Ierarhia BBGKY

În fizica statistică , ierarhia BBGKY (ierarhia Bogoljubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon, uneori numită ierarhie Bogoljubov) este un set de ecuații care descriu dinamica unui sistem compus dintr-un număr mare de particule care interacționează. Ecuația pentru determinarea funcției de distribuție a particulelor s (funcția densității probabilității) în ierarhia BBGKY include funcția de distribuție a particulelor ( s +1), formând astfel un lanț de ecuații cuplate. Acest rezultat teoretic formal poartă numele lui Nikolai Bogolyubov , Max Born , Herbert S. Green , John Gamble Kirkwood și Jacques Yvon .

Formulare

Evoluția unui sistem de N particule, în absența fluctuațiilor cuantice , este dată de ecuația Liouville pentru funcția densității probabilității $f_{N}=f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)$ ${\ displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}$ ${\ displaystyle f_ {N} = f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}, t)}$ în 6 N- spațiu de fază dimensional (3 coordonate spațiale și 3 coordonate de impuls pentru fiecare particulă)

{\frac {\partial f_{N}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}{\frac {\partial f_{N}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=0,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} } {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} } {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ mathbf {F} _ {i} {\ frac {\ partial f_ {N}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = 0,}

unde este $\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {p} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {p} _ {i}}$ sunt coordonatele și timpul pentru $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a particula cu masa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , și forța netă care acționează asupra $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a particula este

\mathbf {F} _{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-{\frac {\partial \Phi _{i}^{\text{ext}}}{\partial \mathbf {q} _{i}}},

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} = - \ sum _ {j = 1 \ neq i} ^ {N} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} ^ {\ text {ext}}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}},}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} = - \ sum _ {j = 1 \ neq i} ^ {N} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} ^ {\ text {ext}}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}},}

unde este $\Phi _{ij}(\mathbf {q} _{i},\mathbf {q} _{j})$ ${\ displaystyle \ Phi _ {ij} (\ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {q} _ {j})}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {ij} (\ mathbf {q} _ {i}, \ mathbf {q} _ {j})}$ este potențialul de interacțiune a cuplului dintre particule e $\Phi ^{\text{ext}}(\mathbf {q} _{i})$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {\ text {ext}} (\ mathbf {q} _ {i})}$ ${\ displaystyle \ Phi ^ {\ text {ext}} (\ mathbf {q} _ {i})}$ este potențialul asociat cu un câmp extern. Prin integrarea pe o parte a variabilelor, ecuația Liouville poate fi transformată într-un lanț de ecuații, în care prima ecuație conectează evoluția funcției densității probabilității unei particule cu funcția densității probabilității cu două particule, a doua ecuație conectează funcția de densitate a probabilității cu două particule cu funcția de densitate a probabilității a trei particule și, în general, ecuația s-lea conectează funcția de densitate a probabilității la s particule

f_{s}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{s},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{s},t)=\int f_{N}(\mathbf {q} _{1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{1}\dots \mathbf {p} _{N},t)\,d\mathbf {q} _{s+1}\dots d\mathbf {q} _{N}\,d\mathbf {p} _{s+1}\dots d\mathbf {p} _{N}

{\ displaystyle f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {s}, t) = \ int f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N }, t) \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} \ dots d \ mathbf {q} _ {N} \, d \ mathbf {p} _ {s + 1} \ dots d \ mathbf { p} _ {N}}

{\ displaystyle f_ {s} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {s}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {s}, t) = \ int f_ {N} (\ mathbf {q} _ {1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {1} \ dots \ mathbf {p} _ {N }, t) \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} \ dots d \ mathbf {q} _ {N} \, d \ mathbf {p} _ {s + 1} \ dots d \ mathbf { p} _ {N}}

cu funcția de densitate de probabilitate a ( s +1) particule:

{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{s}{\frac {\mathbf {p} _{i}}{m}}{\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}-\sum _{i=1}^{s}\left(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\frac {\partial \Phi _{ij}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}+{\frac {\partial \Phi _{i}^{ext}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}\right){\frac {\partial f_{s}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {\frac {\partial \Phi _{i\,s+1}}{\partial \mathbf {q} _{i}}}{\frac {\partial f_{s+1}}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\,d\mathbf {q} _{s+1}\,d\mathbf {p} _{s+1}.

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {s} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} } {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ left (\ sum _ {j = 1 \ neq i} ^ {s} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} ^ {ext }} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \ right) {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = (Ns) \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ int {\ frac {\ partial \ Phi _ {i \, s + 1}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} {\ frac {\ partial f_ {s + 1}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} \, d \ mathbf {p} _ {s + 1}. }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial t}} + \ sum _ {i = 1} ^ {s} {\ frac {\ mathbf {p} _ {i}} {m} } {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ left (\ sum _ {j = 1 \ neq i} ^ {s} {\ frac {\ partial \ Phi _ {ij}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} + {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} ^ {ext }} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} \ right) {\ frac {\ partial f_ {s}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} = (Ns) \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ int {\ frac {\ partial \ Phi _ {i \, s + 1}} {\ partial \ mathbf {q} _ {i}}} {\ frac {\ partial f_ {s + 1}} {\ partial \ mathbf {p} _ {i}}} \, d \ mathbf {q} _ {s + 1} \, d \ mathbf {p} _ {s + 1}. }

Ecuația anterioară pentru funcția de distribuție a particulelor s- se obține prin integrarea ecuației Liouville asupra variabilelor $\mathbf {q} _{s+1}\dots \mathbf {q} _{N},\mathbf {p} _{s+1}\dots \mathbf {p} _{N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {s + 1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {s + 1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {s + 1} \ dots \ mathbf {q} _ {N}, \ mathbf {p} _ {s + 1} \ dots \ mathbf {p} _ {N}}$ . Problema cu ecuația de mai sus este că nu este închisă. Rezolva $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ , necesită cunoaștere $f_{s+1}$ ${\ displaystyle f_ {s + 1}}$ ${\ displaystyle f_ {s + 1}}$ , care la rândul tău necesită rezolvarea $f_{s+2}$ ${\ displaystyle f_ {s + 2}}$ ${\ displaystyle f_ {s + 2}}$ și până la ecuația Liouville completă. Cu toate acestea, vă puteți gândi să rezolvați $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ , dacă puteți construi un model pentru $f_{s+1}$ ${\ displaystyle f_ {s + 1}}$ ${\ displaystyle f_ {s + 1}}$ . Un astfel de caz este ecuația Boltzmann pentru $f_{1}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1},t)$ ${\ displaystyle f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {p} _ {1}, t)}$ , unde este $f_{2}(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\mathbf {p} _{1},\mathbf {p} _{2},t)$ ${\ displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2}, t) }$ ${\ displaystyle f_ {2} (\ mathbf {q} _ {1}, \ mathbf {q} _ {2}, \ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p} _ {2}, t) }$ este construit pe baza ipotezei haosului molecular ( Stosszahlansatz ). Într-adevăr, în ecuația Boltzmann $f_{2}=f_{2}(\mathbf {p} _{1},\mathbf {p_{2}} ,t)$ ${\ displaystyle f_ {2} = f_ {2} (\ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p_ {2}}, t)}$ ${\ displaystyle f_ {2} = f_ {2} (\ mathbf {p} _ {1}, \ mathbf {p_ {2}}, t)}$ este integrala de coliziune. Acest proces limitativ pentru obținerea ecuației Boltzmann din ecuația Liouville este cunoscut sub numele de limita Boltzmann-Grad. ^[1]

Interpretare fizică și aplicații

Schematic, ecuația Liouville ne oferă evoluția timpului pentru întregul sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ particule sub formă $Df_{N}=0$ ${\ displaystyle Df_ {N} = 0}$ ${\ displaystyle Df_ {N} = 0}$ , care exprimă un flux incompresibil al densității probabilității în spațiul de fază. Apoi definim funcțiile de distribuție reduse în mod incremental prin integrarea gradelor de libertate ale unei alte particule ${\textstyle f_{s}\sim \int f_{s+1}}$ ${\ textstyle f_ {s} \ sim \ int f_ {s + 1}}$ ${\ textstyle f_ {s} \ sim \ int f_ {s + 1}}$ . O ecuație din ierarhia BBGKY ne spune că evoluția timpului pentru un anumit $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ în consecință este dat de o ecuație similară cu cea a lui Liouville, dar cu un termen de corecție reprezentând influența lui $N-s$ ${\ displaystyle Ns}$ ${\ displaystyle N-s}$ particule suprimate.

Df_{s}\propto {\text{div}}_{\mathbf {p} }\langle {\text{grad}}_{\mathbf {q} }\Phi _{i,s+1}\rangle _{f_{s+1}}.

{\ displaystyle Df_ {s} \ propto {\ text {div}} _ {\ mathbf {p}} \ langle {\ text {grad}} _ {\ mathbf {q}} \ Phi _ {i, s + 1 } \ rangle _ {f_ {s + 1}}.}

{\ displaystyle Df_ {s} \ propto {\ text {div}} _ {\ mathbf {p}} \ langle {\ text {grad}} _ {\ mathbf {q}} \ Phi _ {i, s + 1 } \ rangle _ {f_ {s + 1}}.}

Problema rezolvării ierarhiei BBGKY a ecuațiilor este la fel de dificilă ca rezolvarea ecuației Liouville originale, dar este posibil să se facă cu ușurință aproximări pentru ierarhia BBGKY (care permite trunchierea lanțului într-un sistem finit de ecuații). Meritul acestor ecuații este că funcțiile de distribuție de ordin superior $f_{s+2},f_{s+3},\dots$ ${\ displaystyle f_ {s + 2}, f_ {s + 3}, \ dots}$ ${\ displaystyle f_ {s + 2}, f_ {s + 3}, \ dots}$ influențează evoluția temporală a $f_{s}$ ${\ displaystyle f_ {s}}$ $f_s$ numai implicit, prin $f_{s+1}.$ ${\ displaystyle f_ {s + 1}.}$ ${\ displaystyle f_ {s + 1}.}$ Trunchierea lanțului BBGKY este un punct de plecare comun pentru multe aplicații ale teoriei cinetice și poate fi utilizată pentru derivarea ecuațiilor cinetice clasice ^[2] ^[3] sau cuantice ^[4] . În special, trunchierea la prima ecuație sau la primele două ecuații poate fi utilizată pentru a obține ecuații Boltzmann clasice și cuantice și corecții de prim ordin la ecuațiile Boltzmann. Alte aproximări, cum ar fi ipoteza că funcția de probabilitate a densității depinde doar de distanța relativă dintre particule sau de asumarea regimului hidrodinamic, pot face accesibilă și soluția lanțului BBGKY. ^[5]

Bibliografie

Funcțiile de distribuție a particulelor s au fost introduse în mecanica statistică clasică de J. Yvon în 1935. ^[6] Ierarhia BBGKY a ecuațiilor pentru funcțiile de distribuție a particulelor s a fost scrisă și aplicată la derivarea ecuațiilor cinetice, de Bogolyubov în articol primit în iulie 1945 și publicat în 1946 în rusă ^[2] și engleză. ^[3] Teoria cinetică a transportului a fost luată în considerare de Kirkwood în articolul ^[7] primit în octombrie 1945 și publicat în martie 1946 și în articolele ulterioare. ^[8] Prima lucrare a lui Born și Green a considerat o teorie cinetică generală a lichidelor și a fost primită în februarie 1946 și publicată la 31 decembrie 1946. ^[9]

Notă

^ Harold Grad (1949). Despre teoria cinetică a gazelor rarefiate. Comunicări despre matematică pură și aplicată, 2 (4), 331–407.
^ ^a ^b ( RU ) NN Bogoliubov , Ecuații cinetice , în Journal of Experimental and Theoretical Physics , vol. 16, n. 8, 1946, pp. 691-702.
^ ^a ^b NN Bogoliubov , Ecuatii cinetice , in Journal of Physics URSS , vol. 10, nr. 3, 1946, pp. 265-274.
^ ( RU ) NN Bogoliubov și Kirill Gurov , Ecuații cinetice în mecanica cuantică , în Journal of Experimental and Theoretical Physics , vol. 17, n. 7, 1947, pp. 614-628.
^ Harris, S. (2004). O introducere în teoria ecuației Boltzmann. Courier Corporation.
^ ( FR ) Jacques Yvon , La théorie statistique des fluides et l'équation d'état , în Actual. Știință și industrie. , Nu. 203, Hermann, 1935.
^ John Gamble Kirkwood , Teoria mecanică statistică a proceselor de transport I. Teoria generală , în Journal of Chemical Physics , vol. 14, n. 3, martie 1946, pp. 180–201, Bibcode : 1946JChPh..14..180K , DOI : 10.1063 / 1.1724117 .
^ John Gamble Kirkwood , Teoria mecanică statistică a proceselor de transport II. Transport in Gases , în Journal of Chemical Physics , vol. 15, nr. 1, ianuarie 1947, pp. 72–76, Bibcode : 1947JChPh..15 ... 72K , DOI : 10.1063 / 1.1746292 .
^ Max Born și Herbert S. Green , A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions , în Proc. Roy. Soc. A , vol. 188, nr. 1012, 31 decembrie 1946, pp. 10-18, Bibcode : 1946RSPSA.188 ... 10B , DOI : 10.1098 / rspa.1946.0093 , PMID 20282515 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Harold Grad (1949). Despre teoria cinetică a gazelor rarefiate. Comunicări despre matematică pură și aplicată, 2 (4), 331–407.

[a-2] ( RU ) NN Bogoliubov , Ecuații cinetice , în Journal of Experimental and Theoretical Physics , vol. 16, n. 8, 1946, pp. 691-702.

[b-3] NN Bogoliubov , Ecuatii cinetice , in Journal of Physics URSS , vol. 10, nr. 3, 1946, pp. 265-274.

[4] ( RU ) NN Bogoliubov și Kirill Gurov , Ecuații cinetice în mecanica cuantică , în Journal of Experimental and Theoretical Physics , vol. 17, n. 7, 1947, pp. 614-628.

[5] Harris, S. (2004). O introducere în teoria ecuației Boltzmann. Courier Corporation.

[6] ( FR ) Jacques Yvon , La théorie statistique des fluides et l'équation d'état , în Actual. Știință și industrie. , Nu. 203, Hermann, 1935.

[7] John Gamble Kirkwood , Teoria mecanică statistică a proceselor de transport I. Teoria generală , în Journal of Chemical Physics , vol. 14, n. 3, martie 1946, pp. 180–201, Bibcode : 1946JChPh..14..180K , DOI : 10.1063 / 1.1724117 .

[8] John Gamble Kirkwood , Teoria mecanică statistică a proceselor de transport II. Transport in Gases , în Journal of Chemical Physics , vol. 15, nr. 1, ianuarie 1947, pp. 72–76, Bibcode : 1947JChPh..15 ... 72K , DOI : 10.1063 / 1.1746292 .

[9] Max Born și Herbert S. Green , A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions , în Proc. Roy. Soc. A , vol. 188, nr. 1012, 31 decembrie 1946, pp. 10-18, Bibcode : 1946RSPSA.188 ... 10B , DOI : 10.1098 / rspa.1946.0093 , PMID 20282515 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]