Grupuri de homotopie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , grupurile de homotopie sunt un obiect algebric care măsoară intuitiv cantitatea de "găuri n- dimensionale" dintr-un spațiu. Cel mai utilizat grup de homotopie este grupul fundamental , care corespunde cazului n = 1. Pentru n > 1 astfel de obiecte algebrice sunt adesea dificil de calculat chiar și pentru cele mai simple spații topologice , cum ar fi sferele , și din acest motiv, grupurile de omologie sunt adesea folosite în locul lor.

Definiție

Homotopie

Alegem un punct de bază p în sfera n- dimensională S n și un alt punct de bază x într-un spațiu topologic dat X. Prin urmare, definim mulțimea π n ( X , x ) a claselor relative de homotopie ale hărților f : S n → X astfel încât f ( p ) = x . Cu alte cuvinte, considerăm că două astfel de hărți sunt echivalente atunci când sunt deformabile între ele prin hărți care trimit întotdeauna p la x .

În mod echivalent, putem defini π n ( X , x ) ca setul de hărți continue din cubul n- dimensional [0, 1] n în X care mapează întreaga margine a cubului în punctul x , cu excepția cazului în care homotopia relativă la margine (adică două hărți sunt echivalente dacă sunt deformabile între ele prin hărți care trimit întotdeauna marginea în x ). Cele două definiții sunt echivalente deoarece citând marginea cubului într-un punct obținem sfera.

Structura grupului

Compoziția a două hărți.

Pentru n ≥ 1, mulțimea π n ( X , x ) este de fapt un grup cu operația care la două hărți f și g , asociază un alt f * g care le „lipeste” astfel: coeficientul ecuatorului lui S n la un punct obținem un buchet B de două sfere și, prin urmare, o proiecție p : S n → B care trimite întregul ecuator în vârful buchetului. Prin maparea celor două sfere ale buchetului pe X prin f și g (astfel încât vârful să fie punctul de bază) și compunând cu proiecția p obțin o nouă hartă, pe care o numesc f * g (trebuie să fixăm și o nouă punctul de bază de pe ecuator).

Putem descrie această operațiune mai riguros interpretând f și g ca hărți de la cub la X : considerăm spațiul

C = [0, 2] x [0, 1] n-1 , uniune de două cuburi [0, 1] x [0, 1] n-1 și [1, 2] x [0, 1] n-1 .

Definim o funcție continuă h: C → X în felul următor: pe cubul stâng h este f , în timp ce pe cubul drept este g . Cele două funcții coincid pe peretele comun {1} x [0, 1] n-1 , care este mapat în întregime la x .

În acest moment „strângem” C pentru a obține un alt cub prin hartă

s: [0, 1] n → C s ( t 1 , ... t n ) = (2 t 1 , t 2 , ... t n )

și apoi definim în cele din urmă f * g ca h sau s . Observăm că f * g trimite, de asemenea , întreaga margine a cubului către X și, prin urmare, este un element al lui π n ( X , x ). În cele din urmă, verificăm că dacă f ' și g' sunt funcții homotopice la f și g , funcția compusă f ' * g' este homotopă la f * g : acest lucru garantează că clasa de f * g este efectiv bine definită.

Proprietate

  • Mulțimea π 0 ( X , x ) este în corespondență naturală unu-la-unu cu mulțimea de componente conectate prin margini ale lui X. De obicei, atunci când se calculează π n ( X , x ) pentru n > 0 se presupune că X este conectat prin arce, adică π 0 ( X , x ) constă dintr-un singur punct.
  • Grupul π 1 ( X , x ) este grupul fundamental al lui ( X , x ).
  • Grupul π n ( X , x ) pentru n > 1 este Abelian .
  • Fiecare hartă continuă f : Y → X astfel încât f ( y ) = ( x ) să inducă omomorfisme
f * π n ( Y , y ) → π n ( X , x )

Exemple

Folosind proprietățile descrise mai sus putem calcula deja grupurile de homotopie ale unor spații simple. Considerăm doar spații conectate prin margini, pentru care π 0 este un singur punct.

  • Folosind acoperiri se arată că circumferința are π 1 = Z. Mai ușor se arată că are toate cele mai înalte grupuri de homotopie triviale: de fapt acestea nu se schimbă prin acoperire, iar circumferința este acoperită de R , care le are pe toate banale.
  • În general, un spațiu acoperit de un spațiu contractil (de exemplu R n ) are grupuri de homotopie pentru n > 1 toate banale. Deci, de exemplu, taurul , sticla Klein .

Este mai dificil să se calculeze grupurile de homotopie ale sferelor , deoarece acestea nu sunt contractile: în multe cazuri sunt încă necunoscute! De fapt, pentru n > 1 nu există instrumente fundamentale, cum ar fi teorema Van Kampen , care funcționează numai pentru grupul fundamental. Grupurile de homotopie de ordin superior sunt în general mai greu de calculat, deși sunt abeliene.

Mai mult, în multe cazuri, aceste grupuri se comportă într-un mod neintuitiv, fără a răspunde nevoii inițiale de „numărare a găurilor n- dimensionale”. De exemplu, următorul arată că π 3 ( S 2 ) = Z : al treilea grup de homotopie al sferei bidimensionale nu este banal.

Secvența exactă lungă a unui pachet

Unul dintre puținele instrumente disponibile pentru calcularea grupelor de homotopie este următorul: dacă p : E → B este un pachet cu fibra F, atunci există o secvență lungă exactă de grupuri de homotopie:

... → π n ( F ) → π n ( E ) → π n ( B ) → π n −1 ( F ) → … → π 0 ( E ) → π 0 ( B ) → 0

Hărțile de pe π 0 nu sunt omomorfisme deoarece π 0 nu sunt grupuri, dar sunt exacte în sensul că imaginea coincide cu nucleul .

Un exemplu în care se aplică secvența este fibrarea Hopf : Fie B = S 2 și E = S 3 . Fie p p fibrarea Hopf , având fibra S 1 . Din secvența exactă lungă obținem:

... → π n ( S 1 ) → π n ( S 3 ) → π n ( S 2 ) → π n −1 ( S 1 ) → ...

și faptul că π n ( S 1 ) = 0 pentru n ≥ 2 implică faptul că π n ( S 3 ) = π n ( S 2 ) pentru n ≥ 3. În special, π 3 (S 2 ) = π 3 (S 3 ) = Z.

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Gruppi_di_omotopia&oldid=118593800 ”