Infinit (matematică)

În matematică conceptul de infinit (simbol $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ) are multe semnificații, în corelație cu noțiunea de limită , atât în analiza clasică , cât și în analiza non-standard . Noțiunile de infinit sunt utilizate în teoria mulțimilor și în geometria proiectivă .

Teoria mulțimilor

În teoria mulțimilor un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune că este infinit dacă fiecare dintre subsetul său finit este un subset corespunzător. O definiție alternativă este următoarea: un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este infinit dacă există o aplicație unu-la-unu a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în propriul său subgrup ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$ . Cu alte cuvinte, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este infinit dacă și numai dacă este echipotent la propriul său subgrup. Pentru a demonstra echivalența celor două definiții, axioma alegerii este indispensabilă.

Este posibil să se facă distincția între diferite grade de infinit, deoarece pot fi identificate seturi infinite care au o cardinalitate mai mare decât celelalte. Georg Cantor a dezvoltat teoria numerelor cardinale transfinite , în care primul număr transfinit este alef-zero $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ , care corespunde cardinalității mulțimii numerelor naturale . Următorul grad cunoscut de infinit este $\aleph _{1}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ $\ aleph _ {1}$ . Infinitul corespunzător cardinalității numerelor reale este indicat în general cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Problema dacă $c=\aleph _{1}$ ${\ displaystyle c = \ aleph _ {1}}$ $c = \ aleph _ {1}$ , adică existența sau nu a unei cardinalități intermediare între aceste două, este așa-numita ipoteză continuum . În 1940 Kurt Gödel a demonstrat că această ipoteză este în concordanță cu axiomele lui Zermelo - Fraenkel (cu sau fără axioma de alegere ); în 1963, Paul Cohen a arătat că până și negarea acestei ipoteze este în concordanță cu acele axiome. În consecință, ipoteza continuumului, în cadrul axiomelor Zermelo - Fraenkel, nu este nici demonstrabilă, nici refutabilă.

Cantor a dezvoltat, de asemenea, teoria numerelor ordinale transfinite, care generalizează noțiunea de ordonare și poziția unui element în cadrul unei ordonări la mulțimi infinite.

Un exemplu este teorema lui Goodstein , care poate fi rezolvată numai prin intermediul proprietăților ordinalelor transfinite, în timp ce nu poate fi dovedită doar cu axiomele lui Peano .

Cu referire la noțiunea de limită

Același subiect în detaliu: Infinitul (filozofia) § Nașterea simbolului .

Simbolul matematic al infinitului

În studiul limitelor se folosește simbolul $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , care este indicat uneori și cu termenul de lemniscată .

Este util să utilizați două entități legate de infinit: mulțimea reală extinsă este unirea numerelor reale cu două puncte, indicată de $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ Și $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ . În simboluri:

{\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}.

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \} \ cup \ {+ \ infty \}.}

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty \} \ cup \ {+ \ infty \}.}

Relația de ordine a realilor se extinde la aceste noi puncte prin stabilirea:

-\infty <x~,~x<+\infty ~

{\ displaystyle - \ infty <x ~, ~ x <+ \ infty ~}

- \ infty <x ~, ~ x <+ \ infty ~

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

real;

pe de altă parte, există limitări privind extinderea operațiunilor aritmetice la astfel de entități ( $+\infty -\infty ?$ ${\ displaystyle + \ infty - \ infty?}$ $+ \ infty - \ infty?$ ).

Din punct de vedere topologic , este o compactare a liniei reale prin adăugarea a două puncte.

Noțiunea de infinit conform analizei non-standard

O mențiune separată merită analiza non-standard , introdusă de Abraham Robinson în 1966 : spre deosebire de analiza matematică obișnuită, în ea infinitele (indicate cu Ω) și infinitesimale (ε) au cetățenia deplină între numere și împreună cu numerele reale formează hiperreale. numere . De exemplu 1 și 1 + ε sunt numere hiperreale distincte. Spre deosebire de numerele complexe , o ordonare a numerelor hiperreale este posibilă datorită conceptului de ultrafiltru . Analiza non-standard este perfect consecventă și simplifică într-adevăr dovezile multor teoreme, atât în calcul , cât și în teoria numerelor .

Puncte și linii la infinit în geometrie proiectivă

În geometria proiectivă, pe de altă parte, este firesc să completăm liniile cu punctul lor unic la infinit, un obiect numit punct sau direcție necorespunzătoare a liniei; această noțiune, în special, ne permite să spunem că chiar și două linii paralele au un punct comun, punctul lor la infinit. Mai mult, în planul proiectiv există și linia necorespunzătoare, împreună cu punctele necorespunzătoare (la infinit) ale diferitelor linii; ca să nu mai vorbim de spațiul proiectiv, înfășurat în planul său necorespunzător.