Identitatea lui Sophie Germain

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Identitatea lui Sophie Germain este următoarea identitate :

Nu este simplu să derivăm această factorizare , deoarece, spre deosebire de diferența dintre două pătrate, suma a două pătrate nu poate fi (în general) descompusă, decât prin recurgerea la numere complexe : . Totuși, acest lucru nu este adevărat este un pătrat, deoarece în acest caz este suficient să adunăm și să scădem .

Identitatea poate fi obținută prin completarea pătratului :

O aplicatie

Această identitate ne permite să rezolvăm o problemă pusă în 1977 în competiția matematică József Kürschák: să dovedim că este compus dacă .

De sine este egal, apoi, banal , este divizibil cu 2. Dacă, pe de altă parte, este ciudat, atunci, locul , avem:

care, fiind de forma , poate fi luată în considerare cu identitatea lui Sophie Germain:

Rezultatul rezultă imediat din observația că, pentru , ambii factori sunt numere întregi mai mari de 1.

Bibliografie

  • Arthur Engel, Strategii de rezolvare a problemelor , New York, Springer, 1999, p. 121, ISBN 0-387-98219-1 .
  • Carl Johan Ragnarsson, O aplicație interesantă a identității Sophie Germain , în Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem , vol. 26, n. 7, noiembrie 2000, pp. 426-428.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică