Impedanță a imaginii

Impedanța imaginii este un concept utilizat în proiectarea și analiza rețelelor electronice, în special în proiectarea filtrelor. Termenul de impedanță a imaginii se aplică impedanței văzute în portul unei rețele. În general, este implicat să se refere la o rețea cu două porturi, dar conceptul poate fi extins la rețelele cu mai mult de două porturi. Definiția impedanței imaginii pentru o rețea cu două porturi corespunde impedanței, Z _{i 1} , văzută în portul 1 când portul 2 este terminat cu impedanța imaginii, Z _{i 2} , pentru portul 2. În general, imaginea impedanțelor porturilor 1 și 2 nu vor fi aceleași decât dacă rețeaua este simetrică (sau antisimetrică) în raport cu porturile.

Derivare

Rețea simplă „L” cu impedanță Z în serie și admisie Y în șunt . Impedanțele imaginii Z _{i 1} și Z _{i 2 sunt afișate}

Reprezentarea modului în care se obține o secțiune T din două jumătăți în formă de L în cascadă. Z _{i 2} și Z _{i 2 se} confruntă unul cu celălalt pentru a oferi impedanțele potrivite

Reprezentarea modului în care se obține o secțiune Π (pi) din două jumătăți în formă de L în cascadă. Z _{i 1} și Z _{i 1 se} confruntă unul cu celălalt pentru a asigura impedanțele potrivite

De exemplu, derivarea impedanțelor de imagine ale unei rețele simple „L” este prezentată mai jos. Rețeaua în formă de L constă dintr-o impedanță , Z , în serie și o admisie , Y , în șunt .

Dificultatea aici este că, pentru a găsi Z _{i 1,} este necesar să terminați mai întâi poarta 2 cu Z _{i 2} . Cu toate acestea, în această etapă, Z _{i 2} este, de asemenea, o necunoscută. Problema este rezolvată prin terminarea portului 2 cu o rețea identică: portul 2 al celei de-a doua rețele este conectat la portul 2 al primei rețele și portul 1 al celei de-a doua rețele este terminat cu Z _{i 1} . În acest fel, a doua rețea o termină pe prima din Z _{i 2,} după cum este necesar. Matematic, acest lucru este echivalent cu eliminarea unei variabile dintr-un sistem de ecuații simultane. Această rețea poate fi rezolvată acum pentru Z _{i 1} . Scriind expresia pentru impedanța de intrare avem:

Z_{i1}=Z+{\frac {1}{2Y+{\frac {1}{Z+Z_{i1}}}}}

{\ displaystyle Z_ {i1} = Z + {\ frac {1} {2Y + {\ frac {1} {Z + Z_ {i1}}}}}

{\ displaystyle Z_ {i1} = Z + {\ frac {1} {2Y + {\ frac {1} {Z + Z_ {i1}}}}}

și rezolvarea pentru $Z_{i1}$ ${\ displaystyle Z_ {i1}}$ ${\ displaystyle Z_ {i1}}$ ,

Z_{i1}^{2}=Z^{2}+{\frac {Z}{Y}}

{\ displaystyle Z_ {i1} ^ {2} = Z ^ {2} + {\ frac {Z} {Y}}}

{\ displaystyle Z_ {i1} ^ {2} = Z ^ {2} + {\ frac {Z} {Y}}}

Z _{i 2} poate fi găsit cu o procedură similară, dar este mai ușor de tratat în ceea ce privește reciprocitatea, adică admiterea imaginii Y _{i 2} ,

Y_{i2}^{2}=Y^{2}+{\frac {Y}{Z}}

{\ displaystyle Y_ {i2} ^ {2} = Y ^ {2} + {\ frac {Y} {Z}}}

{\ displaystyle Y_ {i2} ^ {2} = Y ^ {2} + {\ frac {Y} {Z}}}

Mai mult, din această expresie se poate observa că cele două impedanțe ale imaginii sunt corelate între ele fiind:

{\frac {Z_{i1}}{Y_{i2}}}={\frac {Z}{Y}}

{\ displaystyle {\ frac {Z_ {i1}} {Y_ {i2}}} = {\ frac {Z} {Y}}}

{\ displaystyle {\ frac {Z_ {i1}} {Y_ {i2}}} = {\ frac {Z} {Y}}}

Măsura

Măsurarea directă a impedanței imaginii prin ajustarea terminărilor nu este convenabilă în mod iterativ și necesită componente reglabile de precizie pentru a efectua terminarea. O tehnică alternativă pentru determinarea impedanței imaginii portului 1 este măsurarea impedanței de scurtcircuit Z _DC (adică a impedanței de intrare a portului 1 când portul 2 este scurtcircuitat) și a impedanței circuitului deschis Z _AC (impedanța de intrare a ușii 1 când ușa 2 este deschis). Impedanța imaginii este dată de:

Z_{i1}={\sqrt {Z_{\mathrm {CC} }Z_{\mathrm {CA} }}}

{\ displaystyle Z_ {i1} = {\ sqrt {Z _ {\ mathrm {CC}} Z _ {\ mathrm {CA}}}}}

{\ displaystyle Z_ {i1} = {\ sqrt {Z _ {\ mathrm {CC}} Z _ {\ mathrm {CA}}}}}

Această metodă nu necesită cunoștințe prealabile despre topologia rețelei care trebuie măsurată.

Se utilizează în proiectarea filtrelor

Atunci când este utilizat în proiectarea filtrelor, o „rețea analizată mai sus este denumită de obicei o jumătate de secțiune. Două jumătăți în cascadă vor da naștere fie unei secțiuni T, fie a unei secțiuni Π (pi), în funcție de care ușă a secțiunii L o precedă pe cealaltă. Aceasta duce la terminologia că Z _{i T} înseamnă Z _{i 1} în analiza de mai sus și Z _{i Π} înseamnă Z _{i 2} .

Relația cu impedanța caracteristică

Impedanța imaginii este un concept similar cu cel al impedanței caracteristice utilizate în analiza liniei de transmisie . De fapt, în cazul limitativ al unui lanț de rețele în cascadă în care dimensiunile fiecărei rețele se apropie de un element infinit de mic, limita matematică a expresiei impedanței imaginii este impedanța caracteristică a lanțului. Practic:

Z_{i}^{2}\rightarrow {\frac {Z}{Y}}

{\ displaystyle Z_ {i} ^ {2} \ rightarrow {\ frac {Z} {Y}}}

{\ displaystyle Z_ {i} ^ {2} \ rightarrow {\ frac {Z} {Y}}}

Conexiunea dintre cele două poate fi văzută în continuare prin notarea unei definiții alternative, dar echivalente, a impedanței imaginii. Conform acestei definiții, impedanța de imagine a unei rețele este impedanța de intrare a unui lanț de lungime infinită de rețele identice în cascadă (cu porțile aranjate în așa fel încât impedanța de ieșire a fiecăruia să fie egală cu impedanța d intrarea în următoarea ). Acest lucru este direct analog cu definiția impedanței caracteristice ca impedanță de intrare a unei linii de lungime infinită.

În schimb, este posibil să se analizeze o linie de transmisie cu componente concentrate , cum ar fi atunci când se utilizează bobine de sarcină , în termeni de filtru de impedanță a imaginii.

Funcție de transfer

Funcția de transfer a jumătății de secțiune, la fel ca impedanța imaginii, este calculată pentru o rețea terminată în impedanțele sale de imagine (sau, echivalent, pentru o singură secțiune, într-un lanț cu lungime infinită de secțiuni identice) și este dată de:

A(i\omega )={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}e^{-\gamma }

{\ displaystyle A (i \ omega) = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I2}} {Z_ {I1}}}} e ^ {- \ gamma}}

{\ displaystyle A (i \ omega) = {\ sqrt {\ frac {Z_ {I2}} {Z_ {I1}}}} e ^ {- \ gamma}}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ se numește funcție de transmisie, funcție de propagare sau parametru de propagare și este dată de:

\gamma =\sinh ^{-1}{\sqrt {ZY}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sinh ^ {- 1} {\ sqrt {ZY}}}

{\ displaystyle \ gamma = \ sinh ^ {- 1} {\ sqrt {ZY}}}

Termenul ${\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I1}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {Z_ {I2}} {Z_ {I1}}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {Z_ {I2}} {Z_ {I1}}}}}$ reprezintă raportul de tensiune care ar fi observat dacă puterea maximă disponibilă ar fi transferată de la sursă la sarcină. Ar fi posibil să se absoarbă acest termen în definiția $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ iar în unele discuții se folosește această abordare. În cazul unei rețele cu impedanțe de imagine simetrice, cum ar fi un lanț cu un număr par de secțiune L identică, expresia este redusă la:

A(i\omega )=e^{-\gamma }\,\!

{\ displaystyle A (i \ omega) = e ^ {- \ gamma} \, \!}

{\ displaystyle A (i \ omega) = e ^ {- \ gamma} \, \!}

În general $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este un număr complex astfel încât:

\gamma =\alpha +i\beta \,\!

{\ displaystyle \ gamma = \ alpha + i \ beta \, \!}

{\ displaystyle \ gamma = \ alpha + i \ beta \, \!}

Partea reală a $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ reprezintă un parametru de atenuare, $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ exprimat în neper , în timp ce partea imaginară reprezintă un parametru de schimbare de fază, $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ exprimată în radiani . Parametrii de propagare pentru un lanț de n jumătăți de secțiune, cu condiția ca impedanța de ieșire a fiecăruia să fie egală cu impedanța de intrare a următoarei, este dată de:

\gamma _{n}=n\gamma \,\!

{\ displaystyle \ gamma _ {n} = n \ gamma \, \!}

{\ displaystyle \ gamma _ {n} = n \ gamma \, \!}

În ceea ce privește impedanța imaginii, parametrii de propagare se apropie de cei ai unei linii de transmisie dacă secțiunea filtrului devine infinit de mică, obținând:

\gamma \rightarrow {\sqrt {ZY}}

{\ displaystyle \ gamma \ rightarrow {\ sqrt {ZY}}}

{\ displaystyle \ gamma \ rightarrow {\ sqrt {ZY}}}

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ , $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ , $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ acum toate sunt măsurate pe metru în loc de pe jumătate de secțiune.

Relația cu parametrii quadripoli

Parametrii ABCD

Pentru un quadripol , parametrii ABCD sunt considerați uneori.

Definiția parametrilor ABCD

Dat fiind un quadripol , denotăm cu

V_{1}

{\ displaystyle V_ {1}}

V_ {1}

, tensiunea pe portul 1 (intrare)

I_{1}

{\ displaystyle I_ {1}}

I_1

, curentul din portul 1

V_{2}

{\ displaystyle V_ {2}}

{\ displaystyle V_ {2}}

, tensiunea pe portul 2 (ieșire)

I_{2}

{\ displaystyle I_ {2}}

I_2

, curentul din portul 2

Parametrii ABCD sunt definiți utilizând următoarea relație matricială:

{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {1} \\ I_ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ { 2} \\ - I_ {2} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} V_ {1} \\ I_ {1} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A&B \\ C&D \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ { 2} \\ - I_ {2} \ end {bmatrix}}}

unde este

{\begin{aligned}A\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&\qquad B\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.-{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\\C\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&\qquad D\,&{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\left.-{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left. {\ frac {V_ {1}} {V_ {2}}} \ right | _ {I_ {2} = 0} & \ qquad B \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left .- {\ frac {V_ {1}} {I_ {2 }}} \ right | _ {V_ {2} = 0} \\ C \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left. {\ frac {I_ {1}} { V_ {2}}} \ right | _ {I_ {2} = 0} & \ qquad D \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left. - {\ frac {I_ {1}} {I_ {2}}} \ right | _ {V_ {2} = 0} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} A \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left. {\ frac {V_ {1}} {V_ {2}}} \ right | _ {I_ {2} = 0} & \ qquad B \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left .- {\ frac {V_ {1}} {I_ {2 }}} \ right | _ {V_ {2} = 0} \\ C \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left. {\ frac {I_ {1}} { V_ {2}}} \ right | _ {I_ {2} = 0} & \ qquad D \, & {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, \ left. - {\ frac {I_ {1}} {I_ {2}}} \ right | _ {V_ {2} = 0} \ end {align}}}

Pentru quardipoli numit reciproc $\scriptstyle AD-BC=1$ ${\ displaystyle \ scriptstyle AD-BC = 1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle AD-BC = 1}$ .

Pentru quardipole reciproce ( $\scriptstyle AD-BC=1$ ${\ displaystyle \ scriptstyle AD-BC = 1}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle AD-BC = 1}$ ), impedanțele imaginii pot fi exprimate ^[1] în termeni de parametri ABCD ca:

Z_{I1}={\sqrt {\frac {AB}{CD}}}

{\ displaystyle Z_ {I1} = {\ sqrt {\ frac {AB} {CD}}}}

{\ displaystyle Z_ {I1} = {\ sqrt {\ frac {AB} {CD}}}}

Z_{I2}={\sqrt {\frac {DB}{CA}}}

{\ displaystyle Z_ {I2} = {\ sqrt {\ frac {DB} {CA}}}}

{\ displaystyle Z_ {I2} = {\ sqrt {\ frac {DB} {CA}}}}

.

Parametrul de propagare a imaginii, $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ poate fi exprimat ca:

\gamma =\cosh ^{-1}{\sqrt {AD}}

{\ displaystyle \ gamma = \ cosh ^ {- 1} {\ sqrt {AD}}}

{\ displaystyle \ gamma = \ cosh ^ {- 1} {\ sqrt {AD}}}

.

Rețineți că parametrul de propagare a imaginii pentru un segment de linie de transmisie este echivalent cu constanta de propagare a liniei de transmisie înmulțită cu lungimea.

Notă

^ [1]

Bibliografie

Matthaei, Young, Filtre cu microunde Jones , rețele de potrivire a impedanțelor și structuri de cuplare McGraw-Hill 1964

Elemente conexe

Portal electrotehnic : accesați intrările Wikipedia referitoare la ingineria electrică

[source-1] [1]

[1]