Identitatea lui Bianchi

Identitățile lui Bianchi dau relațiile dintre derivatele covariante ale tensorului de curbură al unei varietăți riemanniene și sunt numite astfel în onoarea matematicianului italian Luigi Bianchi . Ei găsesc diverse aplicații în domeniile matematicii și fizicii.

Reamintim că, pentru fiecare varietate riemanniană, tensorul de curbură satisface următoarele simetrii:

R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}

{\ displaystyle R (u, v) = - R (v, u) _ {} ^ {}}

R (u, v) = - R (v, u) ^ {} _ {}

\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}

{\ displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = - \ langle R (u, v) z, w \ rangle _ {} ^ {}}

\ langle R (u, v) w, z \ rangle = - \ langle R (u, v) z, w \ rangle ^ {} _ {}

R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}.

{\ displaystyle R (u, v) w + R (v, w) u + R (w, u) v = 0 _ {} ^ {}.}

R (u, v) w + R (v, w) u + R (w, u) v = 0 ^ {} _ {}.

Ultima dintre aceste identități a fost descoperită de matematicianul Ricci , deși este numită de obicei prima identitate a lui Bianchi sau identitatea algebrică a lui Bianchi , deoarece este echivalentă cu identitatea Bianchi ilustrată mai jos. (Mai mult, deoarece torsiunea este zero în geometria riemanniană, prima identitate a lui Bianchi se reduce la o identitate diferențială pentru tensorul de torsiune.) Aceste trei identități formează o listă completă de simetrii pentru tensorul de curbură; adică, având în vedere un tensor care satisface aceste identități, putem găsi cel puțin un distribuitor Riemannian cu un tensor de curbură cu aceste caracteristici la un moment dat. Se poate arăta (datorită acestor identități) pe care îl are tensorul de curbură Riemann $n^{2}(n^{2}-1)/12$ ${\ displaystyle n ^ {2} (n ^ {2} -1) / 12}$ $n ^ 2 (n ^ 2-1) / 12$ componente independente.

Din cele trei identități ilustrate mai sus, derivă una ulterioară și foarte utilă:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}.

{\ displaystyle \ langle R (u, v) w, z \ rangle = \ langle R (w, z) u, v \ rangle _ {} ^ {}.}

\ langle R (u, v) w, z \ rangle = \ langle R (w, z) u, v \ rangle ^ {} _ {}.

Deoarece derivata covariantă poate fi considerată pe o varietate riemanniană $\nabla _{u}R$ ${\ displaystyle \ nabla _ {u} R}$ $\ nabla_u R$ (in directia $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ ), de asemenea, pentru tensorul de curbură R, rezultă că identitatea lui Bianchi (adesea numită a doua identitate a lui Bianchi sau identitatea diferențială a lui Bianchi) ia următoarea formă:

(\nabla _{u}R)(v,w)+(\nabla _{v}R)(w,u)+(\nabla _{w}R)(u,v)=0.

{\ displaystyle (\ nabla _ {u} R) (v, w) + (\ nabla _ {v} R) (w, u) + (\ nabla _ {w} R) (u, v) = 0. }

(\ nabla_uR) (v, w) + (\ nabla_vR) (w, u) + (\ nabla_w R) (u, v) = 0.

Să presupunem că ați ales o carte din varietatea diferențiată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și, prin urmare, să fi ales coordonate locale $x^{a}$ ${\ displaystyle x ^ {a}}$ $x ^ {a}$ deasupra unei deschideri $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a soiului Riemannian $(M,g)$ ${\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ . Prin urmare, este posibil să se exprime toate identitățile ilustrate mai sus în funcție de componentele tensorului de curbură Riemann:

antisimetrie

R_{abcd}^{}=-R_{bacd}=-R_{abdc}

{\ displaystyle R_ {abcd} ^ {} = - R_ {bacd} = - R_ {abdc}}

R_ {abcd} ^ {} = - R_ {bacd} = - R_ {abdc}

schimbă simetria

R_{abcd}^{}=R_{cdab}

{\ displaystyle R_ {abcd} ^ {} = R_ {cdab}}

R_ {abcd} ^ {} = R_ {cdab}

Prima identitate a lui Bianchi

R_{abcd}+R_{acdb}+R_{adbc}^{}=0

{\ displaystyle R_ {abcd} + R_ {acdb} + R_ {adbc} ^ {} = 0}

R_ {abcd} + R_ {acdb} + R_ {adbc} ^ {} = 0

Acest lucru este adesea scris în formă

R_{a[bcd]}^{}=0,

{\ displaystyle R_ {a [bcd]} ^ {} = 0,}

R_ {a [bcd]} ^ {} = 0,

unde parantezele pătrate denotă partea antisimetrică care funcționează deasupra indicilor indicați. Acest lucru este echivalent cu cel anterior, deoarece tensorul Riemann este deja antisimetric în ultimii săi doi indici.

a doua identitate Bianchi

R_{abcd;e}^{}+R_{abde;c}^{}+R_{abec;d}^{}=0

{\ displaystyle R_ {abcd; e} ^ {} + R_ {abde; c} ^ {} + R_ {abec; d} ^ {} = 0}

R_ {abcd; e} ^ {} + R_ {abde; c} ^ {} + R_ {abec; d} ^ {} = 0

punctul și virgula denotă prezența unui derivat covariant . Echivalent,

R_{ab[cd;e]}^{}=0

{\ displaystyle R_ {ab [cd; e]} ^ {} = 0}

R_ {ab [cd; e]} ^ {} = 0

și din nou antisimetria a fost utilizată în ultimii doi indici ai lui R.

Bibliografie

( EN ) JL Synge și A. Schild, Tensor Calculus , prima publicație Dover 1978 ediția, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2 .
( EN ) JR Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists , Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5 .
( EN ) DC Kay, Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (SUA), 1988, ISBN 0-07-033484-6 .
( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică