Identitate Vandermonde

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă sunteți în căutarea unei anumite forme de matrice, consultați Matricea Vandermonde .

În combinatorie , identitatea Vandermonde (sau convoluția Vandermonde ) este următoarea identitate referitoare la coeficienții binomiali :

pentru fiecare , , numere întregi non-negative. Identitatea își datorează numele lui Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), deși era deja cunoscută în 1303 de matematicianul chinez Zhu Shijie. [1]

Identitatea Vandermonde poate fi generalizată în mai multe moduri, cum ar fi următoarea versiune:

.

Demonstrații

Dovadă algebrică

În general, produsul a două polinoame , de grade Și respectiv, este dat de

unde se folosește convenția pentru toate numerele întregi , Și de sine . Prin teorema binomului ,

Folosind dezvoltarea binomului și pentru exponenți Și , împreună cu formula anterioară privind produsul polinoamelor, obținem

unde convenția anterioară pentru coeficienții polinomilor este de acord cu definiția coeficienților binomiali, deoarece ambii valorează zero pentru Și .

Comparând coeficienții de , identitatea lui Vandermonde este obținută pentru fiecare . Pentru mai mare, ambii membri ai identității sunt zero datorită definiției coeficientului binomial.

Dovadă combinatorie

Identitatea Vandermonde admite, de asemenea, o dovadă combinatorie prin dublă numărare , după cum urmează. Să presupunem un comision format din bărbați și femei. În câte moduri poate un subcomitet al oameni? Raspunsul este

Soluția este, de asemenea, egală cu suma peste numărul grupurilor constând din bărbați și femei:

Dovadă geometrică

Luați o rețea dreptunghiulară de pătrate. Exact sunt

căi de la vârful stânga jos la vârful dreapta sus, deplasându-se doar la dreapta sau în sus. De fapt, acestea trebuie făcute în orice ordine mișcări spre dreapta e în sus, iar lungimea totală a căii este . Indicați vârful stânga jos ca .

În mod similar, există treci pe acolo la , Și trasee din la . Deci există

trasee începând de la , sfârșește în și trec pe acolo . Acestea din urmă sunt doar un subset al tuturor căilor posibile între cele două vârfuri opuse, deci se adaugă de la la (de la punctul trebuie să fie în interiorul grilei) și se obține identitatea lui Vandermonde.

Generalizări

Identitate Vandermonde generalizată

Identitatea poate fi generalizată după cum urmează:

Această versiune poate fi obținută prin derivarea algebrică de mai sus, dar în care sunt utilizate mai mult de două polinoame sau printr-un raționament simplu de numărare dublă.

Pe de o parte, se aleg reciproc elemente din prima din seturi și compuse elemente, atunci de la al doilea set, și așa mai departe, până la un total de obiecte alese. Prin urmare, în membrul stâng pe care îl aleg articole pe , care este exact partea dreaptă a egalității.

Identitatea lui Chu - Vandermonde

Identitatea poate fi, de asemenea, generalizată pentru argumentele care nu sunt întregi. În acest caz, este cunoscută sub numele de identitate Chu - Vandermonde [1] și ia forma

cu Și numere complexe arbitrare e un număr întreg negativ. Identitatea poate fi derivată pe baza dovezii algebrice anterioare, prin înmulțirea seriei binomiale de Și , și ulterior comparând termenii seriei de .

Identitatea poate fi rescrisă în termeni de simbol Pochhammer descrescător ca

în care este recunoscută în mod clar o variantă umbrală a teoremei binomiale . Identitatea Chu-Vandermonde poate fi, de asemenea, văzută ca un caz special al teoremei hipergeometrice a lui Gauss, care afirmă că

unde este este funcția hipergeometrică e este funcția Gamma . În special, identitatea lui Chu - Vandermonde este obținută prin plasare și aplicarea liberă a relației

O altă generalizare este dată de următoarea identitate a lui Rothe-Hagen: [2]

pentru fiecare , Și complex.

Distribuția hipergeometrică a probabilității

Când împărțiți ambele părți la expresia din dreapta, astfel încât suma să fie 1, atunci termenii însumării pot fi interpretați ca probabilități. Distribuția de probabilitate rezultată este acea distribuție hipergeometrică , adică cea care descrie extracția fără a reintroduce unele bile, pierzând sau câștigând, dintr-o urnă.

Notă

  1. ^ a b Askey 1975, pp. 59-60
  2. ^ Johann G. Hagen, Sinopsis Der Hoeheren Mathematik , Berlin, 1891, formula 17, pp. 64-68, vol. Eu ..

Bibliografie

  • Richard Askey, Polinoame ortogonale și funcții speciale , Regional Conference Series in Applied Mathematics, vol. 21, Philadelphia, PA, SIAM, 1975, pp. viii + 110.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică