, 2019

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tesauro BNCF 33767 · LCCN (EN) sh85054155 · GND (DE) 4042073-5 · BNF (FR) cb119798569 (data) · NDL (EN, JA) 00.563.144
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică