Grup de minciuni

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică, un grup Lie este un grup G cu o structură diferențiată diferită compatibilă cu operațiile grupului. Termenul grupuri de Lie a fost folosit pentru prima dată în Franța în 1893 în teza de doctorat a lui Arthur Tresse în onoarea matematicianului norvegian Sophus Lie , care a fost unul dintre cei doi vorbitori ai lui Tresse. [1]

Definiție

Un grup Lie este un grup echipate cu o structură de varietate diferențiată astfel încât operațiunile

Și

ambele sunt diferențiate .

Homomorfisme și categoria grupurilor Lie

Având în vedere două grupuri Lie G și H , un morfism al grupului Lie este un homomorfism diferențiat , adică o aplicație f : GH care este un homomorfism pentru structura abstractă a grupului ( f ( ab ) = f ( a ) f ( b )) și o hartă diferențiată pentru structura multiplă a lui G și H.

Grupurile de minciuni cu morfismele lor constituie o categorie .

Clasificări ale grupurilor Lie

Grupurile de minciuni pot fi clasificate în funcție de diferite tipuri de proprietăți:

Algebra Lie asociată cu un grup Lie

Fiecare grup Lie poate fi asociat cu o algebră Lie care este capabilă să exprime pe deplin structura locală a grupului. Grupul relațional - algebră nu se referă la caracteristici globale, cum ar fi conexiunea sau conexiunea simplă , diferite grupuri Lie pot avea deci aceeași algebră; în special, există o teoremă care stabilește că două grupuri Lie izomorfe cu dimensiuni finite cu dimensiuni finite au algebre isomorfe Lie, deci identificabile.

Studiul proprietăților și clasificarea algebrelor Lie este mult mai ușor decât studiul analog al grupurilor, din acest motiv sunt foarte utile o serie de teoreme care permit corelarea proprietăților algebrelor cu cele ale grupurilor corespunzătoare. Relația dintre algebre și grupurile Lie poate fi văzută ca un functor între categorii .

Mai exact, fie un grup Lie e o funcție continuă care trece prin elementul neutru din pentru care .

Lasă-l să fie în schimb spațiul tangent a în care corespunde, folosind noțiunea de derivată , la a .

Se poate arăta că Haide , un spațiu vectorial .

Acum, pozând Și mic pozitiv poate fi scris, dezvoltându-se într-o serie Taylor de ordinul întâi:

.

Să fie acum . De sine tinde spre infinit,

.

În relația anterioară am folosit limita notabilă care definește funcția exponențială .

Apoi, există o hartă din la și elementele sunt cele ale algebrei Lie asociate cu .

De exemplu, luați în considerare grupul , al cărui element generic poate fi scris ca

Executând derivata și calculând-o la zero avem

Elementele obținute prin înmulțirea acestei matrice cu orice real sunt componentele algebrei lui Lie și corespund unor numere imaginare pure . [2]

Grupuri de minciuni reale ca varietăți topologice

Grupurile Real Lie pot fi definite ca varietăți topologice cu operații de grup continue. Echivalența acestei definiții cu cea dată mai sus constituie o interpretare a celei de-a cincea probleme Hilbert (vezi, totuși, și conjectura Hilbert-Smith ).

O afirmație precisă cu privire la această echivalență este următoarea:
Dacă G este o varietate topologică cu operații de grup continuu, atunci există exact o structură diferențiată pe G care îl face un grup Lie conform definiției date inițial.

Această teoremă a fost dovedită de Andrew Gleason , Deane Montgomery și Leo Zippin în anii 1950 .

În consecință, grupurile Lie pot fi definite folosind funcții netede : aceasta este abordarea predominantă acum în textele introductive pentru grupurile Lie.

Notă

  1. ^ ( FR ) Arthur Tresse, Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations , în Acta Mathematica , vol. 18, 1893, p. 3.
  2. ^ (EN) Michael Weiss, Lie Algebras , of Lie Groups and Quantum Mechanics, 2001. Accesat la 26 iunie 2013.

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității Tesauro BNCF 19550 · LCCN (EN) sh85076786 · GND (DE) 4035695-4 · BNF (FR) cb11946908c (dată) · BNE (ES) XX535210 (dată) · NDL (EN, JA) 00.567.368
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică