Grupul Galois

În matematică și mai precis în algebră , un grup Galois este un grup asociat cu o extensie de câmpuri . În special, grupurile asociate cu extensii care provin din Galois sunt studiate în principal.

Teoria Galois se ocupă cu studiul extensiilor Galois prin analiza grupurilor Galois respective, cum ar fi, de exemplu, grupurile Galois asociate extensiilor date prin divizarea câmpurilor de polinoame separabile .

Definiție

Extensie

Este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ o extensie a unui câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . A $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ - automorfism al $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un automorfism

\psi \colon E\to E,

{\ displaystyle \ psi \ colon E \ to E,}

{\ displaystyle \ psi \ colon E \ to E,}

fixarea elementelor de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , adică astfel încât

\psi (x)=x,

{\ displaystyle \ psi (x) = x,}

{\ displaystyle \ psi (x) = x,}

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . The $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ - automorfisme ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ formează un grup

G=\mathrm {Aut} (E/F).

{\ displaystyle G = \ mathrm {Aut} (E / F).}

{\ displaystyle G = \ mathrm {Aut} (E / F).}

De sine $E/F$ ${\ displaystyle E / F}$ ${\ displaystyle E / F}$ este o extensie a lui Galois, apoi grupul de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ -automorfisme ale $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ se numește grupul Galois ^[1] și este indicat cu

G=\mathrm {Gal} (E/F).

{\ displaystyle G = \ mathrm {Gal} (E / F).}

{\ displaystyle G = \ mathrm {Gal} (E / F).}

Polinomiale

De sine $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este un polinom separabil cu coeficienți într-un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , grupul Galois al $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este definit ca grupul Galois al extensiei date de câmpul de divizare $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .

Exemple

În exemplele următoare $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , sunt câmpurile formate din numere complexe , reale și respectiv raționale . Notatia $F(a)$ ${\ displaystyle F (a)}$ ${\ displaystyle F (a)}$ indică cel mai mic câmp care conține $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Câmpuri raționale, reale, complexe

$\mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (\ mathbb {C} / \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (\ mathbb {C} / \ mathbb {R})}$ are două elemente, identitate și conjugare complexă .
$\mathrm {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathbb {R} / \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (\ mathbb {R} / \ mathbb {Q})}$ este banal (adică are identitatea ca singur element): se arată că fiecare automorfism al $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ este continuu (rezultă din faptul că păstrează ordinea numerelor reale) și fixează fiecare element al $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ și, în consecință, este același automorfism (deoarece coincide cu identitatea pe un set dens de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ). Din aceasta rezultă că extensia $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ nu este de la Galois.
$\mathrm {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (\ mathbb {C} / \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (\ mathbb {C} / \ mathbb {Q})}$ este un grup infinit.

Câmpuri finite

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este un câmp finit cu caracteristică $p>0$ ${\ displaystyle p> 0}$ $p> 0$ , sau mai bine zis de ordine $p^{n}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ $p ^ n$ pentru unele naturale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , poate fi văzut ca o extensie a $\mathbb {F} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ mathbb {F}} _ {p}$ (îl conține ca un subinel fundamental ). Are asta

$\mathrm {Gal} (F/\mathbb {F} _{p})=C_{n}=<f>$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (F / \ mathbb {F} _ {p}) = C_ {n} = <f>}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (F / \ mathbb {F} _ {p}) = C_ {n} = <f>}$

sau grupul ciclic de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Endomorfismul lui Frobenius . De fapt, vedem că acest endomorfism în cazul finit este un automorfism al câmpului și că fixează fiecare element al $F_{p}$ ${\ displaystyle F_ {p}}$ $F_ {p}$ de aceea aparține grupului Galois al extensiei. Mai mult, ordinea acestui grup este egală cu gradul de extindere, adică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (vezi construcția câmpurilor finite ) și ordinea în grupul de elemente $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , prin urmare, este un generator.

Rădăcini și polinoame

$\mathrm {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q})}$ are două elemente: identitatea și automorfismul pe care îl schimbă ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ cu $-{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {2}}}$ $- \ sqrt {2}$ .
Este $L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ ${\ displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ zeta _ {3})}$ ${\ displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ zeta _ {3})}$ , unde este $\zeta _{3}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {3}}$ este o a treia rădăcină primitivă a unității . Grupul $\mathrm {Gal} (L/\mathbb {Q} )$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (L / \ mathbb {Q})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (L / \ mathbb {Q})}$ este izomorf pentru grup $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ a permutațiilor a trei elemente. Campul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este câmpul de divizare al polinomului $x^{3}-2$ ${\ displaystyle x ^ {3} -2}$ ${\ displaystyle x ^ {3} -2}$ pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .