Graficul unei funcții

Reprezentarea vizuală a graficului unei funcții cubice pe

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

\ R

:

y=x^{3}-9x

{\ displaystyle y = x ^ {3} -9x}

y = x ^ {3} -9x

Reprezentarea vizuală a graficului:

f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})

{\ displaystyle f (x, y) = \ sin (x ^ {2}) \ cos (y ^ {2})}

f (x, y) = \ sin (x ^ {2}) \ cos (y ^ {2})

În matematică , graficul unei funcții este setul de perechi ordonate alcătuite din elementele domeniului și imaginile lor respective.

Definiție

Având o funcție $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ , se numește grafic al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ subsetul produsului cartezian $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ (adică o relație între seturi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ) dat de: ^[1]

G(f):={\big \{}(x,y)\,:\,x\in X,\,y=f(x){\big \}}.

{\ displaystyle G (f): = {\ big \ {} (x, y) \ ,: \, x \ în X, \, y = f (x) {\ big \}}.}

G (f): = {\ big \ {} (x, y) \ ,: \, x \ în X, \, y = f (x) {\ big \}}.

Grafice ale funcțiilor reale

În cazul unei funcții reale a unei singure variabile reale $f\colon E\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon E \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon E \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}$ , graficul $G(f)$ ${\ displaystyle G (f)}$ $G (f)$ este subsetul de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ definit de

G(f):=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y=f(x)\}

{\ displaystyle G (f): = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = f (x) \}}

{\ displaystyle G (f): = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y = f (x) \}}

.

și a cărei reprezentare, fiind bidimensională, se asociază fiecărui punct al $G(f)$ ${\ displaystyle G (f)}$ $G (f)$ o pereche îngrijită $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ . În cazul specific al funcțiilor continue pe un interval , graficul funcției poate fi văzut ca o curbă în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ și astfel, curba este, de asemenea, netedă la intervalele în care funcția este regulată (adică diferențiată ).

În cazul în loc de o funcție reală a două variabile reale $f\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}$ , graficul funcției este subsetul lui $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ definit de

G:=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:z=f(x,y)\}

{\ displaystyle G: = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: z = f (x, y) \}}

{\ displaystyle G: = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R} ^ {3}: z = f (x, y) \}}

și a cărei reprezentare, fiind tridimensională, asociază o ordonată fiecărui punct al planului inclus în setul său de definiție $z=f(x,y)$ ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ $z = f (x, y)$ in spatiu.

O metodă alternativă pentru a reprezenta graficul unei funcții a două variabile constă în recurgerea la metoda curbelor de nivel . Dacă da, contururile funcției $z=f(x,y)$ ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ $z = f (x, y)$ sunt date de set:

C:=\{(x,y)\in \mathbb {R} :f(x,y)=k\}

{\ displaystyle C: = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R}: f (x, y) = k \}}

{\ displaystyle C: = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R}: f (x, y) = k \}}

cu $k\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {R}}$ . Reprezentarea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este deci o familie de curbe astfel încât fiecare curbă să reprezinte o înălțime diferită a graficului. În practică, curbele sunt obținute din intersecția graficului $z=f(x,y)$ ${\ displaystyle z = f (x, y)}$ $z = f (x, y)$ cu diversele etaje $z=k$ ${\ displaystyle z = k}$ $z = k$ .

În cazul mai general al unei funcții reale a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile reale $f\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ , graficul funcției este subsetul lui $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ definit de

G:=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:z=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}

{\ displaystyle G: = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}: z = f (x_ {1}, x_ { 2}, \ dots, x_ {n}) \}}

{\ displaystyle G: = \ {(x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}: z = f (x_ {1}, x_ { 2}, \ dots, x_ {n}) \}}

În acest caz, fiind o reprezentare $(n+1)$ ${\ displaystyle (n + 1)}$ $(n + 1)$ -dimensional este deosebit de dificil de realizat într-un mod practic.

După cum se poate deduce din definiția și exemplele date, dată fiind o funcție reală a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabilele reale au nevoie de un anunț spațial $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle n + 1}$ dimensiuni pentru a reprezenta funcția în sine.

Grafice ale funcțiilor complexe

În ceea ce privește funcțiile variabilelor complexe, lucrurile devin și mai complicate. De exemplu, pentru o funcție $f\colon \Omega \subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subset \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ subset \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ , atâta timp cât $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este izomorfă la $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ , ai nevoie de un spațiu de $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ pentru a reprezenta această funcție. Mai general, pentru o funcție de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile complexe, aveți nevoie de un spațiu echivalent cu $\mathbb {R} ^{4n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4n}}$ pentru a putea reprezenta graficul.

Grafice ale funcțiilor vectoriale

Teorema graficului închis

Același subiect în detaliu: Teorema graficului închis .

Asuma ca $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ sunt spații Banach și asta $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ $T: X \ to Y$ este un operator liniar . Teorema graficului închis afirmă că $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este continuu (și deci limitat ) dacă și numai dacă graficul său este închis în spațiu $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ echipat cu topologia produsului .

Restricția domeniului este necesară datorită existenței operatorilor liniari închisi nelimitați , care nu sunt neapărat continui.

Notă

^ Reed, Simon , Pagina 83

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Elemente conexe

Gnuplot (program gratuit pentru trasarea graficelor funcționale)
produs cartezian
Funcție variabilă reală
Studiul funcției
Teorema graficului închis

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere grafice ale unei funcții

linkuri externe

Weisstein, Eric W. „ Grafic funcțional ”. De la MathWorld - O resursă web Wolfram.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Reed, Simon , Pagina 83

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy