Identitate parseval

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , în special în analiza funcțională , identitatea Parseval sau identitatea Bessel-Parseval este un rezultat important în ceea ce privește sumabilitatea seriei Fourier a unei funcții. Este o egalitate care adaptează teorema lui Pitagora la anumite spații funcționale de dimensiune infinită.

În mod informal, identitatea Parseval stabilește că suma pătratelor coeficienților Fourier ai unei funcții este egală cu integralul pătratului funcției:

unde coeficienții Fourier din sunt date de:

Mai general, rezultatul este valabil chiar dacă este o funcție pătrată care poate fi însumată sau aparținând spațiului L 2 [−π, π] .

Un rezultat similar este teorema lui Plancherel , care afirmă că integralul pătratului transformatei Fourier al unei funcții este egal cu integralul pătratului funcției în sine. Într-o singură dimensiune, pentru de aceea avem:

Identitatea

Luați în considerare un spațiu normat separabil , de exemplu un spațiu Hilbert și let o bază ortonormală în raport cu produsul intern definit în . Identitatea lui Parseval afirmă că pentru fiecare :

unde produsul intern definește al n-lea coeficient Fourier al decât baza .

De sine este doar o bază ortogonală:

Identitatea este o generalizare a teoremei lui Pitagora , care stabilește că suma pătratelor componentelor unui vector într-o bază ortonormală este egală cu pătratul lungimii vectorului în sine.

De sine coincide cu Și , unde este , găsim cazul seriei Fourier prezentat mai sus cu care se numește sistem trigonometric . În special, validitatea identității Parseval pentru un anumit garantează convergența seriei Fourier respective a în norma de și validitatea identității pentru toți garantează că este un sistem ortonormal complet . De sine este un spațiu Hilbert, adică implică, dată pe o bază ortogonală, identitatea Parseval deține pentru fiecare element al spațiului.

Identitatea lui Parseval și ortogonalitatea reciprocă a subspaiilor generate de vectori implică, de asemenea, că:

adică fiecare element este suma seriei sale Fourier . Teorema lui Parseval pentru seria Fourier este un caz special.

Spații prehilbertiene

Identitatea lui Parseval în forma sa cea mai generală consideră vectori (funcții) într-un spațiu preilbertian . De sine este un set ortonormal de , numit total în sensul că intervalul liniar al este dens în , asa de:

În cazul în care nu este egalitatea totală este înlocuită de inegalitate și, prin urmare, concluzia coincide cu cea a inegalității Bessel . Dovada acestei versiuni generale folosește teorema Riesz-Fischer .

Bibliografie

  • (EN) E. Hewitt, KR Stromberg, Analiza reală și abstractă, Springer (1965)

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică