Gradul topologic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , și mai exact în topologie , gradul topologic este o cantitate introdusă de Luitzen Brouwer în jurul anului 1910 care măsoară „numărul de înfășurare” al unei funcții continue între spații topologice „de aceeași dimensiune”. Această cantitate oferă informații despre comportamentul calitativ general al funcției și este un invariant homotopic , adică nu se schimbă dacă funcția este deformată continuu (o astfel de deformare se numește homotopie ).

Exemplul fundamental este cel al unei funcții continue între două cercuri : gradul topologic este „numărul de înfășurări” pe care funcția determină efectuarea circumferinței.

Gradul unei funcții este indicat de obicei cu deg .

Definiție intuitivă

Proiecția f înconjoară circumferința de patru ori pe ea însăși: gradul său este de 4.

Este o funcție continuă, unde este circumferința planului. Se poate interpreta ca un arc închis : un arc închis în topologie este adesea numit capcană . O astfel de dantelă va putea să se înfășoare în moduri diferite, de exemplu prin rotirea în sens invers acelor de ceasornic de două ori sau în sensul acelor de ceasornic de șapte ori: în primul caz vom spune asta are gradul 2 și în al doilea are gradul -7. Un exemplu de dantelă de gradul 0 este cel care nu se încheie dar rămâne fixat la un punct.

Gradul este, de asemenea, un invariant homotopic , adică nu se schimbă dacă dantela este deformată. De exemplu, dantela care înconjoară circumferința de cinci ori în sens invers acelor de ceasornic și de două ori în sensul acelor de ceasornic poate fi deformată într-o dantelă care se rotește de trei ori în sens invers acelor de ceasornic și, prin urmare, are gradul 3. O dantelă care rulează o jumătate de tură și se întoarce la punctul inițial se deformează în dantela fixă ​​într-un punct și, prin urmare, are gradul 0. Faptul relevant este că în acest fel am asociat fiecărui număr întreg o clasă de șireturi „similare” și numai pe acelea.

Vorbirea poate fi generalizată pentru funcții continue de la sferă la sferă, în trei dimensiuni și mai general pentru funcții , chiar dacă în aceste cazuri interpretarea unei sfere care „înfășoară” ea însăși este geometric mai puțin intuitivă.

Definiție

În definiția de astăzi, dacă este o funcție continuă a sferei în sine, homomorfismul indus

în grupele a-n-a de omologie este o funcție ZZ , unde Z indică numerele întregi și este un grad definit de numarul

.

În cazul circumferinței, gradul topologic al folosind acoperirea universală

În acest caz, gradul este definit prin luarea în considerare ca o capcană și luând liftul

din începând de la zero. Această ridicare nu mai este o cursă, adică este posibil ca punctul final și cel inițial să nu coincidă: gradul de este valoarea punctului final .

Principalele proprietăți

  • de sine Și Sunt homotopic atunci Și .
  • gradul funcției de identitate este 1.
  • gradul unei funcții constante este 0.
  • gradul de este produsul gradului de pentru gradul de .
  • de sine este o reflectare a , adică o hartă care fixează punctele unui și îi „răstoarnă” pe ceilalți, .
  • harta antipodală este compoziția reflexiilor n + 1 și are grad .

Exemplu

Un exemplu de hartă a gradului n este dat de stratul de acoperire n-circumferință , văzut ca un subset al câmpului C al numerelor complexe .

descris deja mai sus ca fiind „înfășurat de n ori”.

Generalizări

În topologia diferențială , gradul are o interpretare care permite calculul său explicit. Este o funcție diferențiată între două varietăți diferențiate de aceeași dimensiune, prima compactă și fără margini, a doua conectată .

Este un punct de . De sine este o valoare regulată pentru , imaginea ei contra are cardinalitate finit, iar clasa sa rămasă modulul 2 este o valoare în {0, 1} care nu depinde de valoarea obișnuită , nici din clasa de homotopie diferențiată a , și se numește modulo 2 grad de .

Pentru a defini un grad întreg, M și N trebuie să fie orientate și fără margini: în acest caz, pentru fiecare în că este un punct regulat al putem defini semnul diferențialului lui f în x ca +1 dacă acesta menține orientarea sau -1 dacă îl inversează (semnul diferențialului este egal cu cel al determinantului Jacobianului din punct). Prin urmare, este definit pentru fiecare valoare obișnuită în gradul de Brouwer

care este, de asemenea, invariant sub valori regulate și clase de homotopie diferențiată.

Fiecare hartă continuă este aproximabilă cu una diferențiată și, prin urmare, această definiție poate fi ușor extinsă la funcții continue de la M la N. De sine , gradul topologic și gradul Brouwer coincid.

Aplicații

Ca aplicație a gradului topologic se poate dovedi teorema sferei „combabile”: admite un câmp diferit de vectori tangenți dacă și numai dacă n este impar. Este, de asemenea, utilizat pe scară largă în topologia diferențială pentru a demonstra multe teoreme, inclusiv teorema punctului fix al lui Brouwer, teorema Borsuk-Ulam , teorema curbei Jordan și, de asemenea, în teoria ecuațiilor diferențiale.

Un rezultat fundamental datorat lui Heinz Hopf afirmă că două hărți între sfere care au același grad sunt homotopice : gradul este deci un invariant homotopic complet , în sensul că descrie complet hărțile dintre sferele de aceeași dimensiune, văzute până la homotopie. În special arată că aplicația

definește un izomorfism între nth grupul omotopie și Z.

Bibliografie

  • ( EN ) John W. Milnor, Topologie dintr-un punct de vedere diferențiat ; Princeton University Press
  • (EN) Glen Bredon, Topologie și geometrie; Springer-Verlag
  • (EN) William Massey, Un curs de bază în topologie algebrică; Springer-Verlag

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică