Implicație logică

Termenul de implicație logică se referă la legătura care există între o propoziție (antecedent) și o altă propoziție (consecventă) pentru a raporta valorile lor de adevăr respective.

Descriere

Este necesar să se facă distincția între implicația logică „ materială ”, care se referă la definiția formală a celor două propoziții, indiferent de relația cauză-efect dintre prima și a doua, și implicația logică „ semantică ”, care ține cont exact de semnificația prima propoziție care, numai dacă este adevărată, impune adevărul celei de-a doua propoziții. Mai simplu spus, definiția formală recunoaște întotdeauna o implicație ca fiind adevărată, cu excepția cazului în care prima propoziție este adevărată și a doua falsă. Astfel, o propoziție falsă „implică” orice altă propoziție, adevărată sau falsă. Definiția semantică, pe de altă parte, necesită ca prima propoziție să fie adevărată pentru a stabili adevărul sau falsitatea implicației. O propoziție antecedentă, dacă este falsă, nu poate implica nimic.

Uneori, pentru a distinge cele două tipuri de implicații menționate, simbolul săgeții unice dreapta ( $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ ) sau dublu ( $\Rightarrow$ ${\ displaystyle \ Rightarrow}$ $\ Sageata dreapta$ ) respectiv.

Distincția a fost dezbătută încă de pe vremea filosofilor greci, atât de mult încât implicația logică materială este cunoscută și sub denumirea de „implicația lui Philo ” (de la Philo din Megara , secolul al III-lea î.Hr.), iar cealaltă ca „implicație Diodoreană” (din Diodor Cronos , secolul IV î.Hr.). În epoca modernă, CS Peirce (1839 - 1914) a concluzionat că pentru aspectele elementare ale logicii era mai convenabil să accepți implicația materială .

Implicație logică materială

În matematică , implicația logică (simbol $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ ) este o conexiune logică prin care, pornind de la două propoziții A și B , se formează o nouă propoziție numită A implică B și scrisă $A\rightarrow B$ ${\ displaystyle A \ rightarrow B}$ $A \ rightarrow B$ care este fals numai dacă A este adevărat și B este fals. În special A implică că B este adevărat dacă A este fals, indiferent de valoarea de adevăr a lui B.

Această definiție poate fi rezumată prin intermediul următorului tabel de adevăr :

${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$	${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$	${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$
F.	F.	V.
F.	V.	V.
V.	F.	F.
V.	V.	V.

Implicația logică poate fi văzută și ca o relație, două propoziții sunt legate dacă rezultatul operatorului de implicație logică este ADEVĂRAT, acest aspect este deosebit de evident în limbajul comun unde implicația este exprimată sub forma „dacă A atunci B”, deci de exemplu, este firesc pentru noi să înțelegem:

"Dacă plouă, atunci sunt nori pe cer "

iar singura posibilitate ca această afirmație să fie falsă este de a verifica dacă la un moment dat plouă, dar NU există nori pe cer. Presupunând că este adevărat ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ acest lucru poate fi exprimat și în următoarele moduri:

${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ este o condiție suficientă pentru ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ;
${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ este o condiție necesară pentru ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ ;

aplicând aceste moduri exemplului anterior în ceea ce privește limbajul comun, putem afirma că o condiție suficientă pentru a exista nori pe cer este că plouă, precum și o condiție necesară pentru a ploua este că există nori pe cer. . O privire mai profundă asupra tabelului adevărului sugerează totuși o modalitate de a exprima implicația ca rezultat al expresiilor logice bazate pe conectivitățile logice ale „conjuncției”. $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ , „Disjuncție” $\lor$ ${\ displaystyle \ lor}$ $\ lor$ și „negare” $\lnot$ ${\ displaystyle \ lnot}$ $\ l nu$ .

{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}

{\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}

este echivalent cu:

\neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {B}}

{\ displaystyle \ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}}}

\ neg {\ mathcal A} \ lor {\ mathcal B}

(cel)

adică aplicând teoremele lui De Morgan ,

\neg \left({\mathcal {A}}\land \neg {\mathcal {B}}\right).

{\ displaystyle \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right).}

{\ displaystyle \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right).}

(ii)

Din aceste notații reiese imediat că ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal A}$ este o propoziție care este întotdeauna adevărată indiferent de valoarea lui ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ . Notatia $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ prin urmare, este în sine inutil, dar justificat totuși de utilizarea frecventă care derivă din activitatea deducției, în acest context, propozițiile implicate sunt numite ipoteze: ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ , teză: ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ , și teorema : ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ (rețineți că teorema poate fi plasată sub alte forme, a se vedea de fapt deducerea este un caz particular de inferență ), dovedind veridicitatea acesteia din urmă înseamnă verificarea veridicității tezei (dovedirea teoremei), formalizarea teoremelor în acest Modo are denumirea logică de „ modus ponens ”. De asemenea, putem nota cum putem rescrie (i) după cum urmează:

\neg \left({\mathcal {A}}\right)\lor \neg \left(\neg {\mathcal {B}}\right)

{\ displaystyle \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ right) \ lor \ neg \ left (\ neg {\ mathcal {B}} \ right)}

\ neg \ left ({\ mathcal A} \ right) \ lor \ neg \ left (\ neg {\ mathcal B} \ right)

(iii)

sau

\neg \left(\neg {\mathcal {B}}\right)\lor \neg \left({\mathcal {A}}\right),

{\ displaystyle \ neg \ left (\ neg {\ mathcal {B}} \ right) \ lor \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ right),}

{\ displaystyle \ neg \ left (\ neg {\ mathcal {B}} \ right) \ lor \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ right),}

și, prin urmare, pentru (i) este echivalent cu

\neg {\mathcal {B}}\rightarrow \neg {\mathcal {A}}.

{\ displaystyle \ neg {\ mathcal {B}} \ rightarrow \ neg {\ mathcal {A}}.}

{\ displaystyle \ neg {\ mathcal {B}} \ rightarrow \ neg {\ mathcal {A}}.}

(iv)

această formă se numește contraonominală a ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ și este echivalent cu acesta și este adesea utilizat în teorema dovezii în locul celei din urmă. Revenind la exemplul în limbaj natural, putem scrie forma contraonominală ca:

"Dacă nu sunt nori pe cer, atunci nu plouă "

O altă cale pentru demonstrarea ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ constă în încercarea de a deduce din $\neg \left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\right)$ ${\ displaystyle \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right)}$ o contradicție, adică o propunere ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal C}$ mereu fals de tip ${\mathcal {P}}\land \neg {\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ land \ neg {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal P} \ land \ neg {\ mathcal P}$ , în acest caz vorbim de dovadă prin absurd . Într-adevăr, dacă obținem dovada

\neg \left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\right)\rightarrow {\mathcal {C}}

{\ displaystyle \ neg \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ rightarrow {\ mathcal {C}}}

\ neg \ left ({\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B} \ right) \ rightarrow {\ mathcal C}

cu ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal C}$ mereu fals și pentru (iv) avem și noi

\neg {\mathcal {C}}\rightarrow \left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\right),

{\ displaystyle \ neg {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right),}

{\ displaystyle \ neg {\ mathcal {C}} \ rightarrow \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right),}

unde este $\neg {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle \ neg {\ mathcal {C}}}$ $\ neg {\ mathcal C}$ este întotdeauna adevărat pentru că este negarea unei contradicții și, prin urmare, impune veridicitatea lui ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ . Privind înapoi la tabelul de adevăr al implicațiilor, observăm că dacă ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal C}$ atunci este întotdeauna fals ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ este întotdeauna adevărat și, prin urmare, trebuie acordată o atenție deosebită ipotezelor: dacă acestea sunt false, dovada va avea succes, dar deducțiile pe care le vom trage de la ele pe teză vor fi lipsite de sens (același lucru poate fi adevărat sau fals) . De fapt, se știe încă din cele mai vechi timpuri că ceea ce se dorește poate fi dedus din premise false. Operația de implicare are, de asemenea, următoarea proprietate:

\left[\left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\right)\land \left({\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}\right)\right]\rightarrow \left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}\right).

{\ displaystyle \ left [\ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ right) \ right] \ rightarrow \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ right).}

{\ displaystyle \ left [\ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ right) \ right] \ rightarrow \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ right).}

(v)

Pentru a o demonstra, putem folosi regula deductivă: presupunem adevăratul

\left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\right)\land \left({\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}\right),

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ right), }

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {C}} \ right), }

apoi demonstrați veridicitatea lui (v) și apoi deduceți ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {C}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal C}$ . De asemenea, trebuie să știm că:

\left[\left({\mathcal {A}}\land {\mathcal {B}}\right)\lor \neg {\mathcal {B}}\right]=\left({\mathcal {A}}\lor \neg {\mathcal {B}}\right),

{\ displaystyle \ left [\ left ({\ mathcal {A}} \ land {\ mathcal {B}} \ right) \ lor \ neg {\ mathcal {B}} \ right] = \ left ({\ mathcal { A}} \ lor \ neg {\ mathcal {B}} \ right),}

{\ displaystyle \ left [\ left ({\ mathcal {A}} \ land {\ mathcal {B}} \ right) \ lor \ neg {\ mathcal {B}} \ right] = \ left ({\ mathcal { A}} \ lor \ neg {\ mathcal {B}} \ right),}

precum și

\left[\left({\mathcal {A}}\lor {\mathcal {B}}\right)\land \neg {\mathcal {B}}\right]=\left({\mathcal {A}}\land \neg {\mathcal {B}}\right).

{\ displaystyle \ left [\ left ({\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right] = \ left ({\ mathcal { A}} \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right).}

{\ displaystyle \ left [\ left ({\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right] = \ left ({\ mathcal { A}} \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right).}

(tu)

Pentru demonstrarea căruia putem evalua tabelele de adevăr respective sau putem lua în considerare proprietatea distributivă a conjuncției logice și a disjuncției și dualitatea algebrelor booleene cu privire la aceste conectivități. Revenind la (v) eliminăm semnul de implicație din expresie și obținem:

\left[\left(\neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {B}}\right)\land \left(\neg {\mathcal {B}}\lor {\mathcal {C}}\right)\right]\rightarrow \left(\neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {C}}\right)

{\ displaystyle \ left [\ left (\ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left (\ neg {\ mathcal {B}} \ lor {\ mathcal { C}} \ right) \ right] \ rightarrow \ left (\ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {C}} \ right)}

\ left [\ left (\ neg {\ mathcal A} \ lor {\ mathcal B} \ right) \ land \ left (\ neg {\ mathcal B} \ lor {\ mathcal C} \ right) \ right] \ rightarrow \ left (\ neg {\ mathcal A} \ lor {\ mathcal C} \ right)

prin urmare:

\neg \left[\left(\neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {B}}\right)\land \left(\neg {\mathcal {B}}\lor {\mathcal {C}}\right)\right]\lor \left(\neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {C}}\right)

{\ displaystyle \ neg \ left [\ left (\ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left (\ neg {\ mathcal {B}} \ lor {\ mathcal {C}} \ right) \ right] \ lor \ left (\ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {C}} \ right)}

\ neg \ left [\ left (\ neg {\ mathcal A} \ lor {\ mathcal B} \ right) \ land \ left (\ neg {\ mathcal B} \ lor {\ mathcal C} \ right) \ right] \ lor \ left (\ neg {\ mathcal A} \ lor {\ mathcal C} \ right)

sau

\neg \left(\neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {B}}\right)\lor \neg \left(\neg {\mathcal {B}}\lor {\mathcal {C}}\right)\lor \left(\neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {C}}\right)

{\ displaystyle \ neg \ left (\ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}} \ right) \ lor \ neg \ left (\ neg {\ mathcal {B}} \ lor {\ mathcal {C}} \ right) \ lor \ left (\ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {C}} \ right)}

\ neg \ left (\ neg {\ mathcal A} \ lor {\ mathcal B} \ right) \ lor \ neg \ left (\ neg {\ mathcal B} \ lor {\ mathcal C} \ right) \ lor \ left (\ neg {\ mathcal A} \ lor {\ mathcal C} \ right)

și din nou

\left({\mathcal {A}}\land \neg {\mathcal {B}}\right)\lor \left({\mathcal {B}}\land \neg {\mathcal {C}}\right)\lor \neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {C}}.

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right) \ lor \ left ({\ mathcal {B}} \ land \ neg {\ mathcal {C}} \ right) \ lor \ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {C}}.}

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ land \ neg {\ mathcal {B}} \ right) \ lor \ left ({\ mathcal {B}} \ land \ neg {\ mathcal {C}} \ right) \ lor \ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {C}}.}

Reordonând termenii și ținând cont de (vi), vom ajunge apoi să scriem:

\neg {\mathcal {B}}\lor \neg {\mathcal {A}}\lor {\mathcal {B}}\lor {\mathcal {C}},

{\ displaystyle \ neg {\ mathcal {B}} \ lor \ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}} \ lor {\ mathcal {C}},}

{\ displaystyle \ neg {\ mathcal {B}} \ lor \ neg {\ mathcal {A}} \ lor {\ mathcal {B}} \ lor {\ mathcal {C}},}

unde prezența $\neg {\mathcal {B}}\lor {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle \ neg {\ mathcal {B}} \ lor {\ mathcal {B}}}$ $\ neg {\ mathcal B} \ lor {\ mathcal B}$ ne spune că este întotdeauna adevărat, adică este o tautologie și teza noastră este dovedită.

Diodorus și CILewis au stabilit un legătură de necesitate între poziția antecedentă și cea consecventă, în contextul logicii modale . Conform interpretării lor, a spune „dacă A este ... atunci este B” este echivalent cu a spune „dacă A este ..., atunci neapărat B este”.

Logicianul William Parry a ajuns să afirme că, pentru a evita paradoxurile logicii formale, trebuie să postulăm existența unei relații de semnificație între antecedent și propoziția consecventă, pentru care premisa majoră conține deja consecința. La nivel temporal al cauzalității, acest lucru este echivalent cu acceptarea afirmației clasice că „efectul nu poate fi mai mare decât cauza” (consecința mai mare a premiselor) și, prin urmare, natura nu poate crea ființă sau entitate.

Coimplicare

Dacă se întâmplă să se aplice în același timp ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ Și ${\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal B} \ rightarrow {\ mathcal A}$ adică este adevărat următoarele:

\left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\right)\land \left({\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}\right),

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {A}} \ right), }

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {A}} \ right), }

(iv)

atunci putem exprima acest fapt cu o nouă conectivitate pe care o vom numi co- implicație (sau dublă implicație logică ):

{\mathcal {A}}\leftrightarrow {\mathcal {B}},

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ leftrightarrow {\ mathcal {B}},}

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ leftrightarrow {\ mathcal {B}},}

Această definiție face posibilă aplicarea regulilor modus ponendo ponens și modus tollendo tollens ] , care sunt rezervate pentru singura operație logică a implicației materiale.

De asemenea, o putem exprima spunând că:

${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ este o condiție necesară și suficientă pentru ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$

sau asta

${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ Și ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ sunt logic echivalente .

Co-implicația se mai numește dublă implicație sau bicondițională , este singura dintre conectivitățile logice care poate fi dată de combinația a altor două conectivități: conjuncție logică și implicație logică, așa cum se arată în (iv).

Tabelul adevărului pentru această conexiune este:

0	0	1	1	1
${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$	${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$	${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$	${\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal B} \ rightarrow {\ mathcal A}$	${\mathcal {A}}\leftrightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ leftrightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ leftrightarrow {\ mathcal B}$
0	1	1	0	0
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1

Ca orice relație de echivalență, se bucură de proprietăți reflexive, comutative și tranzitive: reflexiv pentru că ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal A}$ este întotdeauna adevărat așa cum am văzut, comutativ prin definiție, tranzitiv cu (v) în punctul anterior.

Adesea teoremele sunt setate la echivalențe logice pentru mai mult de 2 propoziții:

\left({\mathcal {A}}_{1}\leftrightarrow {\mathcal {A}}_{2}\right)\land \left({\mathcal {A}}_{2}\leftrightarrow {\mathcal {A}}_{3}\right)\land \ldots \land \left({\mathcal {A}}_{N-1}\leftrightarrow {\mathcal {A}}_{N}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} _ {1} \ leftrightarrow {\ mathcal {A}} _ {2} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {2} \ leftrightarrow {\ mathcal {A}} _ {3} \ right) \ land \ ldots \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {N-1} \ leftrightarrow {\ mathcal {A}} _ {N} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} _ {1} \ leftrightarrow {\ mathcal {A}} _ {2} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {2} \ leftrightarrow {\ mathcal {A}} _ {3} \ right) \ land \ ldots \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {N-1} \ leftrightarrow {\ mathcal {A}} _ {N} \ dreapta)}

pentru concizie (pentru demonstrare), în acest caz se folosește următoarea formă:

\left({\mathcal {A}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}\right)\land \left({\mathcal {A}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{3}\right)\land \ldots \land \left({\mathcal {A}}_{N-1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{N}\right)\land \left({\mathcal {A}}_{N}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}\right).

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} _ {1} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {2} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {2} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {3} \ right) \ land \ ldots \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {N-1} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {N} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {N} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {1} \ right).}

{\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} _ {1} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {2} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {2} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {3} \ right) \ land \ ldots \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {N-1} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {N} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {A}} _ {N} \ rightarrow {\ mathcal {A}} _ {1} \ right).}

Că cele două expresii sunt echivalente se poate deduce și în acest caz din proprietatea (v) a implicației.

Implicația din punctul de vedere stabilit

Pentru a înțelege pe deplin implicația logică, poate fi util să luați o perspectivă stabilită. Implicația ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ poate fi citit și ca ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ subseteq {\ mathcal B}$ . Observăm, de fapt, că propoziția logică scrisă înseamnă că dacă proprietatea deține ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ , atunci proprietatea trebuie să se aplice în mod necesar ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ ; acest lucru este echivalent cu faptul că ansamblul elementelor care satisfac proprietatea ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ trebuie cuprins în ansamblul elementelor care satisfac proprietatea ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ .

Am văzut asta ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ este de spus $\neg {\mathcal {B}}\rightarrow \neg {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle \ neg {\ mathcal {B}} \ rightarrow \ neg {\ mathcal {A}}}$ $\ neg {\ mathcal B} \ rightarrow \ neg {\ mathcal A}$ ; această ultimă implicație este echivalentă cu a spune că dacă un element nu satisface proprietatea ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ , adică această proprietate nu se află în setul de elemente satisfăcătoare, atunci nu trebuie să satisfacă nici proprietatea ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ : aceasta are o confirmare imediată în ceea ce s-a spus înainte: dacă un element nu este în ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ , atâta timp cât ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ subseteq {\ mathcal B}$ , nici măcar nu va putea rămâne în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ .

Acum să vedem noțiunea de echivalență (sau co-implicație): avem asta ${\mathcal {A}}\leftrightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ leftrightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ leftrightarrow {\ mathcal B}$ , asta este ceea ce $\left({\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}\right)\land \left({\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {A}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ rightarrow {\ mathcal {A}} \ right)}$ : asa de $\left({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}\right)\land \left({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {A}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {B}} \ right) \ land \ left ({\ mathcal {B}} \ subseteq {\ mathcal {A}} \ right)}$ : consecința evidentă este ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} = {\ mathcal B}$ . De fapt, prima implicație înseamnă că un element care satisface proprietatea ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ trebuie să îndeplinească, de asemenea ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ , în timp ce al doilea spune că un element care satisface proprietatea ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ , trebuie să satisfacă în mod necesar ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ . Rezultă că elementele care satisfac prima proprietate sunt toate și numai cele care o satisfac și pe a doua.

Din această lectură setată a implicației logice, putem trage și noțiunile de condiții necesare și condiții suficiente: dacă ${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ rightarrow {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ rightarrow {\ mathcal B}$ , adică dacă ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal A} \ subseteq {\ mathcal B}$ , asa de:

un element nu trebuie să fie în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ a sta acasa ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ : există de fapt elemente ale ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ care nu sunt în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$
un element trebuie doar să se afle ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ , pentru a concluziona că este și în ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ : fiecare element al ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ de fapt este și un element al ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$
un element trebuie să fie în ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ , astfel încât să poată rămâne în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ : dacă de fapt acest element ar fi ieșit din ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ , în nici un caz nu putea fi înăuntru ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$
nu este suficient ca un element să fie în ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ pentru a concluziona că este și în ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ : așa cum am spus mai înainte, există cu siguranță elemente care aparțin ${\mathcal {B}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ mathcal B}$ dar nu ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ .

Secvențe și implicații

Secvențele și implicațiile sunt utilizate în logica propozițională formală în cadrul căreia există doi operatori logici distincti. Dacă implicația funcționează pe variabile propoziționale unice, secvența operează pe metavariabile (indicate cu literele alfabetului grecesc ), care sunt liste ordonate de variabile propoziționale. Acestea din urmă pot fi, de asemenea, liste goale de elemente sau compuse dintr-o singură variabilă propozițională (o singură afirmație). Metavariabila propozițională poate fi deci considerată ca o generalizare a variabilei propoziționale, în timp ce conjunctiva logică numită secvență este o formalizare compactă, condensată într-un număr mai mic de linii, a unui sistem mai complex de propoziții dacă este exprimată printr-o serie de implicații logice. Următoarele introduc teza pe care intenționați să o demonstrați, dar în mod obișnuit ele nu sunt utilizate în cadrul demonstrațiilor logicii formale.

Premisa și concluzia unui succesor pot fi convertite în propozițiile antecedente și consecvente ale unei implicații logice: prin convenție, propozițiile formale ale premisei sunt înțelese a fi separate de un operator de conjuncție logică , în timp ce cele ale concluziei sunt înțelese să fie separate de un operator de disjuncție logică neexclusivă. ^[1]

În termeni abstracți, o sequente operează pe metalimbajului , în timp ce implicația funcționează pe limba de obiect. De exemplu, în enunțul „propoziția Q este falsă”, singura literă Q delimitează o propoziție a limbii, în timp ce întregul set de cuvinte cuprinse între ghilimele indică o propoziție a limbajului metalic. ^[2]
Limbajul metalic este o extensie a limbajului obiect, la fel ca operatorul metalinguistic succesiv este o extensie a operatorului lingvistic de implicație logică.

Notă

^ Calculul următorului LCp ( PDF ), pe math.unipd.it , Universitatea din Padova - Departamentul de matematică, 7. Accesat la 17 noiembrie 2020 ( arhivat la 17 noiembrie 2020) .
^ Giuseppe Guastini, The importance of metalanguage in education , pe edscuola.eu , 23 iunie 2016.

Elemente conexe

Secvență

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu implicații logice

linkuri externe

( EN ) Implicație logică / Implicație logică (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Calculul următorului LCp ( PDF ), pe math.unipd.it , Universitatea din Padova - Departamentul de matematică, 7. Accesat la 17 noiembrie 2020 ( arhivat la 17 noiembrie 2020) .

[2] Giuseppe Guastini, The importance of metalanguage in education , pe edscuola.eu , 23 iunie 2016.

[1]

[2]

V · D · M Conectori logici
Tautologie( $\top$ ${\ displaystyle \ top}$ $\top$ )
Neconjuncție ( $\uparrow$ ${\ displaystyle \ uparrow}$ $\ Săgeata în sus$ ) · Implicare inversă ( $\leftarrow$ ${\ displaystyle \ leftarrow}$ $\ sageata stanga$ ) · Implicare ( $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ ) · Disjuncție inclusiv ( $\lor$ ${\ displaystyle \ lor}$ $\ lor$ )
Negare ( $\neg$ ${\ displaystyle \ neg}$ $\ neg$ ) · Disjuncție exclusivă ( ${\dot {\lor }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ lor}}}$ ${\ dot {\ lor}}$ ) · Implicare dublă ( $\leftrightarrow$ ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ $\ leftrightarrow$ ) · Propunere
Nedisjuncție inclusivă ( $\downarrow$ ${\ displaystyle \ downarrow}$ $\ sageata in jos$ ) · Neimplicare ( $\nrightarrow$ ${\ displaystyle \ nrightarrow}$ $\ nrightarrow$ ) · Implicare non-inversă ( $\nleftarrow$ ${\ displaystyle \ nleftarrow}$ $\ nstânga$ ) · Conjuncție ( $\land$ ${\ displaystyle \ land}$ $\ teren$ )
Contradicție ( $\bot$ ${\ displaystyle \ bot}$ $\ bot$ )