Infinitezimal

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă căutați noțiunea de infinitesimal în teoria limitelor funcțiilor reale și estimarea asimptotică, consultați estimarea asimptotică .

În matematică infinitesimalele sunt entități numerice infinitesimale, introduse de Gottfried Leibniz care le-a făcut fundamentul calculului infinitesimal .

Infinitezimele permit să rezolve într-un mod general probleme precum cea a vitezei instantanee în fizică și cea a tangentei la o curbă în geometrie , ambele văzute ca un raport între infinitesimale, alias derivat .

Problema calculării suprafețelor cu un contur curviliniu, adică aria care stă la baza graficului unei funcții , se confruntă, de asemenea, cu utilizarea infinitesimalelor. De fapt, zona este privită ca suma infinită a zonelor infinitesimale, o procedură de însumare care avea denumirea de integrală .

Infinitezimele, totuși, au dat naștere la probleme logice și în secolul al XIX-lea Augustin-Louis Cauchy și Karl Weierstrass au re-întemeiat analiza matematică eliminând orice referire la aceasta; derivatele și integralele au fost astfel definite ca limite și nu ca rapoarte sau sume ale entităților infinitezimale.

În a doua jumătate a secolului al XX-lea infinitesimalele au fost recuperate, într-o perspectivă riguroasă, de Abraham Robinson , în formularea a ceea ce el a numit analiză non-standard .

Infinitezimale (ε) și infinite (ω) pe linia numerelor hiperreale (ε = 1 / ω)

Infinitezimele din Leibniz

Leibniz își bazează calculul pe infinitesimale cam așa cum filosofia sa se bazează pe monade . Cu toate acestea, el nu oferă o definiție riguroasă a acestor noi numere și, chiar și în uz casual, pare să oscileze între o concepție actuală (infinitesimalele sunt entități matematice eficiente) și un potențial (infinitesimalele exprimă pur și simplu o abordare infinită a zero) , o distincție pe care o datează din Aristotel , care a fost primul care a distins infinitul „real” (inexistent) de infinitul „potențial”. (În secolul al XX-lea, chiar și matematicienii adepți ai intuiționismului , contrar celor afirmate de teoria seturilor lui Georg Cantor , vor nega existența infinitului „efectiv”).

Două proprietăți sunt clare pentru Leibniz și stau la baza calculului său:

  1. infinitesimale sunt mai mici decât orice număr real pozitiv și totuși încă mai mare decât zero;
  2. pentru infinitesimale se aplică regulile obișnuite ale algebrei.

Calculul din formularea lui Leibniz se bazează pe aceste proprietăți.

Infinitezimele din analiza non-standard a lui Robinson

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: analiza non-standard .

În logică se arată ( teorema compactității ) că, dacă există un set infinit de propoziții, în care fiecare subset finit conține doar propoziții adevărate într-un set (Eu sunt cazul nostru ), apoi există un set non-standard (în acest caz ) de elemente pentru care aceste propoziții infinite sunt simultan adevărate.

De exemplu, luați în considerare următorul set infinit de propoziții referitoare la set numere reale.

În aceste propoziții sunt adevărate în mod individual și acest lucru este valabil și pentru orice set finit de propoziții, dar nu există un număr real pentru care toate sunt adevărate în același timp.

Cu toate acestea, teorema compactității ne asigură că există un set non-standard care conține elemente pentru care se întâmplă acest lucru, cu alte cuvinte pentru care propoziția universală este adevărată:

THE din nu sunt altele decât infinitesimalii din Leibniz, definite în cele din urmă într-un mod riguros. Suma unui număr real și a unui infinitesimal nu este reductibilă și se numește număr hiperreal .

Simbolul infinitesimalului

Așa cum se întâmplă adesea în matematică, există mai multe simboluri care reprezintă infinitesimale:

  1. simbolul lui Leibniz: a urmat de numele variabilei ; de exemplu , , care poate fi citit de ics , de ipsilon ;
  2. simbolul lui Leibniz cu (delta) în loc de : de exemplu , ;
  3. litera ε: simbol utilizat în analiza non-standard prin analogie cu simbolul ε introdus de Weierstrass pentru a indica numere reale pozitive mici (dar nu infinitesimale);
  4. simbolul hype format din două cercuri concentrice, un fel de zero dublu.

Bibliografie

linkuri externe

  • Introducere în analiza non-standard și un model de numere hiperreale de Riccardo Dossena , ambele descărcabile din [1]
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică