Incomensurabilitate

Două dimensiuni $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se spune că sunt comensurabile dacă există un submultiplu comun între ele, adică dacă există două numere naturale adecvate $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru care:

{\frac {x}{m}}={\frac {y}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {x} {m}} = {\ frac {y} {n}}}

{\ frac {x} {m}} = {\ frac {y} {n}}

Valoarea acestor fracții este submultiplu comun cantităților $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . În consecință, atunci când două mărimi sunt comensurabile, este posibil să se exprime măsura primei cantități față de a doua folosind un număr rațional , adică este posibil să se scrie

x={m \over n}\cdot y

{\ displaystyle x = {m \ over n} \ cdot y}

x = {m \ over n} \ cdot y

Dimpotrivă, se spune că două perechi de cantități sunt incomensurabile atunci când nu au un submultiplu comun , adică nu există nicio fracție capabilă să exprime raportul ${x \over y}.$ ${\ displaystyle {x \ over y}.}$ ${\ displaystyle {x \ over y}.}$ Din aceasta rezultă că măsura primei cantități față de a doua nu este un număr rațional, deoarece nu poate fi exprimată sub forma unei fracții.

Exemplu de cantități necomensurabile

Cea mai simplă și mai lungă pereche cunoscută de cantități nemăsurate este cu siguranță cea formată de latura unui pătrat și diagonala acestuia. Pentru a demonstra că aceste două cantități sunt incomensurabile, este suficient să arătăm că măsura uneia față de cealaltă nu este un număr rațional. În primul rând să stabilim care este valoarea din diagonală (pe care o vom numi $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ) în ceea ce privește latura (pe care o vom numi $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ ). Pentru a face acest lucru, folosim teorema lui Pitagora .

De fapt, având în vedere un pătrat , știm că:

d^{2}=l^{2}+l^{2}

{\ displaystyle d ^ {2} = l ^ {2} + l ^ {2}}

d ^ {2} = l ^ {2} + l ^ {2}

de la care

d^{2}=2l^{2}

{\ displaystyle d ^ {2} = 2l ^ {2}}

d ^ {2} = 2l ^ {2}

asa de

d={\sqrt {2l^{2}}}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2l ^ {2}}}}

d = {\ sqrt {2l ^ {2}}}

simplificând avem asta

d={\sqrt {2}}\cdot l

{\ displaystyle d = {\ sqrt {2}} \ cdot l}

d = {\ sqrt {2}} \ cdot l

am găsit apoi măsura lui $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ în comparație cu $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Acum trebuie să demonstrați acest număr ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ nu este rațional . Pentru a face acest lucru, folosim una dintre mai multe dovezi ale iraționalității rădăcină-a-două .

Incomensurabilitatea dintre lateral și diagonală a unui pătrat a fost primul caz în care incomensurabilitatea a fost demonstrată. Dovada, atribuită în general lui Hippasus din Metapont , a fost cu siguranță efectuată în cadrul școlii pitagoreice și a provocat o criză gravă în concepțiile matematice ale vremii.

Bibliografie

Euclid , Elemente , Cartea X
Morris Kline , Istoria gândirii matematice , vol. I, cap. 3 și 4, Einaudi, 1999. ISBN 978-88-06-15417-2
( EN ) Miklós Laczkovich, Conjecture and Proof , Cambridge University Press, 2001, pp. 3-5. ISBN 978-0-88385-722-9

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ incomensurabilitate ”

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Filosofia științei
Concepte	A priori și a posteriori · adaequatio rei și intellectus · Schimbarea paradigmei · Cauzare · corespondentism · Deducere · Dualism · Epistemologie · Experiment de gândire · experiment · Experimentum Cross · Făcut · Ipotezele nu pretind · Idealizare · ignoramus și ignorabimus · Incommensurabilitate · Inducție · Inteligență artificiale · Legea fizică · metoda științifică · model · model fizic · model matematic · Paradigma · principiul falsifiability · verificare principiul · demarcare problemelor · procesul de construcție teoretică · protoștiință · Pseudoștiința · Realismul naiv · cercetare empirică · cercetare științifică · reproductibilitatea · științifică Revoluția · Știință · frontieră Știință · greu de știință · inexactă Știință · moale Știință · Știință normală · holistică știință · știință post-normală · extraordinară știință · Turcia inductivist · teorie științifică
Disciplinele filozofice	Epistemologie · Epistemologie · Epistemologia complexității · Filosofia informației · biologia Filosofia · Filosofia chimiei · Filosofia fizicii · Filosofia matematicii · Filosofia minții · Filosofia naturii · Psihologia Filosofia · Filosofia științei · Științele sociale Filosofia · Filosofia tehnologiei · între religie și știință Raport · Sociologia cunoașterii · tehnologie Sociologie · Istoria gândirii evolutive · Istoria științei
Curente filozofice	Antirealismului · Critica · constructivismului · determinism · Ecosofia · Empirism · Epicureismo · falsificare · Filosofie analitică · fundaționalismul · fizică Ontologie · pozitivismului logic · Pragmatism · Raționalismul · Critice Raționalismul · Reducționism · scepticism metodologic · Scepticismul științific · Scientismul · Stiinta Goethe · Spinozaism · stoicismul · uniformitarianism · Verificationism · vitalism
Filozofi	Albert Einstein · Albertus Magnus · Alfred North Whitehead · Alfred Tarski · Aristotel · Auguste Comte · Averroes · Berlin Circle · Vienna Circle · Carl Gustav Hempel · Descartes · Charlie Dunbar Broad · Charles Sanders Peirce · Daniel Dennett · Dominicus Gundissalinus · Epicurean · Francis Bacon · Friedrich Schelling · Galileo Galilei · Giordano Bruno · Goethe · William of Ockham · Henri Poincare · Herbert Spencer · Immanuel Kant · Imre Lakatos · Isaac Newton · Gottfried Wilhelm von Leibniz · John Dewey · John Stuart Mill · Jürgen Habermas · Karl Jaspers · Karl Pearson · Karl Popper · Leszek Nowak · Otto Neurath · Paul Feyerabend · Paul Häberlin · Pierre Duhem · Pierre Gassendi · Rudolf Carnap · Roger Bacon · Thomas Hobbes · Thomas Kuhn · Aquinas · Hugh of St. Victor · Willard Van Orman Quine · Wilhelm Windelband · Wilhelm Wundt · William Whewell · Altele ...