Ideal mai întâi

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și tocmai în teoria inelelor , un ideal prim este un ideal care are unele proprietăți care îl fac similar cu un număr prim din inelul numerelor întregi. Definiția într-un inel comutativ va fi prezentată mai întâi, deoarece în acest caz idealurile prime au o caracterizare mai simplă, apoi generalizarea în orice inel .

Caz comutativ

Definiție formală

Dacă A este un inel, atunci se spune că P ideal al lui A este prim dacă are următoarele proprietăți:

  • P subsetul propriu al lui A.
  • Dacă a și b sunt două elemente ale lui A astfel încât produsul lor ab este un element al lui P , atunci cel puțin unul dintre ele este un element al lui P. [1]

Aceasta este o generalizare a următoarei proprietăți pentru numerele prime :

dacă p este un număr prim, atunci ori de câte ori p divide produsul a două numere întregi ab avem că p divide a sau p divide b .

Se poate spune, pentru a conecta teoria algebrei abstracte cu aritmetica în setul de numere întregi:

un număr întreg pozitiv n este un număr prim dacă și numai dacă idealul n Z este un ideal prim în Z.

Exemple

  • Luați în considerare inelul C [ X , Y ] al polinoamelor din cele două X nedeterminate și Y cu coeficienți complecși. Idealul generat de polinomul Y 2 - X 3 - X - 1 este un ideal prim.
  • În inelul Z [ X ] al polinoamelor cu coeficienți întregi, idealul generat de mulțimea {2, X } este un ideal prim și este format din polinoame având un număr par ca coeficient constant.
  • Într-un inel comutativ unitar A, fiecare ideal maxim al lui A este prim. Conversa nu este în general adevărată, dar este întotdeauna adevărată dacă inelul A este un domeniu cu idealuri principale .
  • Dacă M este o varietate diferențiată și A este inelul funcțiilor diferențiabile de la M la R și x este orice punct al lui M atunci setul de funcții f al lui A astfel încât f ( x ) = 0 este un ideal prim (care este, de asemenea, maxim) din A.

Proprietate

  • Un I ideal al inelului comutativ A este prim dacă și numai dacă inelul coeficient A / I este un domeniu de integritate .
  • Un I ideal al unui inel A este prim dacă și numai dacă A \ I (diferența setată) este închisă în raport cu înmulțirea.
  • Fiecare inel comutativ unitar (care nu este constituit doar de {0}) conține cel puțin un ideal prim. De fapt, într-un inel comutativ unitar fiecare ideal maxim este, de asemenea, un ideal prim și, prin lema lui Krull, fiecare inel unitar are cel puțin un ideal maxim.
  • Un inel comutativ este un domeniu de integritate dacă și numai dacă {0} este un ideal principal.
  • Un inel comutativ este un câmp dacă și numai dacă {0} este singurul său ideal prim, sau echivalent dacă și numai dacă este un ideal maxim.
  • Contraimaginea unui ideal prim prin homomorfism între inele este un ideal prim.

Aplicații

Un exemplu de utilizare a conceptului de ideal prim se găsește în geometria algebrică . Soiurile algebrice sunt de fapt definite ca seturi de zerouri ale idealurilor inelelor de polinoame (ansamblul elementelor inelului pe care toate elementele idealului sunt zero). Se arată că soiurile ireductibile sunt cele care corespund idealurilor principale. Abordarea modernă abstractă a geometriei algebrice constă în luarea oricărui inel comutativ și luarea în considerare a setului idealurilor sale primare, numite spectru , construirea unei topologii pe acesta. În acest moment putem defini o generalizare a varietăților, care se numește schemă .

Caz necomutativ

Definiție formală

Dacă inelul A luat în considerare nu este comutativ, atunci propriul său ideal P este prim dacă are următoarea proprietate:

Dacă a și b sunt două elemente ale lui A astfel încât pentru fiecare c din A produsul acb este un element al lui P , atunci cel puțin unul dintre cele două este un element al lui P.

Pentru inelele comutative, definiția este echivalentă cu cea dată mai sus. Pe de altă parte, pentru inelele necomutative, acestea nu sunt echivalente. Dacă definiția de mai sus este valabilă pentru un P ideal al unui inel necomutativ, se spune că P este un ideal complet prim . Fiecare ideal complet prim este prim, dar inversul nu este în general adevărat. De exemplu, nul idealul în inelul de n × n matrici este un ideal prim care nu este complet prim.

Exemple

  • Într-un domeniu al integrității idealul nul este prim

Proprietate

  • Un ideal P este prim dacă și numai dacă i se dau două idealuri A și B dacă ABP atunci cel puțin unul dintre cele două este conținut în P.

Notă

  1. ^ Bosch, S. , p. 35 .

Bibliografie

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică