Imersiune (geometrie)

În geometrie , o imersiune este o funcție diferențiată între varietăți diferențiate , al căror diferențial este injectiv peste tot.

Scufundările nu sunt neapărat injective la nivel global , dar sunt la nivel local .

Definiție

O funcție diferențiată

f:M\to N

{\ displaystyle f: M \ to N}

{\ displaystyle f: M \ to N}

între două varietăți diferențiate este o imersiune dacă diferențialul

d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N

{\ displaystyle d_ {p} f: T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N}

{\ displaystyle d_ {p} f: T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N}

este injectiv pentru fiecare punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . ^{[1] În} mod echivalent, dacă rangul diferențialului este peste tot egal cu dimensiunea lui $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$

\operatorname {rank} \,f=\dim M.

{\ displaystyle \ operatorname {rank} \, f = \ dim M.}

{\ displaystyle \ operatorname {rank} \, f = \ dim M.}

Echivalența dintre cele două definiții este garantată de teorema dimensiunii .

Soiurile diferențiate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ pot fi, de exemplu, spații deschise conținute în spații euclidiene $\mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$ $\ mathbb {R} ^ {k}$ Și $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Injectivitate

O imersiune $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este neapărat injectiv. Cu toate acestea, este local, datorită unei versiuni a teoremei invertibilității locale : fiecare punct $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ are înconjurător $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pe care funcția este injectivă.

Notă

^ M. Abate, F. Tovena , p. 90

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
( EN ) RW Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
( EN ) FW Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Group , Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3 .

Elemente conexe

Imersiune (matematică)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M

Topologie

Concepte de topologie generală

Spațiu topologic · Baza · Prebază · Acoperire ·Axiome de închidere a lui Kuratowski · topologic invariant · raport de finețe · Partiție de unitate · proprietate de intersecție peste
Subseturi	Interval · Deschis · Aproximativ · Închis · Împreună închis local · închis-deschis Împreună · În interior · Închidere · Frontieră · Împreună derivat · Limită Împreună · Perfect Împreună · dens Împreună · Împreună tot mai dens
Puncte	Punct izolat · Punct de acumulare · Punct de adeziune
Funcții	Funcția continuă · homeomorphism · Funcția deschisă · Funcție închis · funcția proprie · Contracția · Retractare · Funcția Germeni · Funcția de suport compact
Succesiuni	Limită · Limita unei secvențe · Succesiune · Rețea · Convergență · Succesiunea lui Cauchy
Teoreme	Weierstrass teorema · Heine-Borel · Tichonov · tub Lema · Urysohn · Tietze · Baire · Brouwer · punct fix · Borsuk Teorema · Borsuk-Ulam teorema · Teorema lui Jordan · Riemann Mapping Teorema
Aplicații	Topologia de spațiu-timp · Teoria cuantică a câmpurilor topologice · Topologie de rețea · topologiei de control · topologie moleculara

Proprietate

Numerabilitate	Axioma numărabilității · Primul spațiu numărabil · Spațiul separabil · Spațiul secvențial
Separare	Separarea axiomelor · Spațiul T0 · Spațiul T1 · Spațiul Hausdorff · Spațiul regulat · Spațiul Tikhonov · spațiul normal
Compacitate	Compact Space · spațiu paracompact · spațiu local compact · de Lindelof Space · Subspatiul relativ compact · Diving compact
Conexiune	Spațiu conectat · Spațiu conectat simplu
Metrizabilitate	Metric spațiu · spațiu metric complet · spațiu metrizabil · spațiu ultrametric · spațiu pseudometrico · polonez spațiu · normata spațiu · spațiu total limitat
Alte	Spațiul Baire · Spațiul noetherian spațial · spațiul omogen