Fluidostatice

Fluidostatica (sau hidrostatică sau statică a fluidelor ) este o ramură a mecanicii fluidelor care studiază fluidele într-o stare de repaus, adică orice corp continuu pentru care legea lui Pascal este valabilă cu o constantă de viteză medie în timp și omogenă din punct de vedere vectorial în spațiu.

Presiune

Secțiune triunghiulară a unei prisme fluide asupra căreia acționează presiunile fluidului înconjurător.

Presiunea nu are caracteristici direcționale; este o funcție scalară a punctului considerat în interiorul fluidului și nu depinde de orientarea suprafeței pe care este măsurat. Pentru a demonstra această teză există principiul solidificării: imaginați-vă un element de fluid separat de restul de o suprafață nedeformabilă (de exemplu o prismă cu secțiune triunghiulară); să presupunem că prisma este în repaus sub acțiunea forțelor de presiune, fiecare perpendiculară pe suprafață și constantă. Această condiție necesită echilibru de-a lungul axelor, prin urmare se mențin următoarele relații:

${\textstyle {\begin{cases}F_{c}=p_{c}ch=F_{a}\cos(\theta )=p_{a}ah\cos(\theta )\\F_{b}=p_{b}ch=F_{a}\sin(\theta )=p_{a}ah\sin(\theta )\end{cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {c} = p_ {c} ch = F_ {a} \ cos (\ theta) = p_ {a} ah \ cos (\ theta) \\ F_ {b} = p_ {b} ch = F_ {a} \ sin (\ theta) = p_ {a} ah \ sin (\ theta) \ end {cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {c} = p_ {c} ch = F_ {a} \ cos (\ theta) = p_ {a} ah \ cos (\ theta) \\ F_ {b} = p_ {b} ch = F_ {a} \ sin (\ theta) = p_ {a} ah \ sin (\ theta) \ end {cases}}}$

Fiind $c=a\cos(\theta )$ ${\ displaystyle c = a \ cos (\ theta)}$ ${\ displaystyle c = a \ cos (\ theta)}$ Și $b=a\sin(\theta )$ ${\ displaystyle b = a \ sin (\ theta)}$ ${\ displaystyle b = a \ sin (\ theta)}$ apare că $p_{a}=p_{b}=p_{c}$ ${\ displaystyle p_ {a} = p_ {b} = p_ {c}}$ ${\ displaystyle p_ {a} = p_ {b} = p_ {c}}$ , indiferent de valoarea zonelor și unghiul.

Echilibru static

În fizică, un fluid în repaus este definit în echilibru static dacă toate elementele au accelerație și viteză zero într-un sistem de referință inerțial: forțele trebuie să aibă un rezultat egal cu zero. Ca și pe element $\Delta m$ ${\ displaystyle \ Delta m}$ ${\ displaystyle \ Delta m}$ a forțelor de presiune cu acțiune fluidă $F_{p}$ ${\ displaystyle F_ {p}}$ ${\ displaystyle F_ {p}}$ și forțele de volum $F_{v}$ ${\ displaystyle F_ {v}}$ ${\ displaystyle F_ {v}}$ , trebuie să se mențină următoarea relație $F_{p}+F_{v}=0$ ${\ displaystyle F_ {p} + F_ {v} = 0}$ ${\ displaystyle F_ {p} + F_ {v} = 0}$ pe toate axele.

Forțe de presiune

Consider un cub de fluid de volum $\Delta V$ ${\ displaystyle \ Delta V}$ $\ Delta V$ , cu margine $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta}$ . Rezultatul forțelor de presiune de-a lungul fiecărei axe este:

$p(x)\Delta S+{\Big [}-p(x+\Delta x){\Big ]}\Delta S={\Biggl [}p(x)-{\Big (}p(x)+{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta x{\Big )}{\Biggl ]}\Delta S=-{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta x\Delta S=-{\frac {\partial p}{\partial x}}\Delta V$ ${\ displaystyle p (x) \ Delta S + {\ Big [} -p (x + \ Delta x) {\ Big]} \ Delta S = {\ Biggl [} p (x) - {\ Big (} p (x) + {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ Delta x {\ Big)} {\ Biggl]} \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ Delta x \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ Delta V}$ ${\ displaystyle p (x) \ Delta S + {\ Big [} -p (x + \ Delta x) {\ Big]} \ Delta S = {\ Biggl [} p (x) - {\ Big (} p (x) + {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ Delta x {\ Big)} {\ Biggl]} \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ Delta x \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ Delta V}$

$p(y)\Delta S+{\Big [}-p(y+\Delta y){\Big ]}\Delta S={\Biggl [}p(y)-{\Big (}p(y)+{\frac {\partial p}{\partial y}}\Delta y{\Big )}{\Biggl ]}\Delta S=-{\frac {\partial p}{\partial y}}\Delta y\Delta S=-{\frac {\partial p}{\partial y}}\Delta V$ ${\ displaystyle p (y) \ Delta S + {\ Big [} -p (y + \ Delta y) {\ Big]} \ Delta S = {\ Biggl [} p (y) - {\ Big (} p (y) + {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} \ Delta y {\ Big)} {\ Biggl]} \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} \ Delta y \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} \ Delta V}$ ${\ displaystyle p (y) \ Delta S + {\ Big [} -p (y + \ Delta y) {\ Big]} \ Delta S = {\ Biggl [} p (y) - {\ Big (} p (y) + {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} \ Delta y {\ Big)} {\ Biggl]} \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} \ Delta y \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} \ Delta V}$

$p(z)\Delta S+{\Big [}-p(z+\Delta z){\Big ]}\Delta S={\Biggl [}p(z)-{\Big (}p(z)+{\frac {\partial p}{\partial z}}\Delta z{\Big )}{\Biggl ]}\Delta S=-{\frac {\partial p}{\partial z}}\Delta z\Delta S=-{\frac {\partial p}{\partial z}}\Delta V$ ${\ displaystyle p (z) \ Delta S + {\ Big [} -p (z + \ Delta z) {\ Big]} \ Delta S = {\ Biggl [} p (z) - {\ Big (} p (z) + {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ Delta z {\ Big)} {\ Biggl]} \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ Delta z \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ Delta V}$ ${\ displaystyle p (z) \ Delta S + {\ Big [} -p (z + \ Delta z) {\ Big]} \ Delta S = {\ Biggl [} p (z) - {\ Big (} p (z) + {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ Delta z {\ Big)} {\ Biggl]} \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ Delta z \ Delta S = - {\ frac {\ partial p} {\ partial z}} \ Delta V}$

Acest lucru poate fi rezumat într-o singură expresie, adică considerând forța vectorial ca suma componentelor de pe axe: $F_{p}=-\nabla p\Delta V$ ${\ displaystyle F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V}$ ${\ displaystyle F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V}$ .

Forțe de volum

Amintind a doua lege a dinamicii, rezultanta forțelor de volum este: $F_{v}=\Delta m\cdot a=\rho \Delta V\cdot a$ ${\ displaystyle F_ {v} = \ Delta m \ cdot a = \ rho \ Delta V \ cdot a}$ ${\ displaystyle F_ {v} = \ Delta m \ cdot a = \ rho \ Delta V \ cdot a}$ .

Observații finale

Ecuația globală

Ecuația fundamentală a hidrostaticii exprimă conservarea impulsului global într-un volum finit în care legea lui Pascal este valabilă, prin urmare admite discontinuitatea integrabilă a densității integrante, a accelerației externe și a gradientului de presiune . Pentru a obține această expresie, este suficient să observați rezultatele obținute mai sus și să le înlocuiți în expresia generalizată $F_{p}+F_{v}=0$ ${\ displaystyle F_ {p} + F_ {v} = 0}$ ${\ displaystyle F_ {p} + F_ {v} = 0}$ .

${\textstyle {\begin{cases}F_{v}+F_{p}=0\\F_{p}=-\nabla p\Delta V\\F_{v}=\rho \Delta V\cdot a\end{cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = \ rho \ Delta V \ cdot a \ sfârșit {cazuri}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = \ rho \ Delta V \ cdot a \ sfârșit {cazuri}}}$

Din aceasta obținem: $-\nabla p+a\rho =0$ ${\ displaystyle - \ nabla p + a \ rho = 0}$ ${\ displaystyle - \ nabla p + a \ rho = 0}$ . Această ecuație este definită global și stabilește că rezultanta forțelor de volum ale unui fluid static este egală și opusă forței care acționează pe suprafața care o delimitează, logic din exterior către interior. Din aceasta derivă legea lui Arhimede .

În caz de putere conservatoare a volumului, este posibil să se facă un studiu suplimentar al acestei expresii. Știind că $F_{v}=\Delta m\cdot a=-\nabla E_{p}=-\nabla \Phi \cdot \Delta m$ ${\ displaystyle F_ {v} = \ Delta m \ cdot a = - \ nabla E_ {p} = - \ nabla \ Phi \ cdot \ Delta m}$ ${\ displaystyle F_ {v} = \ Delta m \ cdot a = - \ nabla E_ {p} = - \ nabla \ Phi \ cdot \ Delta m}$ , noi obținem: $\nabla p+\rho \nabla \Phi =0$ ${\ displaystyle \ nabla p + \ rho \ nabla \ Phi = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla p + \ rho \ nabla \ Phi = 0}$ , unde este $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Phi}$ este energia potențială pe unitate de masă.

Ecuație locală

Legea lui Stevino este o aplicație a condiției echilibrului static cu forțe de volum conservatoare: ea, de fapt, are în vedere acțiunea câmpului gravitațional asupra unui fluid. Urmează considerații numerice:

$\nabla p+\rho \nabla \Phi =0$ ${\ displaystyle \ nabla p + \ rho \ nabla \ Phi = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla p + \ rho \ nabla \ Phi = 0}$

$\nabla p+\rho g=0$ ${\ displaystyle \ nabla p + \ rho g = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla p + \ rho g = 0}$

${\frac {\partial p}{\partial h}}=-\rho g$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial h}} = - \ rho g}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial p} {\ partial h}} = - \ rho g}$

$\int _{p_{1}}^{p_{2}}dp=-\int _{h_{1}}^{h_{2}}\rho gdh=\int _{h_{2}}^{h_{1}}\rho gdh$ ${\ displaystyle \ int _ {p_ {1}} ^ {p_ {2}} dp = - \ int _ {h_ {1}} ^ {h_ {2}} \ rho gdh = \ int _ {h_ {2} } ^ {h_ {1}} \ rho gdh}$ ${\ displaystyle \ int _ {p_ {1}} ^ {p_ {2}} dp = - \ int _ {h_ {1}} ^ {h_ {2}} \ rho gdh = \ int _ {h_ {2} } ^ {h_ {1}} \ rho gdh}$

Ultima expresie se numește forma locală și este valabilă în punctele de continuitate a densității integranților, accelerației externe și gradientului de presiune și poate fi obținută din legea lui Pascal și din conservarea impulsului local ^[1] . Dacă densitatea și accelerația gravitației sunt omogene în domeniu, ecuația se traduce prin:

$\Delta p=\rho g\Delta h$ ${\ displaystyle \ Delta p = \ rho g \ Delta h}$ ${\ displaystyle \ Delta p = \ rho g \ Delta h}$

Numai în caz $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este constant, fluidul nu mai poate fi tratat ca incompresibil; știind că masa se păstrează $m=\rho _{0}V_{0}=\rho V$ ${\ displaystyle m = \ rho _ {0} V_ {0} = \ rho V}$ ${\ displaystyle m = \ rho _ {0} V_ {0} = \ rho V}$ și că modulul de compresibilitate se menține $K=-V{\frac {\partial p}{\partial V}}$ ${\ displaystyle K = -V {\ frac {\ partial p} {\ partial V}}}$ ${\ displaystyle K = -V {\ frac {\ partial p} {\ partial V}}}$ , urmează considerații matematice:

$K=-V_{0}{\frac {\Delta p}{\Delta V}}$ ${\ displaystyle K = -V_ {0} {\ frac {\ Delta p} {\ Delta V}}}$ ${\ displaystyle K = -V_ {0} {\ frac {\ Delta p} {\ Delta V}}}$

$\Delta V=-{\frac {V_{0}}{K}}\Delta p$ ${\ displaystyle \ Delta V = - {\ frac {V_ {0}} {K}} \ Delta p}$ ${\ displaystyle \ Delta V = - {\ frac {V_ {0}} {K}} \ Delta p}$

$V=V_{0}{\Big (}1-{\frac {p-p_{0}}{K}}{\Big )}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} {\ Big (} 1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}} {\ Big)}}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} {\ Big (} 1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}} {\ Big)}}$ , această expresie o pot înlocui în condiția conservării masei;

$m=\rho _{0}V_{0}=\rho V=\rho V_{0}{\Big (}1-{\frac {p-p_{0}}{K}}{\Big )}$ ${\ displaystyle m = \ rho _ {0} V_ {0} = \ rho V = \ rho V_ {0} {\ Big (} 1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}} {\ Mare)}}$ ${\ displaystyle m = \ rho _ {0} V_ {0} = \ rho V = \ rho V_ {0} {\ Big (} 1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}} {\ Mare)}}$

$\rho =-{\frac {\rho _{0}}{1-{\frac {p-p_{0}}{K}}}}$ ${\ displaystyle \ rho = - {\ frac {\ rho _ {0}} {1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}}}}}$ ${\ displaystyle \ rho = - {\ frac {\ rho _ {0}} {1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}}}}}$

După ce am găsit expresia densității pe măsură ce presiunea variază, integralul formei locale poate fi calculat:

${\frac {dp}{dh}}=-{\frac {\rho _{0}}{1-{\frac {p-p_{0}}{K}}}}g$ ${\ displaystyle {\ frac {dp} {dh}} = - {\ frac {\ rho _ {0}} {1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}}}} g}$ ${\ displaystyle {\ frac {dp} {dh}} = - {\ frac {\ rho _ {0}} {1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}}}} g}$

$\int _{p}^{p_{0}}{\Big (}1-{\frac {p-p_{0}}{K}}{\Big )}dp=-\int _{h_{1}}^{h_{2}}\rho _{0}gdh=\int _{h_{2}}^{h_{1}}\rho _{0}gdh$ ${\ displaystyle \ int _ {p} ^ {p_ {0}} {\ Big (} 1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}} {\ Big)} dp = - \ int _ { h_ {1}} ^ {h_ {2}} \ rho _ {0} gdh = \ int _ {h_ {2}} ^ {h_ {1}} \ rho _ {0} gdh}$ ${\ displaystyle \ int _ {p} ^ {p_ {0}} {\ Big (} 1 - {\ frac {p-p_ {0}} {K}} {\ Big)} dp = - \ int _ { h_ {1}} ^ {h_ {2}} \ rho _ {0} gdh = \ int _ {h_ {2}} ^ {h_ {1}} \ rho _ {0} gdh}$

$p-p_{0}-{\frac {1}{2K}}(p-p_{0})^{2}=\rho _{0}g\Delta h$ ${\ displaystyle p-p_ {0} - {\ frac {1} {2K}} (p-p_ {0}) ^ {2} = \ rho _ {0} g \ Delta h}$ ${\ displaystyle p-p_ {0} - {\ frac {1} {2K}} (p-p_ {0}) ^ {2} = \ rho _ {0} g \ Delta h}$

Legea lui Pascal

Același subiect în detaliu: legea lui Pascal .

Principiul lui Pascal sau legea lui Pascal este o lege a mecanicii fluidelor care stabilește că, atunci când există o creștere a presiunii într-un punct al unui fluid limitat, această creștere este transmisă și în fiecare punct al fluidului din interiorul containerului cu aceeași intensitate, dar întotdeauna într-o direcție perpendiculară pe peretele recipientului pe care fluidul exercită presiunea.

Principiul lui Arhimede

Același subiect în detaliu: principiul lui Arhimede .

Într-un fluid în echilibru sub acțiunea gravitației, un volum finit de fluid este ideal izolat $\Delta V$ ${\ displaystyle \ Delta V}$ $\ Delta V$ . Rezultatul forțelor de presiune exercitate de restul fluidului pe partea izolată este egal și opus forței de greutate a acestuia. Acest principiu este cunoscut sub numele de „principiul Arhimede”.

Echilibrul non-inerțial

Fluid în mișcare rectilinie accelerată uniform

Luați în considerare un fluid (în special un lichid) într-un vas uniform accelerat. Fiecare element lichid descrie o traiectorie rectilinie și, prin urmare, este supus unei forțe paralele cu traiectoria însăși egală cu $\Delta m\cdot a_{t}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot a_ {t}}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot a_ {t}}$ . Pentru a înțelege fenomenul, se face referire la sistemul concordant cu lichidul accelerat, pentru care lichidul se află în echilibru static sub acțiunea forțelor de volum, $\Delta m\cdot g$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot g}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot g}$ Și $\Delta m\cdot a_{t}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot a_ {t}}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot a_ {t}}$ , și forțele de presiune datorate elementelor lichide din jur.

Odată stabilite condițiile limită, este posibil să se obțină următoarele considerații matematice:

${\textstyle {\begin{cases}F_{v}+F_{p}=0\\F_{p}=-\nabla p\Delta V\\F_{v}=\Delta m\cdot g-\Delta m\cdot a_{t}\end{cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = \ Delta m \ cdot g- \ Delta m \ cdot a_ {t} \ end {cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = \ Delta m \ cdot g- \ Delta m \ cdot a_ {t} \ end {cases}}}$

Mai mult, se presupune că forțele de volum implicate sunt conservatoare, deci obținem:

${\textstyle {\begin{cases}F_{v}+F_{p}=0\\F_{p}=-\nabla p\Delta V\\F_{v}=-\nabla E_{p}=-\nabla {\Big (}\Delta m\cdot gh+\Delta m\cdot a_{t}x{\Big )}\end{cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = - \ nabla E_ {p} = - \ nabla {\ Big (} \ Delta m \ cdot gh + \ Delta m \ cdot a_ {t} x {\ Big)} \ end {cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = - \ nabla E_ {p} = - \ nabla {\ Big (} \ Delta m \ cdot gh + \ Delta m \ cdot a_ {t} x {\ Big)} \ end {cases}}}$

În concluzie, din acest sistem este posibil să se obțină starea de echilibru static a unui fluid rotativ: $\nabla {\Big (}p+\rho gh+\rho a_{t}x{\Big )}=0$ ${\ displaystyle \ nabla {\ Big (} p + \ rho gh + \ rho a_ {t} x {\ Big)} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ Big (} p + \ rho gh + \ rho a_ {t} x {\ Big)} = 0}$ , sau asta $p+\rho gh+\rho a_{t}x=cost$ ${\ displaystyle p + \ rho gh + \ rho a_ {t} x = cost}$ ${\ displaystyle p + \ rho gh + \ rho a_ {t} x = cost}$ . Pentru a găsi ecuația suprafețelor izobarice și, prin urmare, izopotențiale, este necesar să se considere constantă presiunea de-a lungul acestora; procedând astfel se obține $h=-{\frac {a_{t}}{g}}x+h_{0}$ ${\ displaystyle h = - {\ frac {a_ {t}} {g}} x + h_ {0}}$ ${\ displaystyle h = - {\ frac {a_ {t}} {g}} x + h_ {0}}$ . Termenul $h_{0}$ ${\ displaystyle h_ {0}}$ $h_0$ indică înălțimea maximă a lichidului antrenat și pentru a găsi valoarea acestuia, volumul inițial (lichidul static care nu este în mișcare) trebuie să fie egal cu volumul lichidului antrenat. Presupunând că recipientul este cubic cu o margine $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ primesti:

$l^{2}d=\int _{0}^{l}l^{2}h(x)dx$ ${\ displaystyle l ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {l} l ^ {2} h (x) dx}$ ${\ displaystyle l ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {l} l ^ {2} h (x) dx}$

$l^{2}d=\int _{0}^{l}l^{2}(-{\frac {a_{t}}{g}}x+h_{0})dx$ ${\ displaystyle l ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {l} l ^ {2} (- {\ frac {a_ {t}} {g}} x + h_ {0}) dx}$ ${\ displaystyle l ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {l} l ^ {2} (- {\ frac {a_ {t}} {g}} x + h_ {0}) dx}$

$l^{2}d=l^{2}{\Big (}-{\frac {a_{t}}{2g}}l^{2}+h_{0}l{\Big )}$ ${\ displaystyle l ^ {2} d = l ^ {2} {\ Big (} - {\ frac {a_ {t}} {2g}} l ^ {2} + h_ {0} l {\ Big)} }$ ${\ displaystyle l ^ {2} d = l ^ {2} {\ Big (} - {\ frac {a_ {t}} {2g}} l ^ {2} + h_ {0} l {\ Big)} }$

$h_{0}={\frac {d+{\frac {a_{t}}{2g}}l^{2}}{l}}={\frac {d}{l}}+{\frac {a_{t}}{2g}}l$ ${\ displaystyle h_ {0} = {\ frac {d + {\ frac {a_ {t}} {2g}} l ^ {2}} {l}} = {\ frac {d} {l}} + { \ frac {a_ {t}} {2g}} l}$ ${\ displaystyle h_ {0} = {\ frac {d + {\ frac {a_ {t}} {2g}} l ^ {2}} {l}} = {\ frac {d} {l}} + { \ frac {a_ {t}} {2g}} l}$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este nivelul lichidului static din containerul cubic din colț $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ .

În rezumat, ecuația suprafețelor izobare și izopotențiale ale unui fluid antrenat cu accelerație constantă este următoarea:

$h={\frac {a_{t}(l-2x)}{2g}}+{\frac {d}{l}}$ ${\ displaystyle h = {\ frac {a_ {t} (l-2x)} {2g}} + {\ frac {d} {l}}}$ ${\ displaystyle h = {\ frac {a_ {t} (l-2x)} {2g}} + {\ frac {d} {l}}}$

Fluid rotativ

Luați în considerare un fluid (în special un lichid) într-un recipient cilindric rotit în raport cu axa cilindrului (viteza unghiulară $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ constant). Fiecare element lichid descrie o orbită circulară și, prin urmare, este supus unei forțe radiale, îndreptată spre axa de rotație, egală cu $\Delta m\cdot \omega ^{2}r$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r}$ , unde este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța elementului de masă $\Delta m$ ${\ displaystyle \ Delta m}$ ${\ displaystyle \ Delta m}$ de pe axa de rotație. Pentru a înțelege fenomenul, se face referire la sistemul concordant cu lichidul rotativ, pentru care lichidul se află în echilibru static sub acțiunea forțelor de volum, $\Delta m\cdot g$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot g}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot g}$ Și $\Delta m\cdot \omega ^{2}r$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r}$ ${\ displaystyle \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r}$ , și forțele de presiune datorate elementelor lichide din jur.

Odată stabilite condițiile limită, este posibil să se obțină următoarele considerații matematice:

${\textstyle {\begin{cases}F_{v}+F_{p}=0\\F_{p}=-\nabla p\Delta V\\F_{v}=\Delta m\cdot g-\Delta m\cdot \omega ^{2}r\end{cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = \ Delta m \ cdot g- \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r \ end {cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = \ Delta m \ cdot g- \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r \ end {cases}}}$

Mai mult, se presupune că forțele de volum implicate sunt conservatoare, deci obținem:

${\textstyle {\begin{cases}F_{v}+F_{p}=0\\F_{p}=-\nabla p\Delta V\\F_{v}=-\nabla E_{p}=-\nabla {\Big (}\Delta m\cdot gh-{\frac {1}{2}}\Delta m\cdot \omega ^{2}r^{2}{\Big )}\end{cases}}}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = - \ nabla E_ {p} = - \ nabla {\ Big (} \ Delta m \ cdot gh - {\ frac {1} {2}} \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r ^ {2} {\ Big)} \ end {cases} }}$ ${\ textstyle {\ begin {cases} F_ {v} + F_ {p} = 0 \\ F_ {p} = - \ nabla p \ Delta V \\ F_ {v} = - \ nabla E_ {p} = - \ nabla {\ Big (} \ Delta m \ cdot gh - {\ frac {1} {2}} \ Delta m \ cdot \ omega ^ {2} r ^ {2} {\ Big)} \ end {cases} }}$

În concluzie, din acest sistem este posibil să se obțină starea de echilibru static a unui fluid rotativ: $\nabla {\Big (}p+\rho gh-{\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}r^{2}{\Big )}=0$ ${\ displaystyle \ nabla {\ Big (} p + \ rho gh - {\ frac {1} {2}} \ rho \ omega ^ {2} r ^ {2} {\ Big)} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla {\ Big (} p + \ rho gh - {\ frac {1} {2}} \ rho \ omega ^ {2} r ^ {2} {\ Big)} = 0}$ , sau asta $p+\rho gh-{\frac {1}{2}}\rho \omega ^{2}r^{2}=cost$ ${\ displaystyle p + \ rho gh - {\ frac {1} {2}} \ rho \ omega ^ {2} r ^ {2} = cost}$ ${\ displaystyle p + \ rho gh - {\ frac {1} {2}} \ rho \ omega ^ {2} r ^ {2} = cost}$ . Pentru a găsi ecuația suprafețelor izobarice și, prin urmare, izopotențiale, este necesar să se considere constantă presiunea de-a lungul acestora; procedând astfel se obține $h={\frac {\omega ^{2}r^{2}}{2g}}+h_{0}$ ${\ displaystyle h = {\ frac {\ omega ^ {2} r ^ {2}} {2g}} + h_ {0}}$ ${\ displaystyle h = {\ frac {\ omega ^ {2} r ^ {2}} {2g}} + h_ {0}}$ . Termenul $h_{0}$ ${\ displaystyle h_ {0}}$ $h_0$ indică minimul parabolei identificat prin secționarea lichidului rotativ și pentru a găsi valoarea acestuia, volumul inițial (lichidul static nu este în mișcare) trebuie să fie egal cu volumul lichidului de rotație:

$\pi R^{2}d=\int _{0}^{R}2\pi r\cdot z(r)dr$ ${\ displaystyle \ pi R ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi r \ cdot z (r) dr}$ ${\ displaystyle \ pi R ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi r \ cdot z (r) dr}$

$\pi R^{2}d=\int _{0}^{R}2\pi r{\Big (}{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{2g}}+h_{0}{\Big )}dr$ ${\ displaystyle \ pi R ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi r {\ Big (} {\ frac {\ omega ^ {2} r ^ {2}} {2g} } + h_ {0} {\ Big)} dr}$ ${\ displaystyle \ pi R ^ {2} d = \ int _ {0} ^ {R} 2 \ pi r {\ Big (} {\ frac {\ omega ^ {2} r ^ {2}} {2g} } + h_ {0} {\ Big)} dr}$

$h_{0}=d-{\frac {\omega ^{2}R^{2}}{4g}}$ ${\ displaystyle h_ {0} = d - {\ frac {\ omega ^ {2} R ^ {2}} {4g}}}$ ${\ displaystyle h_ {0} = d - {\ frac {\ omega ^ {2} R ^ {2}} {4g}}}$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este nivelul lichidului static din interiorul cilindrului e $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este raza cilindrului.

În rezumat, ecuația suprafețelor izobare și izopotențiale dintr-un fluid care se rotește la viteză unghiulară constantă este următoarea:

$h=d+{\frac {\omega ^{2}(2r^{2}-R^{2})}{4g}}$ ${\ displaystyle h = d + {\ frac {\ omega ^ {2} (2r ^ {2} -R ^ {2})} {4g}}}$ ${\ displaystyle h = d + {\ frac {\ omega ^ {2} (2r ^ {2} -R ^ {2})} {4g}}}$

Fenomene de suprafață

Tensiune de suprafata

Același subiect în detaliu: Tensiunea superficială .

În fizică, tensiunea superficială a unui fluid este tensiunea mecanică de coeziune a particulelor de pe suprafața sa externă. Modele matematice preluate din teoria cochiliei și știința construcțiilor arhitecturale se pot propune pentru a studia efectul tensiunii asupra formei meniscului fluid și a unei picături . Acesta corespunde microscopic densității suprafeței energiei de legătură la interfața dintre un corp continuu și un material de altă natură, cum ar fi un solid , un lichid sau un gaz . Prin urmare, nu poate fi asimilat dimensional unui efort intern (care este o forță dimensională pe unitate de suprafață): în sistemul internațional se măsoară în newtoni pe metru (N / m).

Din punct de vedere termodinamic , poate fi definită ca lucrarea necesară creșterii suprafeței continuumului cu o cantitate unitară.

Capilaritate

Același subiect în detaliu: Capilaritatea .

Capilaritatea este ansamblul de fenomene datorate interacțiunilor dintre moleculele unui lichid și un solid pe suprafața lor de separare. Forțele în joc care se manifestă în acest fenomen sunt coeziunea , aderența și tensiunea superficială .

Termodinamica

Primul principiu al termodinamicii declinat în hidrostatică se traduce printr-o convecție statică-conducere fără sursă de căldură:

S=\int _{V}{\bar {\bar {\sigma }}}:{\bar {\bar {0}}}-\rho \langle {\bar {v}}\rangle \cdot {\bar {0}}\operatorname {d} r^{3}=0

{\ displaystyle S = \ int _ {V} {\ bar {\ bar {\ sigma}}}: {\ bar {\ bar {0}}} - \ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot {\ bar {0}} \ operatorname {d} r ^ {3} = 0}

{\ displaystyle S = \ int _ {V} {\ bar {\ bar {\ sigma}}}: {\ bar {\ bar {0}}} - \ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot {\ bar {0}} \ operatorname {d} r ^ {3} = 0}

asa de:

{\frac {\partial U(T)}{\partial t}}+I(T)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U (T)} {\ partial t}} + I (T) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U (T)} {\ partial t}} + I (T) = 0}

adică prin explicarea celor doi termeni:

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\rho \varsigma _{v}T\operatorname {d} r^{3}+\oint _{\partial V}\rho \varsigma _{v}\left(\langle {\bar {v}}\rangle T-{\bar {\bar {d}}}_{T}\cdot \nabla T\right)\cdot {\operatorname {d} {\bar {r}}^{2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ rho \ varsigma _ {v} T \ operatorname {d} r ^ {3} + \ oint _ {\ partial V} \ rho \ varsigma _ {v} \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T \ right) \ cdot { \ operatorname {d} {\ bar {r}} ^ {2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ rho \ varsigma _ {v} T \ operatorname {d} r ^ {3} + \ oint _ {\ partial V} \ rho \ varsigma _ {v} \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T \ right) \ cdot { \ operatorname {d} {\ bar {r}} ^ {2}}}

și aplicarea teoremei divergenței :

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\rho \varsigma _{v}T\operatorname {d} r^{3}+\int _{V}\nabla \left(\rho \varsigma _{v}\right)\cdot \left(\langle {\bar {v}}\rangle T-{\bar {\bar {d}}}_{T}\cdot \nabla T\right)+\rho \varsigma _{v}\nabla \cdot \left(\langle {\bar {v}}\rangle T-{\bar {\bar {d}}}_{T}\cdot \nabla T\right)\operatorname {d} r^{3}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ rho \ varsigma _ {v} T \ operatorname {d} r ^ {3} + \ int _ {V} \ nabla \ left (\ rho \ varsigma _ {v} \ right) \ cdot \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T \ right) + \ rho \ varsigma _ {v} \ nabla \ cdot \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T \ right) \ operatorname {d} r ^ {3}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ rho \ varsigma _ {v} T \ operatorname {d} r ^ {3} + \ int _ {V} \ nabla \ left (\ rho \ varsigma _ {v} \ right) \ cdot \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T \ right) + \ rho \ varsigma _ {v} \ nabla \ cdot \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T \ right) \ operatorname {d} r ^ {3}}

sau prin aplicarea regulii Leibniz :

\int _{V}{\frac {\partial (\rho \varsigma _{v})}{\partial t}}T+\rho \varsigma _{v}{\frac {\partial T}{\partial t}}+\nabla \left(\rho \varsigma _{v}\right)\cdot \langle {\bar {v}}\rangle T-\nabla \left(\rho \varsigma _{v}\right)\cdot {\bar {\bar {d}}}_{T}\cdot \nabla T+\rho \varsigma _{v}\nabla \cdot (\langle {\bar {v}}\rangle T)-\rho \varsigma _{v}\nabla \cdot ({\bar {\bar {d}}}_{T}\cdot \nabla T)\operatorname {d} r^{3}

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ frac {\ partial (\ rho \ varsigma _ {v})} {\ partial t}} T + \ rho \ varsigma _ {v} {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} + \ nabla \ left (\ rho \ varsigma _ {v} \ right) \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle T- \ nabla \ left (\ rho \ varsigma _ {v } \ right) \ cdot {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T + \ rho \ varsigma _ {v} \ nabla \ cdot (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T) - \ rho \ varsigma _ {v} \ nabla \ cdot ({\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T) \ operatorname {d} r ^ {3}}

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ frac {\ partial (\ rho \ varsigma _ {v})} {\ partial t}} T + \ rho \ varsigma _ {v} {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} + \ nabla \ left (\ rho \ varsigma _ {v} \ right) \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle T- \ nabla \ left (\ rho \ varsigma _ {v } \ right) \ cdot {\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T + \ rho \ varsigma _ {v} \ nabla \ cdot (\ langle {\ bar {v}} \ rangle T) - \ rho \ varsigma _ {v} \ nabla \ cdot ({\ bar {\ bar {d}}} _ {T} \ cdot \ nabla T) \ operatorname {d} r ^ {3}}

și în cele din urmă, luând în considerare conservarea masei :

\int _{V}\rho \varsigma _{v}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\rho \varsigma _{v}{\bar {\bar {d}}}_{T}:\nabla ^{2}T+\left(\rho \varsigma _{v}\langle {\bar {v}}\rangle -\nabla \cdot (\rho \varsigma _{v}{\bar {\bar {d}}}_{T})\right)\cdot \nabla T+\rho \left({\frac {\partial (\varsigma _{v})}{\partial t}}+\langle {\bar {v}}\rangle \cdot \nabla (\varsigma _{v})\right)T\operatorname {d} r^{3}=0

{\ displaystyle \ int _ {V} \ rho \ varsigma _ {v} {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - \ rho \ varsigma _ {v} {\ bar {\ bar {d}} } _ {T}: \ nabla ^ {2} T + \ left (\ rho \ varsigma _ {v} \ langle {\ bar {v}} \ rangle - \ nabla \ cdot (\ rho \ varsigma _ {v} {\ bar {\ bar {d}}} _ {T}) \ right) \ cdot \ nabla T + \ rho \ left ({\ frac {\ partial (\ varsigma _ {v})} {\ partial t} } + \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ nabla (\ varsigma _ {v}) \ right) T \ operatorname {d} r ^ {3} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {V} \ rho \ varsigma _ {v} {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - \ rho \ varsigma _ {v} {\ bar {\ bar {d}} } _ {T}: \ nabla ^ {2} T + \ left (\ rho \ varsigma _ {v} \ langle {\ bar {v}} \ rangle - \ nabla \ cdot (\ rho \ varsigma _ {v} {\ bar {\ bar {d}}} _ {T}) \ right) \ cdot \ nabla T + \ rho \ left ({\ frac {\ partial (\ varsigma _ {v})} {\ partial t} } + \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ nabla (\ varsigma _ {v}) \ right) T \ operatorname {d} r ^ {3} = 0}

care în punctele de continuitate a tuturor mărimilor implicate în integrare devine ecuația omogenă de reacție-transport-difuzie :

{\frac {\partial T}{\partial t}}-{\bar {\bar {d}}}_{T}:\nabla ^{2}T+{\bar {c}}_{T}\cdot \nabla T+f_{T}T=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T}: \ nabla ^ {2} T + {\ bar {c}} _ {T} \ cdot \ nabla T + f_ {T} T = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - {\ bar {\ bar {d}}} _ {T}: \ nabla ^ {2} T + {\ bar {c}} _ {T} \ cdot \ nabla T + f_ {T} T = 0}

unde este:

${\bar {\bar {d}}}_{T}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {d}}} _ {T}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ bar {d}}} _ {T}}$ este tensorul de difuzivitate termică (generic, nu numai hidrostatic)

${\bar {c}}_{T}=\left(\langle {\bar {v}}\rangle -{\frac {\nabla \cdot (\rho \varsigma _{v}{\bar {\bar {d}}}_{T})}{\rho \varsigma _{v}}}\right)$ ${\ displaystyle {\ bar {c}} _ {T} = \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle - {\ frac {\ nabla \ cdot (\ rho \ varsigma _ {v} {\ bar {\ bar {d}}} _ {T})} {\ rho \ varsigma _ {v}}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ bar {c}} _ {T} = \ left (\ langle {\ bar {v}} \ rangle - {\ frac {\ nabla \ cdot (\ rho \ varsigma _ {v} {\ bar {\ bar {d}}} _ {T})} {\ rho \ varsigma _ {v}}} \ right)}$ este vectorul de transport termic (generic, nu numai hidrostatic)

$f_{T}=\left({\frac {1}{\varsigma }}_{v}{\frac {\partial (\varsigma _{v})}{\partial t}}+{\frac {\langle {\bar {v}}\rangle }{\varsigma _{v}}}\cdot \nabla (\varsigma _{v})\right)$ ${\ displaystyle f_ {T} = \ left ({\ frac {1} {\ varsigma}} _ {v} {\ frac {\ partial (\ varsigma _ {v})} {\ partial t}} + {\ frac {\ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ varsigma _ {v}}} \ cdot \ nabla (\ varsigma _ {v}) \ right)}$ ${\ displaystyle f_ {T} = \ left ({\ frac {1} {\ varsigma}} _ {v} {\ frac {\ partial (\ varsigma _ {v})} {\ partial t}} + {\ frac {\ langle {\ bar {v}} \ rangle} {\ varsigma _ {v}}} \ cdot \ nabla (\ varsigma _ {v}) \ right)}$ este reactivitatea termică hidrostatică, mai simplă decât în cazul general.

Exemple

Fluid incompresibil în repaus într-un câmp gravitațional uniform

Notare : în exemplul următor, axa spațială va fi orientată în conformitate cu cea a accelerației gravitaționale externe (vertical în jos: z crește pe măsură ce coborâți).

Deoarece fluidul este incompresibil, acesta transmite integral eforturile. Presiunea , la o adâncime z, rezultă deci din presiunea p ₀ exercitată de aer la suprafață și din greutatea p a coloanei de apă de deasupra membranei.

Să presupunem că membrana este orizontală și orientată în sus și că aria sa este S. Coloana de apă situată deasupra are volumul S z, deci masa ρ S z dacă ρ este densitatea apei. Prin urmare, greutatea apei este:

p=\rho \cdot g\cdot (S\cdot z)

{\ displaystyle p = \ rho \ cdot g \ cdot (S \ cdot z)}

{\ displaystyle p = \ rho \ cdot g \ cdot (S \ cdot z)}

unde g este accelerația gravitației și membrana este, prin urmare, supusă unei forțe F

F=p_{0}\cdot S+\rho \cdot g\cdot (S\cdot z)

{\ displaystyle F = p_ {0} \ cdot S + \ rho \ cdot g \ cdot (S \ cdot z)}

{\ displaystyle F = p_ {0} \ cdot S + \ rho \ cdot g \ cdot (S \ cdot z)}

p={\frac {F}{S}}=p_{0}+\rho \cdot g\cdot z

{\ displaystyle p = {\ frac {F} {S}} = p_ {0} + \ rho \ cdot g \ cdot z}

{\ displaystyle p = {\ frac {F} {S}} = p_ {0} + \ rho \ cdot g \ cdot z}

Această variație a presiunii în funcție de adâncime ( Legea lui Stevin ) creează impulsul lui Arhimede .

Atunci când considerăm variații mari de altitudine, nu mai putem considera câmpul gravitațional ca fiind constant, deci g depinde de z. Și din moment ce fluidul este un gaz , acesta nu mai poate fi considerat incompresibil, deci ρ depinde de z; dar fenomenul este sensibil doar pentru variații semnificative de presiune și, din moment ce ρ este mic în cazul unui gaz, în acest caz apar doar variații suficient de mari ale z.

Local, pentru mici variații dz de z, putem scrie în continuare:

p(z+dz)=p(z)+\rho (z)\cdot g(z)\cdot dz

{\ displaystyle p (z + dz) = p (z) + \ rho (z) \ cdot g (z) \ cdot dz}

{\ displaystyle p (z + dz) = p (z) + \ rho (z) \ cdot g (z) \ cdot dz}

Prin urmare, este necesar să se integreze această ecuație:

p(Z)=p(z_{0})+\int _{0}^{z_{0}}\rho (z)\cdot g(z)\cdot dz

{\ displaystyle p (Z) = p (z_ {0}) + \ int _ {0} ^ {z_ {0}} \ rho (z) \ cdot g (z) \ cdot dz}

{\ displaystyle p (Z) = p (z_ {0}) + \ int _ {0} ^ {z_ {0}} \ rho (z) \ cdot g (z) \ cdot dz}

dacă legea gazului este cunoscută, de exemplu dacă este un gaz ideal , atunci pentru o masă dată m de gaz, se poate obține volumul V la presiunea p și, prin urmare, densitatea ρ la presiunea p:

\rho =\rho _{0}\cdot {\frac {p}{p_{0}}}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} \ cdot {\ frac {p} {p_ {0}}}}

{\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} \ cdot {\ frac {p} {p_ {0}}}}

dacă ρ _{0 și} p ₀ sunt valori la o altitudine de referință z ₀ .

În cazul atmosferei , este necesar, de asemenea, să se ia în considerare variația temperaturii și a compoziției cu altitudinea.

Împingeți pe o suprafață plană

Să considerăm o suprafață S situată pe un plan înclinat al unui unghi α pe orizontală; pe această suprafață acționează presiunea unui lichid cu o greutate specifică γ, aceasta este responsabilă pentru un plan de sarcini hidrostatice. Forțele exercitate de lichid pe fiecare element infinitesimal al suprafeței plane sunt valabile:

dF=p\cdot n\cdot dA=\gamma \cdot h\cdot n\cdot dA

{\ displaystyle dF = p \ cdot n \ cdot dA = \ gamma \ cdot h \ cdot n \ cdot dA}

{\ displaystyle dF = p \ cdot n \ cdot dA = \ gamma \ cdot h \ cdot n \ cdot dA}

Deoarece toate aceste forțe infinitesimale sunt paralele una cu cealaltă, ele admit posibilitatea de a fi integrate și vor avea un impuls total S care va fi direct normal la suprafață, care este:

F=\int _{A}^{}p\,dA=\int _{A}^{}\gamma h\,dA

{\ displaystyle F = \ int _ {A} ^ {} p \, dA = \ int _ {A} ^ {} \ gamma h \, dA}

{\ displaystyle F = \ int _ {A} ^ {} p \, dA = \ int _ {A} ^ {} \ gamma h \, dA}

Linia care intersectează planul sarcinilor hidrostatice cu planul suprafeței se numește linie de bancă.

\int _{A}^{}\gamma h\,dA=\int _{A}^{}\gamma x\sin \alpha \,dA=\gamma x_{0}A\sin \alpha =\gamma h_{0}A

\int _{A}^{}\gamma h\,dA=\int _{A}^{}\gamma x\sin \alpha \,dA=\gamma x_{0}A\sin \alpha =\gamma h_{0}A

\int _{A}^{}\gamma h\,dA=\int _{A}^{}\gamma x\sin \alpha \,dA=\gamma x_{0}A\sin \alpha =\gamma h_{0}A

F=\gamma h_{0}A=p_{0}A

F=\gamma h_{0}A=p_{0}A

F=\gamma h_{0}A=p_{0}A

In altre parole la spinta su una generica superficie piana è una forza normale diretta alla superficie stessa con un modulo pari al prodotto della pressione $p_{0}$ $p_{0}$ $p_{0}$ nel suo baricentro per l'area della superficie.

È possibile ricavare:

F=\gamma h_{0}A=\gamma x_{0}A\sin \alpha =\gamma M\sin \alpha

F=\gamma h_{0}A=\gamma x_{0}A\sin \alpha =\gamma M\sin \alpha

F=\gamma h_{0}A=\gamma x_{0}A\sin \alpha =\gamma M\sin \alpha

Dove M è il momento meccanico di A rispetto alla linea di sponda.

Per poter calcolare il punto d'applicazione della spinta, cioè il centro di spinta , dobbiamo considerare due assi cartesiani, quello x coincide con una retta di massima pendenza del piano dove giace la superficie, e quello y coincidente con la retta di sponda. Le coordinate $x^{'}$ ${\displaystyle x'}$ $x'$ ed $y^{'}$ ${\displaystyle y'}$ $y'$ del centro di spinta rispetto al sistema di riferimento considerato sopra, si possono ricavare uguagliando i momenti delle risultanti attraverso gli integrali dei momenti delle spinte elementari. Poiché le forze sono parallele, l'equilibrio sarà dato da:

F\cdot x'=\int _{A}^{}px\,dA=\int _{A}^{}\gamma hx\,dA=\gamma \sin \alpha \int _{A}^{}x^{2}\,dA

F\cdot x'=\int _{A}^{}px\,dA=\int _{A}^{}\gamma hx\,dA=\gamma \sin \alpha \int _{A}^{}x^{2}\,dA

F\cdot x'=\int _{A}^{}px\,dA=\int _{A}^{}\gamma hx\,dA=\gamma \sin \alpha \int _{A}^{}x^{2}\,dA

F\cdot y'=\int _{A}^{}py\,dA=\int _{A}^{}\gamma hy\,dA=\gamma \sin \alpha \int _{A}^{}xy\,dA

F\cdot y'=\int _{A}^{}py\,dA=\int _{A}^{}\gamma hy\,dA=\gamma \sin \alpha \int _{A}^{}xy\,dA

F\cdot y'=\int _{A}^{}py\,dA=\int _{A}^{}\gamma hy\,dA=\gamma \sin \alpha \int _{A}^{}xy\,dA

Se consideriamo i due momenti di inerzia:

I : momento d'inerzia della superficie A rispetto alla linea di sponda
I _xy : momento centrifugo della superficie A rispetto agli assi x ed y

Possiamo scrivere:

x'={I \over M}

x'={I \over M}

x'={I \over M}

y'={I_{xy} \over M}

y'={I_{xy} \over M}

y'={I_{xy} \over M}

Queste ultime formule ci mostrano:

y' si annulla nel caso in cui l'asse x fosse di simmetria rispetto alla superficie A; in altre parole nel caso la superficie ammettesse una asse di simmetria coincidente con una linea di massima pendenza, allora il centro di spinta sarebbe qui;
Le coordinate del centro di spinta sono indipendenti dall'inclinazione della superficie α, difatti rimane inalterata se la superficie ruota attorno alla linea di sponda;
Il baricentro è sempre più vicino dalla linea di sponda, rispetto al centro di spinta; per dimostrare questo, se consideriamo I ₀ il momento d'inerzia della superficie rispetto al baricentro, parallelo alla retta di sponda, avremo:

I=I_{0}+Ax_{1}^{2}

I=I_{0}+Ax_{1}^{2}

I=I_{0}+Ax_{1}^{2}

x_{0}={I_{0} \over M}+x_{1}>x_{1}

x_{0}={I_{0} \over M}+x_{1}>x_{1}

x_{0}={I_{0} \over M}+x_{1}>x_{1}

Applicazioni

Spinta su una superficie inclinata

Se consideriamo una superficie rettangolare con due lati orizzontali di lunghezza L, indicando con x una coordinata sulla linea di massima pendenza della superficie, il modulo della spinta lo possiamo scrivere come:

F=L\int _{z_{1}}^{z_{2}}p\,dz

F=L\int _{z_{1}}^{z_{2}}p\,dz

F=L\int _{z_{1}}^{z_{2}}p\,dz

Dove integrando rappresentiamo l'area del diagramma delle pressione lungo una delle linee di massima pendenza. Integrando:

F={\gamma L \over 2\sin \alpha }(z_{2}^{2}-z_{1}^{2})

F={\gamma L \over 2\sin \alpha }(z_{2}^{2}-z_{1}^{2})

F={\gamma L \over 2\sin \alpha }(z_{2}^{2}-z_{1}^{2})

dove:

α indica l'angolo tra il piano della superficie con l'orizzontale
hz ₁ ed z ₂ sono gli affondamenti dei lati orizzontali che sono sotto il piano dei carichi idrostatici.

Nel caso che il lato superiore del rettangolo è sul piano dei carichi idrostatici, cioè nel caso in cui h ₁ sia uguale a 0:

F={\gamma Lh_{2}^{2} \over 2\sin \alpha }={\frac {1}{2}}\gamma Lb^{2}\sin {\alpha }

F={\gamma Lh_{2}^{2} \over 2\sin \alpha }={\frac {1}{2}}\gamma Lb^{2}\sin {\alpha }

F={\gamma Lh_{2}^{2} \over 2\sin \alpha }={\frac {1}{2}}\gamma Lb^{2}\sin {\alpha }

Per calcolare quindi il punto di applicazione della spinta:

x_{0}={\frac {b}{6}}

x_{0}={\frac {b}{6}}

x_{0}={\frac {b}{6}}

x_{1}+x_{0}={\frac {2}{3}}b

x_{1}+x_{0}={\frac {2}{3}}b

x_{1}+x_{0}={\frac {2}{3}}b

Spinta su superfici curve

A differenza delle superfici piane, nel caso di superfici curve le spinte sui punti infinitesimi non sempre sono parallele tra di loro. La loro somma non è in generale riconducibile ad un'unica forza, ma a due forze una verticale ed una orizzontale. Si prende una terna cartesiana con due assi su un piano orizzontale, x ed y , ed un terzo verticale z ; la spinta in ogni punto infinitesimo sarà:

dF=p\mathbf {n} dS

dF=p\mathbf {n} dS

dF=p\mathbf {n} dS

Scomponendolo nelle tre direzioni avremo:

dF_{x}=p\cos {\hat {nx}}dS

dF_{x}=p\cos {\hat {nx}}dS

dF_{x}=p\cos {\hat {nx}}dS

dF_{y}=p\cos {\hat {ny}}dS

dF_{y}=p\cos {\hat {ny}}dS

dF_{y}=p\cos {\hat {ny}}dS

dF_{z}=p\cos {\hat {nz}}dS

dF_{z}=p\cos {\hat {nz}}dS

dF_{z}=p\cos {\hat {nz}}dS

Dove $\cos {\hat {nx}},\cos {\hat {ny}}e\cos {\hat {nz}}$ $\cos {\hat {nx}},\cos {\hat {ny}}e\cos {\hat {nz}}$ $\cos {\hat {nx}},\cos {\hat {ny}}e\cos {\hat {nz}}$ sono le proiezioni di dS _x , dS _y e dS _z dell'infinitesima area dS sui tre piani che hanno per normale gli assi x, ye z. Possiamo anche scriverli come:

dF_{x}=pdS_{x}

dF_{x}=pdS_{x}

dF_{x}=pdS_{x}

dF_{y}=pdS_{y}

dF_{y}=pdS_{y}

dF_{y}=pdS_{y}

dF_{z}=pdS_{z}

dF_{z}=pdS_{z}

dF_{z}=pdS_{z}

Se sommiamo tutte le componenti elementari dell'intera superficie:

F_{x}=\int _{S_{x}}^{}p\,dS_{x}=\gamma h_{x}S_{x}

F_{x}=\int _{S_{x}}^{}p\,dS_{x}=\gamma h_{x}S_{x}

F_{x}=\int _{S_{x}}^{}p\,dS_{x}=\gamma h_{x}S_{x}

F_{y}=\int _{S_{y}}^{}p\,dS_{y}=\gamma h_{y}S_{y}

F_{y}=\int _{S_{y}}^{}p\,dS_{y}=\gamma h_{y}S_{y}

F_{y}=\int _{S_{y}}^{}p\,dS_{y}=\gamma h_{y}S_{y}

F_{z}=\int _{S_{z}}^{}p\,dS_{z}=\gamma W

F_{z}=\int _{S_{z}}^{}p\,dS_{z}=\gamma W

F_{z}=\int _{S_{z}}^{}p\,dS_{z}=\gamma W

Che ci dice:

Le componenti F _x ed F _y sono uguali a quelle agenti sulle superfici piane verticali, S _x e S _y ; che sono le proiezioni della superficie curva sui piani xz ed yz aventi per normali gli assi x ed y ;
F _z è il peso del volume W del fluido, limitata dai piani dei carichi idrostatici e dalla superficie curva.

La forza verticale sarà data dal modulo:

F_{v}=F_{z}

F_{v}=F_{z}

F_{v}=F_{z}

Possiamo comporre le due forse F _x ed F _y grazie al teorema di Pitagora , per trovare la forza orizzontale.

F_{0}={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}

F_{0}={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}

F_{0}={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}

La spinta totale può essere ricondotta al semplice calcolo di due spinte su superfici piane e determinando il peso di un volume del fluido. Nel caso in cui la superficie curva avesse una linea di contorno contenuta in un piano, la spinta esercitata su di essa sarà individuata applicando l'equazione globale dell'equilibrio statico al volume in esame.

Note

^ Non coinvolgendo alcuna derivata temporale , l'equazione assume un'unica espressione e non una lagrangiana e una euleriana

Bibliografia

( EN ) William Henry Besant, Elementary hydrostatics , Cambridge, Deighton, 1882.
( EN ) George Greenhill, A treatise on hydrostatics , Londra, MacMillan, 1894.
( EN ) George Minchin, A treatise on hydrostatics vol. 1. Containing the more elementary part of the subject , Oxford, Clarendon Press, 1912.
( EN ) George Minchin, A treatise on hydrostatics vol. 2. Containing the more advanced part of the subject , Oxford, Clarendon Press, 1912.
Duilio Citrini e Giorgio Noseda, Idraulica , Cesano Boscono, Casa Editrice Ambrosiana, 1987.

Voci correlate

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario « idrostatica »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su idrostatica

Collegamenti esterni

( EN ) Fluidostatica , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 22158 · LCCN ( EN ) sh85063493 · BNF ( FR ) cb11977909k (data) · NDL ( EN , JA ) 00569911

Portale Fisica

Portale Meccanica

[EL-1] Non coinvolgendo alcuna derivata temporale , l'equazione assume un'unica espressione e non una lagrangiana e una euleriana

[1]

V · D · M Meccanica classica e meccanica del continuo
Grandezze intensive	Densità · Velocità macroscopica · Campo medio · Tensione interna · Temperatura · Deformazione · Densità termica
Grandezze estensive	Massa · Portata · Quantità di moto · Forza esterna · Energia interna · Calore · Dissipazione · Lavoro termodinamico
Bilanci	Conservazione della massa · Bilancio della quantità di moto · Bilancio di energia interna
Approssimazioni	Equazioni di Eulero · Equazioni di Navier-Stokes · Equazioni di Burnett
Leggi	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano