Grup de monștri

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și în special în teoria grupurilor, grupul monstruos M (sau grupul IM sau Fischer-Griess ) este un grup finit de ordine

2 46 3 20 5 9 7 6 11 2 13 3 17 19 23 29 31 41 47 59 71
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
≈ 8 10 53 .

Este un grup simplu care, prin urmare, nu are subgrupuri normale, cu excepția celor compuse din elementul de identitate și grupul M în sine.

Grupurile simple finite au fost clasificate în întregime : există 18 familii infinite de numărate de grupuri simple finite, plus 26 de grupuri sporadice care nu urmează nicio structură aparentă. Grupul Monster este cel mai mare dintre grupurile sporadice.

Existența și unicitatea

Grupul Monster a fost prezis de Bernd Fischer și Robert Griess în 1973 și a fost construit de Griess în 1980 ca un grup de automorfism al algebrei Griess , o algebră comutativă și non-asociativă cu 196.884 dimensiuni. Mai târziu, John Conway a reușit să simplifice construcția.

Lucrarea lui Griess și Conway a dovedit că grupul M există, în timp ce unicitatea sa a fost demonstrată de John G. Thompson ca o consecință a existenței unei reprezentări fidele de 196 883 dimensiuni. Dovada existenței unei astfel de reprezentări a fost anunțată de Simon P. Norton în 1982 , dar nu au fost publicate detalii. Prima demonstrație documentată a unicității grupului de monștri a fost dată în 1990 de Griess, Meierfrankenfeld și Segev.

Caracterele grupului M au fost calculate, deja în 1979 , chiar înainte de a fi demonstrate existența și unicitatea acestuia. Metoda de calcul s-a bazat pe presupunerea că gradul minim al unei reprezentări fidele este 196 883.

Vorbe de clacă

Grupul Monster este cel mai important grup pentru așa-numita conjectură Monstrous moonshine, care stabilește o conexiune profundă între matematică discretă și nediscretă, o conjectură demonstrată de Richard Borcherds în 1992 .

În acest context, grupul Monster joacă rolul grupului de automorfisme ale modulului Monster, o algebră a operatorilor de vârfuri cu dimensiuni infinite care conține algebra lui Griess și care acționează asupra algebrei lui Lie Monster, o structură care este un Kac-Moody generalizat algebra .

Construcția computerelor

Robert A. Wilson a găsit în mod explicit (cu ajutorul unui computer electronic) două matrice pătrate 196882 × 196882 pe câmpul a două elemente, care generează grupul M. Cu toate acestea, efectuarea calculelor cu aceste două matrice este prea costisitoare în termeni de timp și spațiu de memorie; prin urmare, Wilson și colaboratorii săi au conceput o metodă mai rapidă care permite efectuarea calculelor necesare.

Fie V un spațiu vectorial cu dimensiunea 196882 în câmpul a două elemente, și Hfie un subgrup mare (de preferință un subgrup maxim) al Monstrului, ales în așa fel încât să fie ușor de efectuat calculele. Subgrupul ales este 3 1 + 12 .2.Suz.2, unde Suz indică grupul lui Suzuki . Elementele grupului M sunt stocate ca termeni în elementele lui H și ale unui generator suplimentar T. Este destul de rapid să calculăm acțiunea unuia dintre acești termeni asupra unui vector din V. Folosind această metodă este posibil să se facă calcule (de ordinul de mărime al unui element al Monstrului). Wilson a arătat că vectorii care satisfac stabilitatea u și v sunt grupuri banale; în consecință putem calcula (de exemplu) perioada unui element g al grupului M găsind cel mai mic exponent pozitiv i astfel încât g i u = u și g i v = v .

Această construcție și altele asemănătoare (cu caracteristici diferite) au fost folosite pentru a testa unele proprietăți interesante ale Monstrului (de exemplu pentru a găsi unele dintre subgrupurile sale non-locale maxime).

Bibliografie

  • RL Griess, Jr, The Friendly Giant , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102
  • Griess, Robert L., Jr.; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav O dovadă de unicitate pentru Monstru. Ann. de matematică. (2) 130 (1989), nr. 3, 567-602.
  • PE Holmes și RA Wilson, O construcție computerizată a monstrului folosind 2 subgrupuri locale , J. London Math. Soc. 67 (2003), 346-364.
  • SA Linton, RA Parker, PG Walsh și RA Wilson, Construcția computerizată a monstrului , J. Group Theory 1 (1998), 307-337.
  • Conway, JH ; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; și Wilson, RA: Atlas de grupuri finite: subgrupuri maxime și caractere obișnuite pentru grupuri simple. Oxford, Anglia 1985.
  • SP Norton, Unicitatea monstrului Fischer-Griess , grupuri finite --- majorare (Montreal, Que., 1982), 271-285, Contemp. Math., 45, Amer. Matematica. Soc., Providence, RI, 1985.
  • JH Conway și SP Norton, Monstrous Moonshine , Bull. London Math. Soc. 11 (1979), nr. 3, 308-339.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică