Imagine (matematică)

Imagine (set punctat) în interiorul codomainului.

În matematică , imaginea unui subset al domeniului unei funcții este ansamblul elementelor obținute prin aplicarea funcției respectivului subset. Prin urmare, este un subset al codomain al funcției. Imaginea elementelor întregului domeniu este numită și imaginea funcției și, dacă funcția este surjectivă, aceasta coincide cu intervalul.

Definiție

Este $f\colon A\to B$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B}$ $f \ colon A \ to B$ o funcție . Se numește o imagine a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ prin $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , sau imagine a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , subsetul de $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ definit astfel:

{\begin{matrix}f(A)&:=&\left\{b\in B\left|\right.b=f(a)\ {\mbox{per qualche}}\ a\in A\right\}&=\\[1ex]&=&\left\{b\in B\left|\right.\exists \,a\in A\left|\right.b=f(a)\right\}&=\\[1ex]&=&\left\{f(a)\in B\left|\right.a\in A\right\}\subseteq B,\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f (A) &: = & \ left \ {b \ in B \ left | \ right.b = f (a) \ {\ mbox {pentru unele}} \ a \ in A \ right \} & = \\ [1ex] & = & \ left \ {b \ in B \ left | \ right. \ Exista \, a \ in A \ left | \ right.b = f (a) \ dreapta \} & = \\ [1ex] & = & \ left \ {f (a) \ in B \ left | \ right.a \ in A \ right \} \ subseteq B, \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f (A) &: = & \ left \ {b \ in B \ left | \ right.b = f (a) \ {\ mbox {pentru unele}} \ a \ in A \ right \} & = \\ [1ex] & = & \ left \ {b \ in B \ left | \ right. \ Exista \, a \ in A \ left | \ right.b = f (a) \ dreapta \} & = \\ [1ex] & = & \ left \ {f (a) \ in B \ left | \ right.a \ in A \ right \} \ subseteq B, \ end {matrix}}}

unde egalitatea cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ există dacă și numai dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este surjectiv .

Prin urmare, este vorba despre aceste elemente $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ pentru care există un element de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ că este adus $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Rețineți că în scris $f(A)$ ${\ displaystyle f (A)}$ $face)$ de atunci a fost implementat un ușor abuz de notație $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o transformare care acționează asupra elementelor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , nu pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ la fel. Cu toate acestea, această utilizare este atât de răspândită încât ar fi inutil să încercăm să o luptăm. Alte notații, care nu cauzează nicio jenă formală și care încă mai găsesc anumite anume, sunt: $f[A]$ ${\ displaystyle f [A]}$ ${\ displaystyle f [A]}$ Și $\mathrm {Im} f.$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} f.}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Im} f.}$

Mai general, dacă $A_{1}\subseteq A$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq A}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq A}$ este un subset al domeniului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se numește imaginea lui $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ prin $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ întregul:

f(A_{1}):=\left\{b\in B\left|\right.b=f(a)\ {\mbox{per qualche}}\ a\in A_{1}\right\}\subseteq B.

{\ displaystyle f (A_ {1}): = \ left \ {b \ in B \ left | \ right.b = f (a) \ {\ mbox {pentru unele}} \ a \ în A_ {1} \ dreapta \} \ subseteq B.}

{\ displaystyle f (A_ {1}): = \ left \ {b \ in B \ left | \ right.b = f (a) \ {\ mbox {pentru unele}} \ a \ în A_ {1} \ dreapta \} \ subseteq B.}

De sine $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ , se numește imaginea lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ prin $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ singurul element $f(a)\in B$ ${\ displaystyle f (a) \ în B}$ ${\ displaystyle f (a) \ în B}$ asociat cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Proprietate

Considerată o funcție $f\colon A\to B$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to B}$ $f \ colon A \ to B$ , se aplică următoarele proprietăți:

$f(\varnothing )=\varnothing .$ ${\ displaystyle f (\ varnothing) = \ varnothing.}$ ${\ displaystyle f (\ varnothing) = \ varnothing.}$

De sine $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq A_ {2} \ subseteq A}$ ${\ displaystyle A_ {1} \ subseteq A_ {2} \ subseteq A}$ asa de $f(A_{1})\subseteq f(A_{2})\subseteq f(A).$ ${\ displaystyle f (A_ {1}) \ subseteq f (A_ {2}) \ subseteq f (A).}$ ${\ displaystyle f (A_ {1}) \ subseteq f (A_ {2}) \ subseteq f (A).}$

Imaginea unirii a două seturi este uniunea celor două imagini. În simboluri: $f$ $($ $LA$ $1$ $\cup$ $LA$ $2$ $)$ $=$ $f$ $($ $LA$ $1$ $)$ $\cup$ $f$ $($ $LA$ $2$ $)$ $.$ {\ displaystyle f (A_ {1} \ cup A_ {2}) = f (A_ {1}) \ cup f (A_ {2}).} ${\ displaystyle f (A_ {1} \ cup A_ {2}) = f (A_ {1}) \ cup f (A_ {2}).}$
- În general: $f\left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\bigcup _{i}f(A_{i}).$ ${\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i} f (A_ {i}).}$ ${\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {i} A_ {i} \ right) = \ bigcup _ {i} f (A_ {i}).}$

Imaginea intersecției a două seturi este conținută în intersecția celor două imagini. În simboluri: $f$ $($ $LA$ $1$ $\cap$ $LA$ $2$ $)$ $\subseteq$ $f$ $($ $LA$ $1$ $)$ $\cap$ $f$ $($ $LA$ $2$ $)$ {\ displaystyle f (A_ {1} \ cap A_ {2}) \ subseteq f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})} ${\ displaystyle f (A_ {1} \ cap A_ {2}) \ subseteq f (A_ {1}) \ cap f (A_ {2})}$ iar egalitatea este valabilă dacă funcția $f$ {\ displaystyle f} $f$ este injectiv .
- În general: $f\left(\bigcap _{i}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i}f(A_{i}).$ ${\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {i} A_ {i} \ right) \ subseteq \ bigcap _ {i} f (A_ {i}).}$ ${\ displaystyle f \ left (\ bigcap _ {i} A_ {i} \ right) \ subseteq \ bigcap _ {i} f (A_ {i}).}$

Imaginea diferențială a două seturi conține diferența celor două imagini. În simboluri: $f\left(A_{1}\setminus A_{2}\right)\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ setminus A_ {2} \ right) \ supseteq f (A_ {1}) \ setminus f (A_ {2})}$ ${\ displaystyle f \ left (A_ {1} \ setminus A_ {2} \ right) \ supseteq f (A_ {1}) \ setminus f (A_ {2})}$ iar egalitatea este valabilă dacă și numai dacă $f(A_{2})\cap f(A_{1}\setminus A_{2})=\varnothing .$ ${\ displaystyle f (A_ {2}) \ cap f (A_ {1} \ setminus A_ {2}) = \ varnothing.}$ ${\ displaystyle f (A_ {2}) \ cap f (A_ {1} \ setminus A_ {2}) = \ varnothing.}$

Metode de calcul

Este un exercițiu util și propus în mod regulat în școli pentru a-i identifica imaginea având o funcție. Pentru a face acest lucru, dacă nu puteți face acest lucru a priori (de exemplu, se știe fără a face calcule că funcția $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ $x ^ {2}$ are ca imagine întreaga rază pozitivă a ordonatelor $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , inclusiv zero), există două metode: fie, cu instrumentele de analiză matematică , sunt identificate intervalele de monotonie și maximele și minimele , fie, cu calcule pur algebrice , $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ in conformitate cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , găsirea în practică a funcției inverse ; de exemplu, dacă

f(x)=y=e^{x^{2}}-5,

{\ displaystyle f (x) = y = e ^ {x ^ {2}} - 5,}

{\ displaystyle f (x) = y = e ^ {x ^ {2}} - 5,}

atunci inversul său se obține prin:

y+5=e^{x^{2}}\Longleftrightarrow \ln(y+5)=x^{2}\Longleftrightarrow \pm {\sqrt {\ln(y+5)}}=x.

{\ displaystyle y + 5 = e ^ {x ^ {2}} \ Longleftrightarrow \ ln (y + 5) = x ^ {2} \ Longleftrightarrow \ pm {\ sqrt {\ ln (y + 5)}} = x .}

{\ displaystyle y + 5 = e ^ {x ^ {2}} \ Longleftrightarrow \ ln (y + 5) = x ^ {2} \ Longleftrightarrow \ pm {\ sqrt {\ ln (y + 5)}} = x .}

Deoarece în diferitele pasaje s-au aplicat un logaritm și apoi o rădăcină pătrată , obținem restricții, singurele, pentru $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , tocmai $y+5>0$ ${\ displaystyle y + 5> 0}$ ${\ displaystyle y + 5> 0}$ Și $\ln(y+5)\geq 0.$ ${\ displaystyle \ ln (y + 5) \ geq 0.}$ ${\ displaystyle \ ln (y + 5) \ geq 0.}$ Intersecția acestor două condiții oferă imaginea, deoarece valorile lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ rezultatele au, prin construcție, o valoare de pornire (dată de expresia găsită); în acest caz, prin urmare, imaginea este $[-4,+\infty ).$ ${\ displaystyle [-4, + \ infty).}$ ${\ displaystyle [-4, + \ infty).}$

Bibliografie

Marco Abate și Chiara de Fabritiis, Geometrie analitică cu elemente de algebră liniară . Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică