Grup de cub Rubik

Un 3x3x3 cub Rubik într-o configurație aleatoare.

Cub Rubik de grup este un grup $(G,\cdot )$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ constând din mișcările de cubul Rubik . Fiecare element al întregului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ corespunde o mișcare, care poate fi orice secvență de rotații ale fețelor cubului. Aceste elemente ne permit să reprezinte fiecare configurație a cubului, specificând miscarile necesare pentru a le obține pornind de la cea inițială (în mod convenabil cea în care cubul este considerat rezolvat). De fapt, odată configurația inițială a fost aleasă, există un unu la unu corespondență între fiecare configurație posibilă a cubului și elementele întregului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . ^[1] ^[2] operație binară $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ este compoziția din mișcările cubului: o compoziție de mișcări corespunde unei secvențe de mișcări efectuate una după alta.

grup cub Rubik este creat prin atribuirea fiecăreia dintre cele 48 de piețe, cu excepția centrelor, un număr întreg de la 1 la 48. Fiecare configurație a cubului poate fi reprezentat ca o permutare a numerelor de la 1 la 48, în conformitate cu poziția din fiecare pătrat. Folosind această reprezentare, permutarea identitate este cea care frunzele cubului neschimbat, în timp ce cele douăsprezece deplasează care constau dintr-o rotație de 90 de grade fiecărui strat sunt reprezentate de permutările lor respective. Grup de cub Rubik este un subgrup al grupului de simetrice $S_{48}$ ${\ S_ displaystyle {48}}$ ${\ S_ displaystyle {48}}$ generate de cele șase permutări corespunzătoare celor șase rotațiile în sens orar. Deci, orice configurație care pot fi create printr-o secvență de mișcări aparține grupului. Grup cub Rubik este un non - grup Abelian ca compoziția se mută nu este comutativ; efectuarea a două secvențe de mișcări în ordine diferite pot conduce la diferite configurații finale.

Mișcări

Un cub Rubik $3\times 3\times 3$ ${\ Displaystyle 3 \ 3 ori \ ori 3}$ ${\ displaystyle 3 \ 3 ori \ ori 3}$ Se compune din $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ se confruntă, fiecare cu $9$ ${\ displaystyle 9}$ $9$ patrate colorate, pentru un total de $54$ ${\ Displaystyle 54}$ ${\ Displaystyle 54}$ pătrate. Un cub rezolvat are fiecare pătrat pe fiecare față de aceeași culoare.

O mutare constă dintr-o rotație a unuia dintre $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ se confruntă: $90^{\circ },180^{\circ }$ ${\ Displaystyle 90 ^ {\} Circ, 180 ^ {\}} Circ$ ${\ Displaystyle 90 ^ {\} Circ, 180 ^ {\}} Circ$ sau $-90^{\circ }$ ${\ Displaystyle -90 ^ {\}} Circ$ ${\ Displaystyle -90 ^ {\}} Circ$ . Piața centrală a fiecărei fețe a rotește cub în jurul axei sale (perpendicular pe acesta și trecând prin centrul) rămânând astfel în aceeași poziție. ^[1]

Mișcările sunt descrise mai jos cu Singmaster notații: ^[3]

90 °	180 °	-90 °
$F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ rotatie contrar acelor de ceasornic a feței frontale	$F^{2}$ ${\ Displaystyle F ^ {2}}$ ${\ Displaystyle F ^ {2}}$ rotirea în sens orar dublu a feței frontale	$F^{\prime }$ ${\ displaystyle F ^ {\ prime}}$ ${\ Displaystyle F ^ {\ prim}}$ rotirea în sens antiorar a feței frontale
$B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ rotirea în sens orar a feței posterioare	$B^{2}$ ${\ displaystyle B ^ {2}}$ $B ^ 2$ rotirea în sens orar dublu a feței posterioare	$B^{\prime }$ ${\ Displaystyle B ^ {\ prim}}$ ${\ Displaystyle B ^ {\ prim}}$ rotirea în sens antiorar a feței posterioare
$U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ rotirea în sens orar a feței superioare	$U^{2}$ ${\ Displaystyle U ^ {2}}$ ${\ Displaystyle U ^ {2}}$ rotirea în sens orar dublu a feței superioare	$U^{\prime }$ ${\ Displaystyle U ^ {\ prim}}$ ${\ Displaystyle U ^ {\ prim}}$ rotirea în sens antiorar a feței superioare
$D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ rotirea în sens orar a feței inferioare	$D^{2}$ ${\ displaystyle D ^ {2}}$ $D ^ {2}$ rotirea în sens orar dublu a feței inferioare	$D^{\prime }$ ${\ D displaystyle ^ {\ prim}}$ ${\ D displaystyle ^ {\ prim}}$ rotirea în sens antiorar a feței inferioare
$L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ rotirea în sens orar a feței stânga	$L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ rotirea în sens orar dublu a feței stânga	$L^{\prime }$ ${\ L displaystyle ^ {\ prim}}$ ${\ L displaystyle ^ {\ prim}}$ rotirea în sens antiorar a feței stânga
$R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ rotirea în sens orar a feței dreapta	$R^{2}$ ${\ Displaystyle R ^ {2}}$ $R ^ {2}$ rotirea în sens orar dublu a feței dreapta	$R^{\prime }$ ${\ Displaystyle R ^ {\ prim}}$ ${\ Displaystyle R ^ {\ prim}}$ rotirea în sens antiorar a feței dreapta

Structura grupului

Orientarea pătratelor centrale este fix. Putem identifica fiecare dintre cele șase rotațiile ca elemente ale unui grup simetric . În practică, ne numărăm pătratele, cu excepția celor centrale, 1-48, și identificăm cele șase rotații ale fețelor ca elemente ale grupului simetric S ₄₈ bazat pe configurațiile pe care fiecare mișcare determină pătratele să -și asume. Prin urmare , grupul cubului Rubik G este definit ca subgrupul generat de 6 rotații, $\{F,B,U,D,L,R\}$ ${\ Displaystyle \ {F, B, U, D, L, R \}}$ ${\ Displaystyle \ {F, B, U, D, L, R \}}$ .

Cardinalitatea G este dată de

|G|=43{.}252{.}003{.}274{.}489{.}856{.}000\,\!=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11

{\ Displaystyle | G |......! = 43 {} 252 {} 003 {} 274 {} 489 {} 856 {} 000 \, \ = 2 ^ {27} 3 ^ {14} 5 ^ { 3} 7 ^ {2} 11}

{\ Displaystyle | G |......! = 43 {} 252 {} 003 {} 274 {} 489 {} 856 {} 000 \, \ = 2 ^ {27} 3 ^ {14} 5 ^ { 3} 7 ^ {2} 11}

. ^[4]

In ciuda faptului ca o astfel de cardinalitate mare, nici o configurare va necesita tot mai mult de 20 de rotații pentru a obține rezoluția ^[5] ( în cazul în care un 180 de grade contează rotație ca o singură mișcare, dar dacă este considerat ca două rotații de 90 de grade, atunci acest număr este de 26 ^[6] ).

Cea mai mare de ordinul a unui element din G este 1260. De exemplu , un element de comandă 1260 este

(RU^{2}D^{\prime }BD^{\prime })

{\ Displaystyle (RU ^ {2} D ^ {\ prim} BD ^ {\ prim})}

{\ Displaystyle (RU ^ {2} D ^ {\ prim} BD ^ {\ prim})}

. ^[1]

G este un grup non-abelian. Acest lucru înseamnă că nu toate mișcările comutatorului cubului între ele; ^[2] , de exemplu, $F. R.$ ${\ Displaystyle FR}$ ${\ Displaystyle FR}$ este diferit de $R. F.$ ${\ Displaystyle RF}$ ${\ Displaystyle RF}$ .

Subgrupuri

Să luăm în considerare două subgrupuri de G: subgrupul C _sau orientări, adică miscarile care constau în rotirea întregului cub, lăsând astfel pozițiile reciproce dintre cuburi neschimbate. Acesta este un subgrup normal al lui G. Acesta poate fi reprezentat ca aproape normală de mișcări care inversa margini sau colțuri de rotire.

De exemplu, este aproape normal următoarele miscari:

BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},\,\!

{\ BR displaystyle ^ {\ prime} D ^ {2} RB ^ {\ prime} U ^ {2} BR ^ {\ prime} D ^ {2} RB ^ {\ prime} U ^ {2}, \, \!}

{\ BR displaystyle ^ {\ prime} D ^ {2} RB ^ {\ prime} U ^ {2} BR ^ {\ prime} D ^ {2} RB ^ {\ prime} U ^ {2}, \, \!}

(Rotiți două colțuri)

RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },\,\!

{\ Displaystyle RUDB ^ {2} U ^ {2} B ^ {\ prime} UBUB ^ {2} D ^ {\ prime} R ^ {\ prime} U ^ {\ prime}, \, \!}

{\ Displaystyle RUDB ^ {2} U ^ {2} B ^ {\ prime} UBUB ^ {2} D ^ {\ prime} R ^ {\ prime} U ^ {\ prime}, \, \!}

(Inversează două margini).

Al doilea subgrup $C_{P}$ ${\ C_ displaystyle {P}}$ ${\ C_ displaystyle {P}}$ este aceea de permutări, adică mișcările care vă permit să schimbați poziția cuburi, dar lasă orientarea cubului neschimbat:

C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].\,\!

{\ Displaystyle C_ {p} = [U ^ {2}, D ^ {2}, F, B, L ^ {2}, R ^ {2}, R ^ {2} U ^ {\ prime} FB ^ {\ prime} R ^ {2} F ^ {\ prime} BU ^ {\ prim} R ^ {2}]. \, \!}

{\ Displaystyle C_ {p} = [U ^ {2}, D ^ {2}, F, B, L ^ {2}, R ^ {2}, R ^ {2} U ^ {\ prime} FB ^ {\ prime} R ^ {2} F ^ {\ prime} BU ^ {\ prim} R ^ {2}]. \, \!}

Deoarece C _o este un subgrup normal și intersecția C _o C și _p este identitatea și produsul lor este grupa G, rezultă că G este semi -Direct produsul dintre aceste două grupuri. Adică

G=C_{o}\rtimes C_{p}.\,

{\ Displaystyle G = C_ {o} \ rtimes C_ {p}. \,}

{\ Displaystyle G = C_ {o} \ rtimes C_ {p}. \,}

Structura C este _o

\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11},\

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ ori \ mathbb {Z} _ {2} ^ {11}, \}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ ori \ mathbb {Z} _ {2} ^ {11}, \}

întrucât grupul de rotație a fiecărui unghi este $\mathbb {Z} _{3}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {3}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {3}}$ , În timp ce pentru margini este $\mathbb {Z} _{2}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ , Dar numai șapte din cele opt colțuri pot fi rotite în mod independent, deoarece dispunerea ultimului colț va depinde de poziția celorlalți.

Subgrupa de permutări, C _p, este un pic mai complicat. Conține următoarele două disjuncte subgrupe normale: grupul permutărilor chiar ale unghiurilor A ₈ și grupul permutărilor chiar a marginilor A _12. Complementar acestor două subgrupuri este o permutare care a swap-urilor două colțuri și două margini. Acestea generează toate permutări posibile, adică

C_{p}=(A_{8}\times A_{12})\,\rtimes \mathbb {Z} _{2}.

{\ Displaystyle C_ {p} = (A_ {8} \ ori A_ {12}) \, \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}.}

{\ displaystyle C_ {p} = (A_ {8} \ ori A_ {12}) \, \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}.}

Avem că G este izomorf

(\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).

{\ Displaystyle (\ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ ori \ mathbb {Z} _ {2} ^ {11}) \ rtimes \, ((A_ {8} \ ori A_ {12}) \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}).}

{\ Displaystyle (\ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ ori \ mathbb {Z} _ {2} ^ {11}) \ rtimes \, ((A_ {8} \ ori A_ {12}) \ rtimes \ mathbb {Z} _ {2}).}

Acest grup poate fi descrisă ca următorul produs semi-direct

[(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}

{\ Displaystyle [(\ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ rtimes \ mathrm {S} _ {8}) \ ori (\ mathbb {Z} _ {2} ^ {11} \ rtimes \ mathrm {S} _ {12})] ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ Displaystyle [(\ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ rtimes \ mathrm {S} _ {8}) \ ori (\ mathbb {Z} _ {2} ^ {11} \ rtimes \ mathrm {S} _ {12})] ^ {\ frac {1} {2}}}

folosind Griess notație ^{[ fără sursă ]} .

Generalizare

Dacă luăm în considerare simetriile piețele centrale din grupul simetric este un subgrup de

[\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.

{\ Displaystyle [\ mathbb {Z} _ {4} ^ {6} \ ori (\ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ rtimes \ mathrm {S} _ {8}) \ ori (\ mathbb {Z} _ {2} ^ {11} \ rtimes \ mathrm {S} _ {12})] ^ {\ frac {1} {2}}.}

{\ Displaystyle [\ mathbb {Z} _ {4} ^ {6} \ ori (\ mathbb {Z} _ {3} ^ {7} \ rtimes \ mathrm {S} _ {8}) \ ori (\ mathbb {Z} _ {2} ^ {11} \ rtimes \ mathrm {S} _ {12})] ^ {\ frac {1} {2}}.}

Dacă admitem că putem dezasambla cubul și reasambla - o la voință, grupul de simetrie al cubului Rubik este produsul direct

\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} ^ {6} \ ori (\ mathbb {Z} _ {3} \ wr \ mathrm {S} _ {8}) \ ori (\ mathbb {Z} _ { 2} \ wr \ mathrm {S} _ {12}).}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} ^ {6} \ ori (\ mathbb {Z} _ {3} \ wr \ mathrm {S} _ {8}) \ ori (\ mathbb {Z} _ { 2} \ wr \ mathrm {S} _ {12}).}

Primul factor ia în considerare numai rotațiile piesele centrale, a doua doar simetriile colțuri, iar a treia numai simetriile marginilor, $\wr$ ${\ displaystyle \ wr}$ ${\ Displaystyle \ wr}$ indică produsul țesut .