Imersiune compactă
În matematică , noțiunea de imersie compactă exprimă ideea că un set este „bine conținut” în altul. Conceptul de imersie compactă este prezent în topologie și analiză funcțională .
Definiție (spații topologice)
Este un spațiu topologic și sunt Și subseturi de . Se spune că este cufundat compact în , iar tu scrii , de sine:
- , unde este denotă închiderea , denotă partea interioară a Și:
- este compact .
Definiție (spații normate)
Lasa-i sa fie Și două spații reglementate de norme Și și presupuneți că . Se spune că este cufundat compact în , iar tu scrii , de sine:
- este cufundat continuu în ; adică există o constantă astfel încât pentru fiecare ;
- orice set delimitat este pre-compactat în Adică orice succesiune din acest set limitat posedă o subsecvență care este Cauchy în normă .
De sine este un spațiu Banach , o definiție echivalentă este că operatorul de imersiune (identitatea) este un operator compact .
Această definiție a imersiei compacte este utilizată în analiza funcțională atunci când se studiază spațiile de funcții Banach . Mai multe teoreme de imersie Sobolev sunt teoreme de imersie compacte.
Bibliografie
- ( EN ) Evans, Lawrence C., Ecuații diferențiale parțiale , Providence, RI, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
- ( EN ) Renardy, M. și Rogers, RC, An Introduction to Partial Differential Equations , Berlin, Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-97952-2 .
- ( EN ) Robert A. Adams, Sobolev Spaces , Boston, MA, Academic Press , 1975, ISBN 978-0-12-044150-1 .