Independența stochastică

Două-la-două evenimente dependente, dar independente

În contextul calculului probabilităților , independența stocastică a două evenimente $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ apare atunci când apariția unuia nu schimbă probabilitatea celuilalt sau când probabilitatea condiționată $\mathbb {P} (A|B)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}$ ${\ mathbb {P}} (A | B)$ sau $\mathbb {P} (B|A)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B | A)}$ ${\ mathbb {P}} (B | A)$ este egal cu respectiv $\mathbb {P} (A)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A)}$ ${\ mathbb {P}} (A)$ Și $\mathbb {P} (B)$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B)}$ ${\ mathbb {P}} (B)$

\mathbb {P} (A|B)=\mathbb {P} (A),

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B) = \ mathbb {P} (A),}

{\ mathbb {P}} (A | B) = {\ mathbb {P}} (A),

\mathbb {P} (B|A)=\mathbb {P} (B),

{\ displaystyle \ mathbb {P} (B | A) = \ mathbb {P} (B),}

{\ mathbb {P}} (B | A) = {\ mathbb {P}} (B),

aceste două condiții pot fi rezumate cu formula

\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B).

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cap B) = \ mathbb {P} (A) \ cdot \ mathbb {P} (B).}

{\ mathbb {P}} (A \ cap B) = {\ mathbb {P}} (A) \ cdot {\ mathbb {P}} (B).

Descriere

Cu alte cuvinte, a spune că două evenimente sunt independente unul de celălalt înseamnă a spune că a ști că unul dintre ele a avut loc nu schimbă evaluarea probabilității pe al doilea. De exemplu, rostogolirea "1" atunci când o matriță este laminată și laminarea "1" din nou la a doua oară când matrița este laminată sunt independente.

În mod similar, atunci când se afirmă că două variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ definite pe același spațiu eșantion $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ sunt independenți, se afirmă că a cunoaște ceva despre valoarea unuia dintre ei nu oferă nicio informație despre valoarea celuilalt. De exemplu, numărul care apare pe fața superioară a unei matrițe la prima lansare și numărul care apare a doua oară sunt independente. În mod formal, acest lucru se întâmplă atunci când pentru orice pereche de evenimente $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se dovedește

\mathbb {P} (X\in A\cap Y\in B)=\mathbb {P} (X\in A)\mathbb {P} (Y\in B).

{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ in A \ cap Y \ in B) = \ mathbb {P} (X \ in A) \ mathbb {P} (Y \ in B).}

{\ mathbb {P}} (X \ in A \ cap Y \ in B) = {\ mathbb {P}} (X \ in A) {\ mathbb {P}} (Y \ in B).

În mod echivalent, acest lucru se întâmplă dacă, a spus $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ funcția de distribuție a variabilei articulare $(X,Y)$ ${\ displaystyle (X, Y)}$ $(X Y)$ Și $F_{X}$ ${\ displaystyle F_ {X}}$ $F_ {X}$ , $F_{Y}$ ${\ displaystyle F_ {Y}}$ $F_ {Y}$ cele două funcții de distribuție marginală, apoi pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ merită asta

F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y).

{\ displaystyle F (x, y) = F_ {X} (x) F_ {Y} (y).}

F (x, y) = F_ {X} (x) F_ {Y} (y).

Condiții similare se găsesc pentru funcția de densitate a probabilității și funcția de probabilitate dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă continuă aleatorie sau o variabilă discretă aleatorie, respectiv :

f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y),

{\ displaystyle f (x, y) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y),}

f (x, y) = f_ {X} (x) f_ {Y} (y),

Și

p(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y).

{\ displaystyle p (x, y) = p_ {X} (x) p_ {Y} (y).}

p (x, y) = p_ {X} (x) p_ {Y} (y).

Generalizări

În contextul teoriei probabilităților , noțiunea de independență stocastică poate fi generalizată în general. Este $(\Omega ,{\mathfrak {F}},\mathbb {P} )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathfrak {F}}, \ mathbb {P})}$ $(\ Omega, {\ mathfrak {F}}, {\ mathbb {P}})$ un spațiu de probabilitate , și așa să fie $\{{\mathfrak {F}}_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ {{\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în {\ mathcal {A}}}}$ $\ {{\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \} _ {{\ alpha \ în {\ mathcal {A}}}}$ o familie arbitrară (finită sau neterminată) de σ-algebre conținute în ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ : ${\mathfrak {F}}_{\alpha }\subseteq {\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \ subseteq {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {\ alpha} \ subseteq {\ mathfrak {F}}$ . Se spune că sunt independenți de $\mathbb {P}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ mathbb {P}}$ dacă, pentru orice subset finit ${\mathcal {I}}=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ {\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \}}$ ${\ mathcal {I}} = \ {\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \}$ din ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ , și pentru fiecare subset $A_{\alpha }\in {\mathfrak {F}}_{\alpha }$ ${\ displaystyle A _ {\ alpha} \ în {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha}}$ $A _ {\ alpha} \ în {\ mathfrak {F}} _ {\ alpha}$ , s-a întâmplat:

\mathbb {P} \left(\bigcap _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }\right)=\prod _{\alpha \in {\mathcal {I}}}\mathbb {P} \left(A_{\alpha }\right)

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ bigcap _ {\ alpha \ in {\ mathcal {I}}} A _ {\ alpha} \ right) = \ prod _ {\ alpha \ in {\ mathcal {I }}} \ mathbb {P} \ left (A _ {\ alpha} \ right)}

{\ mathbb {P}} \ left (\ bigcap _ {{\ alpha \ in {\ mathcal {I}}}} A _ {\ alpha} \ right) = \ prod _ {{\ alpha \ in {\ mathcal {I}}}} {\ mathbb {P}} \ left (A _ {\ alpha} \ right)

.

Această noțiune este redusă la cea anterioară în cazul în care familia σ-algebrelor este formată din doar două elemente ${\mathfrak {F}}_{A}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {A}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {A}$ Și ${\mathfrak {F}}_{B}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {B}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {B}$ , unde, dat un set măsurabil $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , ${\mathfrak {F}}_{E}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {E}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {E}$ este σ-algebra generată de aceasta: ${\mathfrak {F}}_{E}=\{\varnothing ,E,E^{c},\Omega \}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} _ {E} = \ {\ varnothing, E, E ^ {c}, \ Omega \}}$ ${\ mathfrak {F}} _ {E} = \ {\ varnothing, E, E ^ {c}, \ Omega \}$ .

Această extensie, utilizată pe scară largă în teoria proceselor stochastice , își găsește motivația în faptul că independența stochastică a unei familii de σ-algebre nu este în general echivalentă cu independența elementelor sale două la două . De exemplu, date trei seturi $LA, B., C.$ ${\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ , știind că $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ sunt independente, nu se poate deduce că: