Indicele de înfășurare

Indicele de înfășurare al unei curbe plane , închise și parametrizate în raport cu un punct p extern la aceasta este un număr întreg care reprezintă intuitiv numărul de înfășurări pe care curba îl face în jurul lui p (imaginându-se curba ca un fir și punctul ca un cui) .

Introducere informală

Un obiect care se mișcă de-a lungul curbei roșii face două rotiri în sens invers acelor de ceasornic în jurul persoanei prezentate în imagine.

Indicele de înfășurare al unei curbe plane în jurul unui punct se obține numărând de câte ori această curbă se rotește în sens invers acelor de ceasornic în jurul punctului. Dacă curba urmează o cale în sensul acelor de ceasornic în loc de invers acelor de ceasornic, acest număr este negativ. Pentru căi simple precum cele prezentate mai jos, determinarea numărului de înfășurare este relativ simplă.

$\cdots$ ${\ displaystyle \ cdots}$ $\ cdots$
	−2	−1	0
				$\cdots$ ${\ displaystyle \ cdots}$ $\ cdots$
	1	2	3

În cazul în care o curbă este mai complicată, definirea și determinarea numărului de înfășurare este totuși mai puțin banală: curba poate schimba de fapt direcția și direcția de mai multe ori pe parcurs, așa cum se arată de exemplu în figura din dreapta.

Definiție matematică

Indicele de înfășurare al unei curbe γ pe plan față de punctul p este un număr întreg care indică numărul multiplilor unui unghi rotund care sunt măturați de vectorul care leagă p cu un punct x al curbei când x face o rotație în direcția inversă acelor de ceasornic de-a lungul curbei (o singură dată) în direcția orientării acesteia până când revine la poziția de pornire. Acest număr va fi un număr întreg pentru o curbă închisă, posibil negativ și poate fi indicat cu următoarea notație:

\nu (\gamma ,p)

{\ displaystyle \ nu (\ gamma, p)}

\ nu (\ gamma, p)

O definiție riguroasă poate fi dată după cum urmează: având în vedere o curbă γ pe plan și un punct p care nu aparține curbei, se consideră o funcție γ ( t ) care parametrizează curba γ deoarece t variază pe circumferință, apoi rotația curba în jurul punctului p este descrisă de funcția de S ¹ însuși definită de

f:t\mapsto {\frac {\gamma (t)-p}{\left\|\gamma (t)-p\right\|}}

{\ displaystyle f: t \ mapsto {\ frac {\ gamma (t) -p} {\ left \ | \ gamma (t) -p \ right \ |}}}

f: t \ mapsto \ frac {\ gamma (t) -p} {\ left \ | \ gamma (t) -p \ right \ |}

iar indicele de înfășurare al curbei este definit ca numărul k astfel încât f este omotop cu funcția definită în coordonate unghiulare de

\theta \mapsto k\theta

{\ displaystyle \ theta \ mapsto k \ theta}

\ theta \ mapsto k \ theta

Prin intermediul instrumentelor și notațiilor analizei complexe se poate demonstra că

\nu (\gamma ,p)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {dz}{z-p}}.

{\ displaystyle \ nu (\ gamma, p) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {dz} {zp}}.}

\ nu (\ gamma, p) = \ frac {1} {2 \ pi i} \ int_ \ gamma \ frac {dz} {z - p}.

Această formulă stabilește o legătură între indicele de înfășurare și teorema reziduală .

Proprietate

Indicele de înfășurare este un invariant topologic : dacă un vecinătate care conține curba γ și punctul extern p este trimis către un alt set deschis prin intermediul unui homeomorfism f atunci imaginea curbei f (γ) este încă o curbă care are respect la punctul f ( p ) același indice de înfășurare care are γ față de p .

Indicele de înfășurare este, de asemenea, un invariant homotopic : dacă curba este deformată continuu în planul privat de punctul p (adică fără a atinge vreodată punctul în timpul deformării), indicele rămâne același. Indicele rămâne neschimbat chiar dacă punctul este deplasat continuu fără a trece vreodată curba. Indicele se poate modifica dacă curba și punctul se întâlnesc în timpul deformării.

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 1115667890

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică