Grup topologic

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În algebra abstractă , un grup topologic este un grup cu o structură topologică , cu privire la care operațiile grupului sunt funcții continue . Prin urmare, un grup topologic are două structuri matematice diferite, una de tip topologic și una de tip algebric care interacționează între ele [1] .

Cele mai importante grupuri topologice includ setul de numere reale cu topologia obișnuită derivată din distanța euclidiană și operația de adunare . Cu toate acestea, este întotdeauna posibil să se asigure orice grup cu o topologie discretă , făcându-l astfel un grup topologic (grup topologic discret).

Definiție formală

Un grup topologic este un spațiu topologic și un grup cu o operație binară astfel încât funcțiile (în notație multiplicativă):

Și

sunt continue. Aceste condiții sunt echivalente cu solicitarea funcției este continuu.

Homeomorfisme și izomorfisme

Un homomorfism continuu între două grupuri topologice se numește homeomorfism între grupurile topologice.

Un izomorfism între grupuri topologice este în schimb un izomorfism al grupurilor care este, de asemenea, un homeomorfism între spațiile topologice. Această condiție este mai puternică decât cea a izomorfismului continuu (deoarece necesită ca și funcția inversă să fie continuă). De fapt, există cazuri de grupuri topologice care sunt izomorfe ca grupuri, dar nu ca grupuri topologice. De exemplu, topologia discretă poate fi asociată și cu un grup topologic cu o topologie nediscretă, generând astfel un grup topologic diferit cu același suport. Cele două grupuri topologice sunt identice din punct de vedere al structurii grupului, dar nu pot fi homeomorfe.

Grupurile topologice cu omomorfismele lor formează o categorie . Ele pot fi, de asemenea, considerate ca o extindere a conceptului de grup de la categoria seturilor la cea a spațiilor topologice.

Subgrupuri topologice și grupuri de coeficienți

Un subgrup al unui grup topologic este, de asemenea, un grup topologic dacă este prevăzut cu topologia indusă de grupul care îl conține. Mai mult, închiderea unui subgrup este, de asemenea, un subgrup; dacă subgrupul este normal , la fel este și închiderea acestuia.

De sine este un subgrup normal de , grupul coeficientului este un grup topologic dacă are topologia respectivă a coeficientului .

Teoremele obișnuite despre izomorfisme nu sunt extensibile imediat la grupuri topologice, cu excepția cazului în care sunt necesare condiții suplimentare. De exemplu, pentru prima teoremă a izomorfismelor, dat un homomorfism al grupurilor , izomorfismul dintre Și , înțeles ca grupuri topologice, este valabil numai dacă harta este deschis .

Axiome de separare

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Axioma separării .

Un grup topologic este al lui Hausdorff dacă și numai dacă subgrupul trivial format doar de elementul neutru este închis. Unii autori cer ca această condiție să fie inclusă în condiția subgrupului; cu toate acestea, este întotdeauna posibil să redăm grupul Hausdorff dacă trecem la coeficient , unde este este închiderea grupului banal. De fapt, această condiție nu este foarte restrictivă, deoarece orice subgrup pentru care se menține axioma T 0 este cu siguranță cel puțin T .

O altă condiție necesară în mod normal este luarea în considerare a subgrupurilor închise , deoarece grupul coeficient generat de un subgrup non-închis nu este T 0 , indiferent de grupul original.

Compacitate

Un grup topologic compact poate fi considerat ca o generalizare a conceptului de grup finit, în special în ceea ce privește teoria reprezentării grupurilor . În mod similar, grupurile compacte la nivel local extind grupurile numărabile.

Simetriile globale și grupurile Gauge sunt exemple de grupuri compacte.

Exemple

  • Grupurile aditive ale tuturor spațiilor vectoriale topologice sunt grupuri topologice;
  • Grupurile de minciuni sunt grupuri topologice compacte la nivel local;
  • ansamblul numerelor raționale , echipat cu topologia indusă de este un spațiu topologic care nu este un grup Lie;

Notă

  1. ^ De exemplu, operația de inversare sau operația de multiplicare la dreapta sau la stânga sunt homeomorfisme pe grupul topologic.

Bibliografie

  • ( EN ) Taqdir Husain. Introducere în grupurile topologice . Philadelphia, RE Krieger Pub. Co., 1981. ISBN 0898741939
  • ( EN ) Lev S. Pontryagin. Grupuri topologice . Ed. A 3-a New York, Gordon și Breach Science Publishers, 1986. ISBN 2-88124-133-6
  • ( EN ) George McCarty (1988): Topologie: o introducere cu aplicații pentru grupuri topologice , Dover, ISBN 0-486-65633-0
  • ( EN ) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Topologie generală I - Cap. I Structuri topologice. Cap. II Structuri uniforme. Cap. III Grupuri topologice. Cap. IV Numere reale. , Springer, ISBN 3-540-19374-X
  • ( EN ) Nicolas Bourbaki (1989): Elements of Mathematics. Topologie generală II - Cap. V Un grup de parametri. Cap. VI Spații cu număr real și spații proiective. Cap. VII Grupul aditiv R n . Cap. VIII Numere complexe. Cap. IX Utilizarea numerelor reale în topologia generală. Ch. X Spații funcționale. , Springer, ISBN 3-540-19372-3

Elemente conexe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 19321 · NDL (EN, JA) 00.564.269
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică